广东省韶关市2025届高三（上）质检数学试卷（PDF版，含答案）

广东省韶关市 2025 届高三（上）质检数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数 满足 = 1 + ，则 =( )
A. 1 B. √ 2 C. 2 D. 4
1 1
2.已知数列{ }是等比数列，若 1 = ， 4 = ，则{ }的前6项和为( ) 2 16
63 31 15 7
A. B. C. D.
64 32 16 8
3.已知向量 = (1,0)， = (1,1)，向量 + 与 垂直，则实数 的值为( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 3
4.众数、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区
1000户居民的月均用水量数据(单位： )，得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为 ，中位

数为 ，平均数为 ，则( )

A. < < B. < < C. < < D. < <
2 2 1, < 1
5.已知函数 ( ) = {2 在 上是单调函数，则 的取值范围是( )
6 , ≥ 1

A. ( ∞, 2] B. [1,2] C. (1, +∞) D. [2, +∞)
6.已知函数 ( ) = 2 ( + )( > 0,0 < < )的部分图象如图. ，
4
是相邻的最低点和最高点，直线 的方程为 = 2 + ，则函数 ( )的解析
3
式为( )
1
A. ( ) = 2 ( + )
2 3
1
B. ( ) = 2 ( + )
2 6
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C. ( ) = 2 ( + )
2 3

D. ( ) = 2 ( + )
2 6
cos( )
7.已知 ， 为方程 2 + 6 2 = 0的两个实数根，则 =( )
sin( + )
1 5 1 5
A. B. C. D.
2 2 6 6
2 2
8.椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左右焦点分别为 ， 1 2，以 1 2为直径的圆与椭圆 没有公共点，则双
2 2
曲线 2 2 = 1的离心率的取值范围是( )
√ 6 √ 6 √ 6
A. ( , +∞) B. (1, ) C. (1, √ 2) D. ( , √ 2)
2 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知某批产品的质量指标 服从正态分布 (25, 2)，且 ( ≥ 26) = 0.2，现从该批产品中随机取3件，用
表示这3件产品的质量指标值 位于区间(24,26)的产品件数，则( )
A. ( ) = 25 B. (24 < < 26) = 0.3
C. ( = 0) = 0.064 D. ( ) = 0.24
10.已知圆锥的顶点为 ， 为底面圆 的直径，∠ = 120°， = 2，点 在圆 上，点 为 的中点，
与底面所成的角为60°，则( )
A. 该圆锥的侧面积为√ 3
B. 该圆锥的体积为
4√ 6
C. =
3
D. 该圆锥内部半径最大的球的表面积为12(7 4√ 3)
11.若 ′( )为函数 ( )的导函数，对任意的 ， ∈ ，恒有2 ( ) ( ) ( + ) = ( )，且 (0) ≠ 0，
则( )

A. (0) = 1 B. ( ) + (0) ≥ 0
2
1
C. ′( )为偶函数 D. 若 (1) = ，则∑2025 ( ) = 1
2 =1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知集合 = { 2,0,2, }， = { || 1| ≤ 3}， ∩ = .写出满足条件的整数 的一个值______．
13.已知log4 + 2 2 = 2，则 = ______．
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14.小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测试；若出现连续两次
2
投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为 ，则小明通过测试的概率为______．
3
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知 ， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边，且 + = 2 ．
(1)求 ；
(2)若 = 2，求△ 周长的最大值．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， = = √ 2，平面 ⊥平面 ， 为
的中点．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
1
已知抛物线 2 = 8 的焦点为 ，其准线与 轴相交于点 .动点 满足直线 ， 的斜率之积为 ，记点 的
2
轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)过点 (0,1)且斜率为 的直线 与 轴相交于点 ，与 相交于 ， 两点，若 = ，求 的值．
18.(本小题17分)
已知函数 ( ) = ( 1) 2 1， ∈ ．
(1)当 = 0时，求函数 ( )的图象在点(1, (1))处的切线方程；
(2)讨论函数 ( )的单调性；
(3)设 ( ) = 2 + ，若 ( ) ≥ ( )，求实数 的取值范围．
19.(本小题17分)
设数列{ }的前 项和为 ，且 + = 2．
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(1)求数列{ }的通项公式；
(2)在 1和 2之间插入1个数 11，使 1， 11， 2成等差数列；在 2和 3之间插入2个数 21， 22，使 2， 21，
22， 3成等差数列；依次类推，在 和 +1之间插入 个数 ， 2，…， ，使 ， 1 ， ，…， ，1 2
+1成等差数列．
( )若 = 11 + 21 + 22 + + 1 + 2 + + ，求 ；
( )对于( )中的 ，是否存在正整数 ， ， ( < )，使得 = + 成立？若存在，求出所有的正整数
对( , , )；若不存在，说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 1，1，3，4中的任何一个值
13.【答案】4
16
14.【答案】
21
15.【答案】解：(1)因为 + = 2 ，
由正弦定理得 + = 2 ，
即sin( + ) = 2 ，
在三角形中，可得 = 2 ，
1
因为0 < < ，所以 ≠ 0，所以 = ，
2

所以 = ；
3
(2)由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，
有4 = 2 + 2 = ( + )2 3 ≥ ( + )2
+
3 × ( )2，
2
所以 + ≤ 4，当且仅当 = = 2时等号成立，
所以△ 的周长 △ = + + ≤ 6．
即△ 周长的最大值为6．
16.【答案】(1)证明：由 = = √ 2, = 2，
可得 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
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因为 为正方形，故 AB⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ⊥∩平面 = ，
平面 ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
故 D ⊥平面 ，又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ；
(2)解：取 中点为 .由(1)知， ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，
建立如图所示空间直角坐标系，
则 (0,1,0)， (0,0,1)， (2, 1,0)， (0,0,0)， (2,0,0)，
所以 = (0, 1,0), = ( 2,1,1)， = (2, 1,0), = (0,0,1)，
由(1)可知， ⊥平面 ，
则平面 的法向量为 = (0,1, 1)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
2 = 0
则由{ = 0，可得{ ，
= 0 = 0
取 = 2， = 1，得 = (1,2,0)，
2 √ 10
则cos , = = = ， | || | √ 5×√ 2 5
所以平面 和平面 所成锐二面角的余弦值为√ 10．
5
17.【答案】解：(1)设点 ( , )， ≠ 0，
由题意知 (0,2)， (0, 2)，
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2 +2
直线 ， 的斜率分别为 = , = ，
2 +2 1
所以 = ，
2
2 2
化简得 + = 1
8 4
2 2
点 的轨迹方程为 + = 1( ≠ 0)．
8 4
(2)设 ( 1 , 1)， ( 2 , 2)，
由题意知直线 的方程为 = + 1( ≠ 0)，
1
所以 ( , 0)，

2 2
联立方程组{
+ = 1
8 4 ，
= + 1
消去 整理得(1 + 2 2) 2 2 + 1 8 2 = 0，
2
则 2 1 8 2 41 + 2 = 2 , 1 2 = 2， = 24 + 64 > 0，
1+2 1+2
又 = ，
1
则( 1 + , ) = ( ,1 )， 1 2 2
故有 1 + 2 = 1，
2
即 2 = 1，
1+2
解得 √ 2 = ± ．
2
18.【答案】解：(1)当 = 0时， ( ) = ( 1) 1，函数定义域为 ，
可得 ′( ) = ，
此时 ′(1) = ，
又 (1) = 1，
所以函数 ( )在 = 1处的切线方程为 ( 1) = ( 1)，
即 = 1；
(2)易知 ′( ) = 2 = ( 2 )，
当 ≤ 0时， 2 > 0恒成立，
当 < 0时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > 0时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 > 0时，
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令 ′( ) = 0，
解得 = 0或 = ln(2 )，
1
当ln(2 ) < 0，即0 < < 时，
2
当 < ln(2 )时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当ln(2 ) < < 0时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > 0时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
1
当ln(2 ) = 0，即 = 时， ′( ) ≥ 0恒成立，
2
所以 ( )在 上单调递增；
1
当ln(2 ) > 0，即 > 时，
2
当 < 0时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当0 < < ln(2 )时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > ln(2 )时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
综上所述，当 ≤ 0时， ( )在( ∞, 0)单调递减，在(0,+∞)单调递增；
1
当0 < < 时， ( )在( ∞, ln(2 ))上递增，在(ln(2 ),0)上递减，在(0, +∞)上递增；
2
1
当 = 时， ( )在 上递增；
2
1
当 > 时， ( )在( ∞, 0)上递增，在(0, ln(2 ))上递减，在(ln(2 ),+∞)上递增；
2
(3)若 ( ) ≥ ( )，
此时 + 2 1 ≥ 2恒成立
因为 > 0，
1+ 2
所以 ≤ 恒成立．
2
1+ 2
设 ( ) = 2 , > 0，
即 ≤ ( ) ，
因为 = + ，
[ + ( + ) 1]+ 2
此时 ( ) = 2 ，
令 = + ，
因为 > 0，
所以 ∈ ，
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设 ( ) = 1，函数定义域为 ，
可得 ′( ) = 1，
当 < 0时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > 0时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( ) = (0) = 0，
即 ≥ + 1，当且仅当 = 0时，等号成立，
所以 + ≥ ( + ) + 1，
[ + ( + ) 1]+ 2 2
即 ( ) = 2 ≥ 2 = 1，
所以 ( ) = 1，
则 ≤ 1．
故实数 取值范围为( ∞, 1]．
19.【答案】解：(1)数列{ }的前 项和为 ，且 + = 2，
当 ≥ 2时， 1 + 1 = 2，又 + = 2，
上面两式相减可得 1 + 1 = 0，
而 = 1， ≥ 2，
1
可得 = 1， 2
当 = 1时， 1 + 1 = 2得 1 = 1，
1
所以{ }是以1为首项， 为公比的等比数列． 2
1
所以 =
2 1
．
(2)在 1和 2之间插入1个数 11，使 1， 11， 2成等差数列；
在 2和 3之间插入2个数 21， 22，使 2， 21， 22， 3成等差数列；
依次类推，在 和 +1之间插入 个数 ， 2，…， 1 ，
使 ， ， 2，…， ， +1成等差数列． 1
1 2
( )由等差数列的中项性质，可得 = ( 1 + 2) + ( 2 + 3) + + ( + ) 2 2 2 +1
1
= [ 1 + 3 2 + 5 3 + + (2 1) + +1] 2
1 3 5 2 1
= [1 + + 2 + +2 2 1 + 2 ] 2 2
3 5 2 1
设 = 1 + + 2 + + 1 ， 2 2 2
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1 1 3 5 2 1
所以 = + +
2 2 2 3
+ +
2
，
2 2
1 2 2 2 2 2 1
上面两式相减得 = 1 + + 2 + 3 + + 2 2
，
2 2 2 1 2
1 1 1
1 [1 ( ) ]
所以 = 1 + 2 × 2 2
2 1 1 2 1
1 = 3 ( )
2
2
1 2 2 2
2
4 +6
所以 = 6 ， 2
1 3 +6
所以 = (6 )． 2 2
1 3 +6 1 1
( ) = + (6 ) = + ， 2 2 2 1 2 1
1 1
因为{ 1}, { 1}( , ∈ )都是递减数列； 2 2
1 3 +6 1 1 1 1
所以 = + = (6 ) = 1 + ≤ + ； 2 2 2 2 1 20 21
1 3 +6 1 1
则 (6 ) ≤ + 2 0 1 2 ≤ 0， 2 2 2 2
令 = 2
2，即 = 2 +1 1 ≥ 0( ∈
)恒成立，
所以数列{ }单调递增，
当 = 1时， 11 = 2 1 2 = 1 ≤ 0；
3 1 1
则 1 = + = + ， 4 2 1 2 1
所以 = 2， = 3；
当 = 2时， 22 = 2 2 2 = 0 ≤ 0；
3 1 1 1
则 2 = + = 1 + = +2 2 2 1 2 1
，
所以， 1 = 0， 1 = 1，成立，解得 = 1， = 2，存在；
当 = 3时， = 233 3 2 = 3 > 0；
当 ≥ 3时， 3 ≥ 3 = 2 3 2 = 3 > 0；不满足题意，故不存在：
综上所述，当正整数对( , , )取(1,2,3)和(2,1,2)时， = + 成立．
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