河南省部分学校2025届高三上学期月考数学试卷（四）（PDF版，含答案）

河南省部分学校 2025 届高三上学期月考数学试卷（四）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
11
1.已知全集 = { ∈ | 2 < < }，集合 = {1,3,4,5}，则 =( ) 2
A. {2} B. {2,5} C. {0,2} D. {0,2,5}
2.已知等比数列{ }满足 1 + 3 = 4， 4 + 6 = 32，则其公比 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.若8 2 3 2 + 1 = 0，则 =( )
1 1
A. 3 B. C. 2 D.
3 2
2, ≤ 5,
4.已知函数 ( ) = { 3 的最小值为0，则实数 的取值范围为( ) ( 5) + 1,5 < <
A. (5,6) B. (5,6] C. [6, +∞) D. (5,7]
5.遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自
己记100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率(记住的单词个数占总单
词数的百分比) 与初次记忆经过的时间 ( )的函数关系式为 = 1 0.5 0.06，当其记住的单词仅剩25个时，
≈ ( )参考数据： 2 ≈ 0.30， 3 ≈ 0.48
A. 100 B. 300 C. 1000 D. 2000
6.已知正项数列{ }，{ }满足
2
= +1，且 + +1 = 2 +1，则( )
1
A. {√ }为等差数列 B. { }为等差数列
C. {√ }为等比数列 D. { }为等比数列
3
7.已知函数 ( ) = sin( )( > 0)在区间(0, )上存在最值，且在区间( , )上具有单调性，则 的取值
4 4 4
范围是( )
10 15 7 10 11 11 15
A. [ , ] B. [ , ] C. [ , 4] D. [ , ]
3 4 3 3 3 3 4
8.若 ≠ 0，且不等式( 2 2 + + ) ≥ 0对任意 > 0恒成立，则 的最小值是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (2,1)， = (3, )，则( )
A. | | < | | B. | | = 2
C. 与 的夹角可能为180° D. 向量 + 与 不可能垂直
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+
10.已知对任意两个不相等的正数 ， ，总有√ < < ，该不等式被称为“对数平均不等式”，
2
则( )

A. 当 ， > 0且 ≠ 时，ln < √ √

+
B. 当 ， > 0且 ≠ 时， <
2
1
C. 1.01 <
100
9
D. < 3
3+
1
11.已知数列{ }满足 +1 = + ，且0 < 1 < 1，则( )
A. { }中有且仅有1项小于1 B. 当 ≥ 2时， +1 >
C. 1 + 3 = 2 2不可能成立 D. 当 ≥ 2时，2 +1 < + +2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若 (3 ) = 1 2 ，则 的虚部为______．
13.已知函数 ( ) = 3 + 2 + 2 的图象在点(1, (1))处的切线方程为 = 3 + ，则 + = ______．
14.已知函数 ( )的定义域为 ， ( + ) + ( ) = ( ) ( )，且 (1) = 1，则 (1) + (2) + (3) + +
(2025) = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数 ( ) = ( 2 ) + 的图象在点( , ( ))处的切线斜率为3( 1)．
(Ⅰ)求 ；
1
(Ⅱ)求 ( )在区间[ , 2]上的最小值．
2
参考数据： 2 ≈ 0.693
16.(本小题15分)
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知(sin2 + sin2 sin2 ) = 2 2 ，且 为
钝角．

(Ⅰ)证明： = + ；
2

(Ⅱ)若 是边 上靠近 的三等分点，且 ⊥ ，求 的值．

17.(本小题15分)
已知在数列{ }中， 2 = 4 1，且当 ≥ 2时， = 3 1 + 2．
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(Ⅰ)求{ }的通项公式；
+1 1
(Ⅱ)设 =
，数列{ }的前 项和为 ，证明： < ． +1 4
18.(本小题17分)
√ 2 2+
在数列{ }中，已知 1 = ，且
+1 = √ 2 ． 2 + 2+
(Ⅰ)求 2， 3；
(Ⅱ)求{ }的通项公式；
1 1 1
(Ⅲ)设 是与√ (3 1) 2 最接近的整数，求 + + + ． 1 2 2025
19.(本小题17分)
已知函数 ( )， ( )的定义域分别为 1， 2，如果存在 1 ∈ 1， 2 ∈ 2，使得 ( 1) + ( 2) = 0，则称 ( )
与 ( )为“相斥函数”，且称 1， 2为“相斥数”．
1 1
(Ⅰ)试判断函数 ( ) = 2与 ( ) = 2是否为“相斥函数”，并说明理由．
2 2

(Ⅱ)已知函数 ( ) = ( < 1)与 ( ) = + 为“相斥函数”，且 1， 2为“相斥数”．
( )若 1 2 = 1，求 1， 2的值；

( )若 1 2 ∈ [
, 1)，常数 ∈ ( 1,0)，求ln 1的最大值. (用 表示)
2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】
2
13.【答案】 2
14.【答案】 2
15.【答案】解：(Ⅰ)因为 ( ) = ( 2 ) + ，
1
所以 ′( ) = (2 ) + ( 2 ) + 1 = (2 ) + + 1，

由导数的几何意义可得 ( )在点( , ( ))处的切线斜率为 ′( ) = (2 ) + + 1 = 3 2 + 1，
所以3 2 + 1 = 3( 1)，
解得 = 2．
1
(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ( ) = ( 2 2 ) + ， ≤ ≤ 2，
2
′( ) = 2( 1) + 1 = ( 1)[2 + 1]，
1
令 ′( ) = 0，得 = 1或 2，
1
所以在( , 1)上 ′( ) < 0， ( )单调递减，
2
在(1,2)上 ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( ) = (1) = 1．
16.【答案】(Ⅰ)证明：因为(sin2 + sin2 sin2 ) = 2 2 ，
由正弦定理可得：( 2 + 2 2) = 2 2 ，
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可得： 2 + 2 2 = 2 ，
由余弦定理可得2 = 2 ，
可得 = ，
在△ 中， 为钝角，

可得 = + ；
2

(Ⅱ)解：由正弦定理可得 = ，又因为 = + ，
2

sin( + )
所以 = = 2 ，所以 = 2 = = ， 2 sin( 2 ) 2 2 2 1
2
因为 ⊥ ，由图知，

∠ = ∠ = + = ，
2 2
所以△ ∽△ ，
1
是边 上靠近 的三等分点所以 = ，即 2 = = 2，
3
即 √ 3= ，
3
√ 3
所以 = = = = = sin( + ) 3 ，
2

在△ 中，可得 = ，所以 √ 3
6 = ， 2
√ 3

所以 = = 22 = √ 3． 2 1 √ 3 22 ( ) 1
2
17.【答案】解：(Ⅰ)在数列{ }中， 2 = 4 1，且当 ≥ 2时， = 3 1 + 2，
可得 2 = 3 1 + 2 = 4 1，解得 1 = 2， 2 = 8，
又 + 1 = 3( 1 + 1)，
即有数列{ + 1}是首项和公比都为3的等比数列，
可得 + 1 = 3 × 3 1 = 3 ，
则 = 3
1；
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(Ⅱ)证明： =
+1 3 1 1 1
= = ( )， +1 (3 1)(3 +1 1) 2 3 1 3 +1 1
1 1 1 1 1 1 1
可得 = ( + +. . . + +1 ) 2 2 8 8 26 3 1 3 1
1 1 1
=
4 2(3 +1
< ．
1) 4
√ 2 2+
18.【答案】解：(Ⅰ)在数列{ }中，由 1 = ，且
+1 = √ ，
2 2 + 2+
2 2 2
可得 = √ 1 +

2
，即有 2 = 1 + 2 ，
+1 + +1 +
1 1 1
可得 2 2
= ，
+1 ( +1)
1 1 √ 10
即有 2 2 = ，解得 2 2
= ，
2 5
1 5 1 √ 6
= ，解得
2 3
= ；
3 2 6 4
1 1 1 1 1
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得
2

2
= = ，
+1 ( +1) +1
1 1 1 1 1 1 1 1
则 2 = 2 + ( 2
2) + ( 2 )+. . . +( 2 2
2 )
1 2 1 3 2 1
1 1 1 1 1 1 3 1
= 2 + 1 + +. . . + = 3 = ，
2 2 3 1
可得 2

= ，对 = 1也成立， 3 1

所以 = √ ； 3 1
(Ⅲ) 是与√ (3 1) 2 = √ 最接近的整数，
由 = 1，2，可得 = 1；3 ≤ ≤ 6， = 2；7 ≤ ≤ 12， = 3，
13 ≤ ≤ 20， = 4，21 ≤ ≤ 30， = 5，…，1893 ≤ ≤ 1980， = 44，
1981 ≤ ≤ 2025， = 45，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
则 + + + = 1 × 2 + × 4 + × 6 + × 8 + × 10+. . . + × 88 + × 45 = 2 × 44 + 1 = 89．
1 2 2025 2 3 4 5 44 45
19.【答案】解：(Ⅰ)因为 ( )的定义域为 ，
可得 ′( ) = + 1，
易知 ′( )在 上单调递减，
又 ′(0) = 0，
所以当 < 0时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 > 0时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
所以 ( ) = (0) = 1，
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当 → +∞时， ( ) → ∞，
所以 ( )的取值范围为( ∞, 1]；
易知 ( )的定义域为(0, +∞)，
1 (1+ )(1 )
可得 ′( ) = = ，

当0 < < 1时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 > 1时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
1
所以 ( ) = (1) = ， 2
当 → 0时， ( ) → ∞，
1
所以 ( )的取值范围为( ∞, ],
2
则不存在实数 1， 2，使得 ( 1) + ( 2) = 0，
故 ( )与 ( )不是“相斥函数”；
(Ⅱ)( )因为 1 2 = 1， ( 1) + ( 2) = 0，

所以 1 +
2
2 + 2 = 0，
1
1 1 1 1即 + ln + = 0，
1 1 1 1
1
解得 1 = ， 1
1
因为 2 = ， 1
1 1
所以 2 = ln = 1 = ； 1 1

(ⅱ)因为 ( ) = , < 1，

所以 ( ) < 0，
设 ( 2) = ， ( 1) = ， > 0，

则 1 = ，
1

即 1 + 1 = 0， 2 2 + 2 = ，

可得 2 + 1 = 0， 2

又 1 + = 0， 1
1
两式相减得 1 + 2 + 1 = (
1 )，
2
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1
两式相减得 11 2 1 = ( + )， 2
1 1
1+
( )
所以 2
+1
= 2
1 2 = ，
1 2 1

( 1
1
+ ) 1 2+
2
( + )( + +1) ( + )[ln( )+1]
则 = 1 + 1 2 1 21 2 = 1 +
1 2 1 2 ，
1 2 1 2
( + )( +1) 1
设 ( ) = 1 + ， ∈ ( , 1)，


( +2+ )( ) ( + )( +1) 2
2 ( +1)
2
可得 ′( ) = 2 = 2 ，
( ) ( )
1
因为 ∈ ( , 1)，

所以 2 < 2， 2 ( + 1) < 0，
1
所以当 ∈ ( , 1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，

因为 ∈ [ 1 2 , 1), ∈ ( 1,0)，
( + )( +1) ( +2) +
所以 1 2的最大值为 (
) = 1 + = ．
( +2) +
则ln 1的最大值为 ． 2
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