2024-2025学年北京市海淀区中关村中学知春分校高三上学期12月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市海淀区中关村中学知春分校高三上学期12月月考数学试题
一、选择题：本大题共10小题，共40分。
1.已知集合，则( )
A. B.
C. D.
2.设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则( )
A. B. C. D.
3.设，且，则( )
A. B. C. D.
4.设等比数列的各项均为正数，为其前项和，若，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在正方体中，分别是的中点．用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为( )
A. B. C. D.
6.在中，，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.设函数的定义域为，则“”是“在区间内有且仅有一个零点”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.设，是非零向量，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，用表示产量，表示劳动投入，表示资本投入，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中当不变，与均变为原来的倍时，下面结论中正确的是( )
A. 存在和，使得不变
B. 存在和，使得变为原来的倍
C. 若，则最多可变为原来的倍
D. 若，则最多可变为原来的倍
10.在中，，当时，的最小值为若，其中，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.函数的定义域为 ．
12.已知等差数列的公差为为其前项和，且成等比数列，则 ， ．
13.设，函数若曲线关于直线对称，则的一个取值为 ．
14.设函数
若，则的最小值为 ；
若有最小值，则实数的取值范围是 ．
15.一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期．给出下列四个判断：
对于数列，若，则为周期数列；
若满足：，，则为周期数列；
若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立；
已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列．
其中所有正确判断的序号是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16.已知函数的一个零点为．
求的值及的最小正周期；
若对恒成立，求的最大值和的最小值．
17.如图，在直三棱柱中，分别为的中点．
求证：平面；
若点是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
18.在中，
求；
若为边上一点，再从条件条件条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．
条件：；
条件：；
条件：的周长为．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19.如图，在四棱锥中，，侧面底面，是的中点．
求证：平面；
已知，，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥唯一确定，求二面角的余弦值．
条件：；条件：；条件：直线与平面所成角的正切值为．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
20.已知函数，其中．
当时，求曲线在点处的切线方程；
求的单调区间；
当且时，判断与的大小，并说明理由．
21.已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定．
若，写出及的值；
若数列是等差数列，求数列的通项公式；
设集合，求证：且．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一，满足，即可
14.
15.
16.解：，
由于，故，
所以，最小正周期为 ．
当时，，
故当时，取最大值，
当时，取最小值，因此，
因此，
故的最大值为，的最小值为．

17.解：
如图，取线段的中点，连接，
因分别为的中点，故有
因为平面，平面，
所以平面，
同理，平面
平面，
所以平面，
又，平面，
则平面平面，
因平面，则平面．
如图，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系．
则，
设点，则，
代入坐标得：，即，
于是，，
设平面的法向量为，
则有故可取，
依题意得，，
解得：，即线段的长为．

18.解：，故；
若选条件：，
由，，，故，即，
，
此时三角形唯一确定，符合要求，
．
若选条件：的周长为，
由，故，
则，化简得，
即有，解得，故，
此时三角形唯一确定，符合要求，
．
不能选条件，理由如下：
若选条件：，
由，，，设点到直线的距离为，
则，即，
此时，，
故该三角形不唯一，故不符合要求．

19.证明：取的中点，连接，
因为是的中点，所以．
又因为，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面；

解：取的中点，连接，
因为，所以，
又因为侧面底面，
且平面平面，平面，
所以平面，
如图，在平面中，作，
则，
以为原点建立空间直角坐标系，

选条件：连接，在中，因为，，所以，
在中，因为，，所以，
所以，
所以，
设平面的法向量是，
则，即
令，则，于是，
因为平面，所以是平面的一个法向量，
所以，
由题知，二面角为钝二面角，
所以其余弦值为．
选条件：因为平面，
所以平面，
又平面，所以，
而，平面，所以与平行或重合，
这与矛盾，
所以条件不符合．
选条件：连接，因为平面，
所以是直线与平面所成角，
所以，
在中，因为，所以，
在中，因为，所以，
下同选条件．

20.解：时，，，，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
的定义域为，，
所以在区间和上单调递减，
在区间上单调递增，
所以的增区间，减区间；
当且时，，证明如下：
令，则，
设，
所以在区间上单调递减，
在区间上单调递增，
所以，即，
所以的单调递增区间为．
当时，，即，
当时，，即，
综上所述，当且时，．

21. 依题意，，，，，
故得；
由题可知，所以，所以．
若，则，
所以，与是等差数列矛盾．
所以．
设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以．
假设存在使得．
设，由得．
由得，与是等差数列矛盾．
所以对任意都有．
所以数列是等差数列，．
因为对于，所以．
所以，即数列是递增数列．
先证明．
假设，设正整数．
由于，故存在正整数使得，所以．
因为是各项均为正整数的递增数列，所以．
所以．
所以．
又因为数列是递增数列，所以，矛盾．
所以．
再证明．
由题可知．
设且，因为数列是各项均为正整数的递增数列，
所以存在正整数，使得．
令．
若，则，即，所以．
所以，所以．
若，则，
所以．
所以，所以．
因为，所以．
所以．
综上，且．

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