2024-2025学年江苏省“卓越高中联盟”高三（上）月考数学试题（12月份）（PDF版，含答案）

2024-2025 学年江苏省“卓越高中联盟”高三（上）月考数学试题（12
月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { ∈ |2 < 4}， = { ∈ | 1 < < 2}，则 ∪ =( )
A. { | 1 < < 2} B. { | < 2} C. {0,1} D. {1}
2.设 ∈ ， = (2 + )，其中 为虚数单位，则“| | > √ 5”是“ > 1”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
1
3.在三角形 中， = 3， = 6，向量 在向量 上的投影向量为 ， 为边 上一点，且 = 2 ，
4
则| | =( )
A. 4 B. √ 21 C. √ 23 D. 5
4.在正六棱台 1 1 1 1 1 1中， = 2 1 1 = 4，点 是底面 的中心，若该六棱台的体
积为84，则异面直线 1与 1所成角的余弦值为( )
7 3 5 √ 15
A. B. C. D.
8 4 8 8
1 1
5.已知cos cos = ，cos( + ) = ，则sin2 cos2 =( )
2 4
3 3 3 3
A. B. C. D.
8 16 8 16
3
6.已知椭圆 的左、右焦点分别为 1， 2，过椭圆 的上顶点 作直线 2交椭圆 于另一点 .若| | = | 1 |，2
则椭圆 的离心率为( )
1 1 √ 3 √ 2
A. B. C. D.
3 2 3 2
2 2 +
7.已知函数 ( ) = ln + ( ∈ )在区间(1,2)上有极大值，则实数 的取值范围是( )
2
A. 1 < < 0 B. 0 < < 1 C. ( ∞, 1) D. (1,+∞)
8.若关于 的不等式 + ln < 2 + 对 ∈ (0,1)恒成立，则实数 的取值范围为( )
A. ( ∞, 0] B. [ 1,0] C. [ 1,+∞) D. [0,+∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
3
9.已知函数 ( ) = cos( + )(0 < < 4)的图象关于直线 = 对称，则( )
4 8
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3
A. = 2 B. ( )在区间(0, )上有且仅有2个零点
8
3 3
C. ( )是奇函数 D. ( )在区间( , )上单调递减
8 8 8
10.已知正四棱锥 的棱长均为2，下列说法正确的是( )
√ 3
A. 平面 与平面 夹角的正弦值为
3
B. 若点 满足 = + + (1 ) ，则|
2√ 6
|的最小值为
3
C. 在四棱锥 内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积的最大值为16 8√ 3
4
D. 点 在平面 内，且| | = 2| |，则点 轨迹的长度为
9
11.已知定义在 上的函数 ( )和 ( )， ′( )是 ( )的导函数且定义域为 .若 ( )为偶函数， ( ) + ′( )
2 = 0， ( ) ′(4 ) 2 = 0，则下列选项正确的是( )
A. (4) = 2 B. ′( 4) = 1
C. (1) + (3) = 4 D. ′( 2) + (2) = 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知直线 : + = 0分别与曲线 = +1， = 2 + ( > 0)都相切，则 2 的值为 ．
13.已知函数 ( ) = lg( 2 + 12)在[ 1,3]上单调递减，则实数 的取值范围是 ．
14.已知 是圆 1: ( + 1)
2 + 2 = 4( ∈ )上的动点， ( + 3,0)，点 ， 是圆 2: ( 5)
2 + (
6)2 = 4上的两个动点，点 (6,6)满足 = 0， + = ，则| | + 2| |的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
√ 3sin +cos
已知在△ 中，tan = ，2cos = sinC.
sin √ 3cos
(1)判断△ 的形状，并说明理由;
(2)点 在 边上，且 = 3 ，若 = 2，求△ 的面积．
16.(本小题15分)
2
设函数 = ( )的表达式为 ( ) = 1 ( > 0且 ≠ 1)． +1
(1)判断函数 = ( )的奇偶性，并说明理由;
1 1 2 3 19
(2)若函数 ( ) = ( ) + 1，求 (0) + ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) + (1)的值．
2 20 20 20 20
17.(本小题15分)
已知圆 : 2 + ( 1)2 = 5，过点 (1,1)的直线 交圆 于 ， 两点．
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(1)若| |: | | = 1: 2，求此时直线 的方程;
(2)过 ， 分别作圆 的切线 1， 2，设直线 1和 2的交点为 ，求证：点 在定直线上．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ， ⊥ ， + = 5， = √ 2，∠ = 120 ，
∠ = 45 ．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)设 = ．
√ 33
①若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长．
44
②在线段 上是否存在点 ，使得点 ， ， 在以 为球心的球上？若存在，求线段 的长；若不存在，
说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = ( )ln + 1( ∈ , > 0)．
(1)若1是 ( )的极值点，求 的值．
(2)若0 < ≤ 1，试问 ( )是否存在零点 若存在，请求出该零点;若不存在，请说明理由．
(3)若 ( )有两个零点，求满足题意的 的最小整数值. (ln2 ≈ 0.693,√ ≈ 1.649)
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 4√ 2
13.【答案】[6,7)
14.【答案】12 2√ 7
√ 3sin +cos √ 3tan +1
15.【答案】解：(1)由tan = 可得tan = ，
sin √ 3cos tan √ 3
所以tan (tan √ 3) = √ 3tan + 1，
所以tan tan 1 = √ 3(tan + tan )，
所以 tan +tan √ 3tan( + ) = = ，
1 tan tan 3
所以 √ 3tan = tan( + ) = ．
3

因为 ∈ (0, )，所以 = ，
6
又2cos = sin ，所以 √ 3 12cos = sin( + ) = sin( + ) = sin + cos ，
6 2 2
化简可得sin = √ 3cos ，故tan = √ 3，

又因为 ∈ (0, )，所以 = ，所以 = = ，
3 2
所以△ 为直角三角形．
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(2)由(1)得 = ， = ，且△ 为直角三角形，
3 6

设 = ( > 0) ，则 = 2 ， = √ 3 ， = ． 2
在△ 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos ，
2 √ 3 16
即4 = 3 2 + 2 × √ 3 × × ，解得 2 = ，
4 2 2 7
故 1 1 1 √ 3 2 √ 3 16 2√ 3 △ = sin = × × √ 3 × = = × = ． 2 2 2 2 8 8 7 7
16.【答案】解：(1)函数 = ( )是奇函数，理由如下：
2 1 1 1
因为 ( ) = 1 = 的定义域为 ， ( ) = = = ( )， +1 +1 +1 +1
所以函数 = ( )是奇函数
1 1
(2)由(1)知函数 = ( )是奇函数，则 ( ) + ( ) = 0，所以 ( ) + ( ) = 0，
2 2
1 1
所以 ( ) + (1 ) = ( ) + 1 + ( ) + 1 = 2，
2 2
1 2 3 19
故 (0) + ( ) + ( ) + ( ) + + ( ) + (1)
20 20 20 20
1 19 2 18 9 11 10
= [ (0) + (1)] + [ ( ) + ( )] + [ ( ) + ( )] + + [ ( ) + ( )] + ( )
20 20 20 20 20 20 20
= 10 × 2 + 1 = 21。
17.【答案】解：(1)当直线 的斜率不存在时， : = 1，
= 1,
联立{ 2 2 解得 1 = 3， 2 = 1，| | = | |不符合题意； + ( 1) = 5,
当直线 的斜率存在时，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， : = ( 1) + 1，
| | 1
由 = ，得2 = ，则 2 = 3 2 | | 2 1，
= ( 1) + 1,
联立{ 得(1 + 2) 2 2 2 2
2
+ 5 = 0，
+ ( 1)2 = 5,
△> 0 2
2 3+ 则{ 2 ，得 1 = 2，代入上面方程，解答 = ±1， 1 + 2 = 2 1+
1+
故直线 的方程为 = 0或 + 2 = 0．
(2)设 ( , )，则以线段 为直径的圆的方程为 ( ) + ( 1)( ) = 0，
圆 为 2 + ( 1)2 = 5，
两式相减得 (1 ) 4 = 0．
因为直线过点(1,1)，则 (1 ) 4 = 0，
所以 = 5，所以点 在直线 = 5上．
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18.【答案】解：(1)在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ， ⊥ ，
平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
(2)如图以 为原点，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴建立如图所示空间直角坐标系 ，
设 = ，(0 < < 5)，则 = ，由 + = 5， = √ 2，∠ = 120 ，∠ = 45 ，
√ 3
则 ( , 0,0)， (0, , )，
2 2
因 = 5 ，则 (0,5 , 0)， (1,4 , 0)，
√ 3
所以 = ( 1, 4, )， = ( 1,1,0)，
2 2
①设平面 的法向量为 = ( , , )，由 ⊥ ， ⊥ ，
8 √ 3
+ + = 0 10 得：{ 2 2 ，可取 = (1,1, )，
+ = 0 √ 3
设直线 与平面 所成角为 ，
则有：sin = |cos , |，
√ 3
= ( , , )，
2 2
10
√ 33 +
即： = | 2 2 |，
44
√ 10
2 2 3 2
1+1+( ) ×√ 2+ +
√ 3 4 4
化简得：23 2 116 + 140 = 0，
70 70
解得 = 2或 = ，即 = 2或 = ．
23 23
②如图，假设在线段 上是否存在点 ，使得点 ， ， 在以 为球心的球上，
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由 = ，得∠ = ∠ = 45 ，所以∠ = 90 ，
所以 = cos45 = 1，
又因为 = 得 = 5 ， = = 4 ，
√ 3
所以 (0,4 , 0)， (0, , )，
2 2
2
2 √ 3 2 3
由 = 得[ (4 )] + ( ) = 1，即( 4) + 2 = 1，
2 2 2 4
亦即 2 4 + 15 = 0( )，
因为 = ( 4)2 4 × 15 < 0，所以方程( )无实数解，
所以线段 上不存在点 ，使得点 ， ， 在以 为球心的球上．

19.【答案】解：(1) ′( ) = ln + 1 ( > 0)，

因为1是 ( )的极值点，所以 ′(1) = 1 = 0，解得 = 1，
1
此时 ′( ) = ln + 1 ，

1
令 ( ) = ln + 1

1 1
由 ′( ) = + 2 > 0，得 ′( )在(0,+∞)上单调递增，
所以当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0，当 ∈ (1,+∞)时， ′( ) > 0，
所以 ( )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以 ( )在 = 1时取得极值，
所以 = 1；
(2) ①当 = 1时，由(1)可知 ( ) ≥ (1) = 1 > 0，此时 ( )不存在零点；
1
②当 ∈ (0,1)时，令 ( ) = ′( )，则 ′( ) = + 2 > 0，
所以 ′( )在(0,+∞)上单调递增，又 ′( ) = ln < 0， ′(1) = 1 > 0，且 ′( )在(0,+∞)上的图象是不间
断的，
所以存在唯一的 0 ∈ (0,1)，使得 ′( 0) = 0，
当 ∈ (0, 0)时， ′( ) < 0，当 ∈ ( 0, +∞)时， ′( ) > 0，
所以 ( )在(0, 0)上单调递减，在( 0, +∞)上单调递增，
所以 ( )min = ( 0) = ( 0 )ln 0 + 1，
由 ′( 0) = 0，得 = 0(ln 0 + 1)，
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所以 ( )min = [ 0 0(ln 0 + 1)]ln 0 + 1 = 0(ln )
2
0 + 1，
设 ( ) = 2( < 0)，则 ′( ) = 2 ，令 ( ) = ′( )，则 ′( ) = 2，
令 ′( ) = 0，得 = ln2，
( ∞, ln2) 2 ( 2,0)
′( ) + 0
′( ) 单调递增 极大值 单调递减
所以 ′( ) ≤ ′( ln2) = 2 + 2ln2 < 0，
则 ( )在( ∞, 0)上单调递减，
所以 ( ) > (0) = 0 0 = 1 > 0，
则当 < 0时， 2 > 0，
1
所以 ln 0 (ln 2 20) > 0( 0 ∈ (0,1)),即 (ln ) > 0， 00
1
所以 ( 0) = 0(ln )
2
0 + 1 = 0[ (ln )
2
0 ] > 0，故 ( )无零点． 0
综上， ( )不存在零点；
(3)由(2)可知，当0 < ≤ 1时， ( )无零点，舍去，
当 > 1时， ‘( )在(0,+∞)，上单调递增且图象是不间断的，
又 ′(1) = 1 < 0， ′( ) = ln > 0，所以存在唯一的 1 ∈ (1, )，使得 ′( 1) = 0
当 ∈ (0, 1)时， ′( ) < 0，当 ∈ ( 1, +∞)时， ′( ) > 0，
所以 ( )在(0, 1)上单调递减，在( 1, +∞)上单调递增，
所以 ( )min = ( 1) = ( 1 )ln 1 + 1，
由 ′( 1) = 0，得 = 1(ln 1 + 1)，
所以 ( )min = [ 1 1(ln
2
1 + 1)]ln 1 + 1 = 1(ln 1) + 1，
因为 ( )有两个零点，所以 ( 1) < 0，
令 ( ) = 1 (ln )2( > 1)，则 ′( ) = (ln )2 2ln ，
当 > 1时， ′( ) = (ln )2 2ln < 0恒成立，
所以 ( )在(1,+∞)上单调递减，且图象是不间断的，
(2) = 1 2(ln2)2 > 0， ( 1) < 0，所以 1 > 2，
设 ( ) = ln + ( > 1)，则 ′( ) = 2 + ln > 2 > 0，
所以 ( )在(1,+∞)上单调递增，所以 = ( 1) > (2) = 2ln2 + 2 ≈ 3.386，
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当 = 4时， (1) = 1 > 0， ( 1) < ( ) = 3 < 0， (4) = 1 > 0，
又因为 ( )在(0, 1)上单调递减，在( 1, +∞)上单调递增且图象连续不间断，
所以 ( )在(0, 1)与( 1, +∞)上分别存在一个零点，即 ( )恰有两个零点，
故 的最小值为4．
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