2024-2025学年安徽省“县中联盟”高三（上）月考数学试卷（12月份）（PDF版，含答案）

2024-2025 学年安徽省“县中联盟”高三（上）月考数学试卷（12 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ ∈ ， 2 4 5 < 0”的否定是( )
A. ∈ ， 2 4 5 ≥ 0 B. ， 2 4 5 ≥ 0
C. ， 2 4 5 ≥ 0 D. ∈ ， 2 4 5 ≥ 0
2.已知集合{ = | 2 2 8 < 0}， = { | = 2 +4 3}，则 ∩ =( )
A. ( 2,1] B. ( 2,1) C. ( 4,1] D. ( 4,1)
3.已知平面 ，直线 ， ，且 ， ，则“ // ”是“ // ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.已知角 ( ≠ , ∈ )的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 (tan , 4)，则
2
sin2 +1
=( )
cos2 +1
9 9 9 1 9 1
A. B. C. 或 D. 或
2 8 2 2 8 8

5.已知向量 = (√ 3, √ 5)，且向量 与 的夹角为 ，则| |的最小值为( )
4
A. 1 B. √ 2 C. 2 D. 4
2 +4 4
6.已知两个等差数列{ }，{ }的前 项和分别是 ，

，且 = ，则 =( ) 3 +1 5
3 9 7 3
A. B. C. D.
4 14 11 5
5
7.如图，在扇形 中，半径| | = | | = 2，弧长为 ，点 是弧 上的动点，点 ， 分别是半径 ，
6
上的动点，则△ 周长的最小值是( )
A. √ 6+ √ 3 B. 4 C. 2√ 3 D. √ 6+ √ 2
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8.已知定义域为(0,+∞)的函数 ( )满足： ， > 0， ( ) = ( ) + ( ) 2，且当 > 1时， ( ) > 2，
10 1 1
若 = ln ， = ， = tan ，则( )
9 10 9
A. ( ) < ( ) < ( ) B. ( ) < ( ) < ( )
C. ( ) < ( ) < ( ) D. ( ) < ( ) < ( )
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某超市随机抽取了当天100名顾客的消费金额作为样本，并分组如下：[0,50)，[50,100)，[100,150)， ，
[250,300](单位：元)，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是( )
A. 若该超市当天总共有600名顾客，则消费金额在[100,150)(单位：元)内的顾客约有180人
B. 若每组数据以区间中点值为代表，则样本中消费金额的平均数是145元
C. 若用样本估计总体，则该超市当天消费金额的中位数是100.8元
D. 现从样本的第1，2组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人做进一步调
2
查，则抽到的2人的消费金额都不少于50元的概率是
5

10.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, > 0, | | < )2 的部分图象如图所示，则( )
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4
A. + =
3
2
B. (1 ) = ( )
3
2
C. 函数 ( )的图象与直线 = 1的相邻两交点间的距离为
3
1
D. ( ) + ( 1) = 0
3
11.某兴趣小组制作了一个直三棱柱 1 1 1容器(容器壁厚度忽略不计)，其中 = 3， = 5， =
7，则下列说法正确的是( )
10√ 3 4
A. 若四棱锥 1 1 1的体积为 ，则 3 1 = 3
208
B. 若三棱柱 1 1 1的外接球的表面积为 ，则三棱柱 1 3 1 1的侧面积为30
2√ 3
C. 若 1 = 2，棱长为 的正方体能被整体放入此容器且可自由转动，则 的最大值为 3
3√ 7
D. 若 1 = 4，点 在四边形 1 1内(含边界)，且 = ，则点 的轨迹长度为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
4 3
12.已知 = ，则| | = ．
2+3 13
1 4 1
13.已知随机变量 ( , 2)，且正数 ， 满足 ( ≤ ) = ( ≥ )，则 + 的最小值为 ．
4 2 +
2 2
14.已知实轴长为4的双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的渐近线为 ±√ 3 = 0， 1， 2分别为 的上、下
焦点，过点 2的直线 与 的上、下两支分别交于点 ， ，且| 1 | = | 1 |，则直线 的斜率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图1，在矩形 中， = 1， = √ 3，将△ 沿着 翻折到△ 的位置，得到三棱锥 ，
且 ⊥平面 ，如图2所示．
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(1)求证：平面 ⊥平面 ;
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
16.(本小题15分)
已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，向量 = ( , sin )， = ( + , sin + sin )， // ．
(1)求 的大小;
4
(2) 是边 上一点且 平分∠ ，若 = ，△ 的面积是2√ 3，求△ 的周长．
3
17.(本小题15分)
已知函数 ( )与 ( )分别是定义在 上的奇函数和偶函数，且 ( ) + ( ) = ．
(1)求函数 ( )与 ( )的解析式;

(2)若对于 ∈ [ , 0]，不等式 ( cos ) + ( sin ) > 0恒成立，求实数 的取值范围．
2
18.(本小题17分)
已知数列{ }满足 +2 = 6 +1 9 ( ∈ + )，且 1 = 3， 2 = 18．
(1)证明：数列{ +1 3 }是等比数列;
(2)求数列{ }的通项公式;
2 +3 +1 1
(3)若数列{ }的前 项和为 ， = ( + 1)( )( ∈ )，证明：数列{ }中任意不同的三项都不

+
+1 3
能构成等差数列．
19.(本小题17分)
法国著名数学家拉格朗日给出一个结论：若函数 ( )在闭区间[ , ]上的图象是一条连续不断的曲线，在开
区间( , )上都有导数，则在区间( , )上存在实数 ，使得 ( ) ( ) = ′( )( )，这就是拉格朗日中值
定理，其中 称为 ( )在区间[ , ]上的“拉格朗日中值”.已知函数 ( ) = 3 3 2 +2 ， ( ) = ( ) +
2 ， ( ) = ln +3．
(1)利用拉格朗日中值定理求函数 ( )在[1,3]上的“拉格朗日中值”;
(2)利用拉格朗日中值定理证明：函数 ( )上任意两点连线的斜率不小于2 1;
(3)针对函数 ( )，请证明拉格朗日中值定理成立．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1
13.【答案】9
√ 15 √ 15
14.【答案】 或
3 3
15.【答案】(1)证明：因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
(2)解：以点 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴，过点 且垂直于平面 的直线为 轴，建
立如图所示的空间直角坐标系，
由(1)知 轴在平面 内．
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 = 1， 2√ 3 √ 6 = √ 3，所以 = √ 2，所以 (0, , )，
3 3
又 (0,0,0)， (1,0,0)， (0,√ 3, 0)，
所以 2√ 3 √ 6 = (1,0,0)， = ( 1, , )， = ( 1,√ 3, 0)．
3 3
设平面 的法向量是 = ( , , )，
2√ 3 √ 6
则{
= 0 + + = 0,，即{ 3 3 ，
= 0 + √ 3 = 0,
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令 = √ 3，则 = 1，
√ 2
= ，
2
所以平面 的一个法向量为 √ 2 = (√ 3, 1, ).
2
设直线 与平面 所成角为 ，
| | √ 3 √ 6
则sin = |cos < ， > | = = =| || | 1 3 ， √ 3+1+
2
√ 6
即直线 与平面 所成角的正弦值是 ．
3
16.【答案】解：(1)因为 // ，
所以( + )sin = ( )(sin + sin )，
由正弦定理，得( + ) = ( )( + )，
所以 2 + 2 2 = ，
2
+ 2 2 1
由余弦定理，得cos = = = ，
2 2 2
2
因为 ∈ (0, )，所以 = ．
3
(2)因为△ 的面积是2√ 3，
1
所以 sin∠ = 2√ 3，
2
√ 3
即 = 2√ 3，所以 = 8．
4

因为 是∠ 的角平分线，所以∠ = ∠ = ，
3
因为 △ = △ + △ ，
1 2 1 1
所以 sin = sin + sin ，
2 3 2 3 2 3
4
即 = ( + ) ，所以8 = ( + )，即 + = 6．
3
由余弦定理，得 2 = 2 + 2 2 cos∠ = ( + )2 = 28，
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所以 = 2√ 7，所以 + + = 6 +2√ 7，
即△ 的周长为6 + 2√ 7．
17.【答案】解：(1)由题意可知， ( ) + ( ) = ， ①，
( ) + ( ) = ( ) + ( ) = ， ②，
① ②，得2 ( ) = ，

所以 ( ) = ，
2
① + ②，得2 ( ) = + ，
+
所以 ( ) = ．
2

(2)若 ∈ [ , 0]， ( cos ) + ( sin ) > 0恒成立，
2
则 ( cos ) > ( sin )恒成立，
因为函数 ( )在 上是奇函数，
所以 ( sin ) = ( + sin )，

即 ( cos ) > ( + sin )对 ∈ [ , 0]恒成立．
2
+
因为 ′( ) = > 0，所以函数 ( )在 上是增函数，
2

所以 cos > + sin 对 ∈ [ , 0]恒成立，
2

当 = 时， cos = 0，

+ sin = 2 1 < 0，
2
所以 cos > + sin 成立．
+sin
当 ∈ ( , 0]时，cos > 0，所以 > 对 ∈ ( , 0]恒成立．
2 cos 2
+sin 1 (sin +cos )
令 ( ) = ， ∈ ( , 0]，则 ′( ) = ，
cos 2 cos2

令 ( ) = 1 (sin + cos )， ∈ ( , 0]，
2

则 ′( ) = 2 cos ，当 ∈ ( , 0]时，cos > 0， > 0，
2

所以 ′( ) = 2 cos < 0， ( )在( , 0]上单调递减，故 ( ) ≥ (0) = 0．
2

所以 ′( ) ≥ 0， ( )在( , 0]上单调递增，故 ( )max = (0) = 1． 2
+sin
所以由 > 对 ∈ ( , 0]恒成立，得 > 1，
cos 2
综上所述，实数 的取值范围是( 1,+∞).
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18.【答案】解：(1)证明：因为 +2 = 6 +1 9 ，
所以 +2 3 +1 = 3( +1 3 )，
因为 1 = 3， 2 = 18，所以 2 3 1 = 9，
3
所以 +2 +1 = 3，
+1 3
所以数列{ +1 3 }是以9为首项，3为公比的等比数列．
(2)解：由(1)，得 +1 3 = 9× 3
1 = 3 +1，
+1 1
所以 = 1，又 = 1，
3 +1 3
3

所以数列{ }是以1为首项，1为公差的等差数列，
3

所以 = ，即 3 = × 3 ．
2 +3 +1 2 ×3 +3 +1
(3)证明： =
+1 ×3 ×( +1)×3 +1
2 + 3
=
( + 1)× 3 +1
1 1
=
×3 ( +1)×3 +1
，
1 1 1 1 1 1
所以 = ( 1×3 2×32
) + ( ) + + [ ]
2×32 3×33 ×3 ( +1)×3 +1
1 1
= ，
3 ( +1)×3 +1
1 1
所以 = ( +1)( )= +1， 3 3
假设数列{ }中存在不同的三项 ， ， ( , , ∈ +且 ， ， 互不相同)成等差数列，
2 1 1
所以2 = + ，即 =
3 +1 3 +1
+ +1， 3
1
不妨设 < ，因为函数 = 单调递减，
3 +1
2 1 1 2 2
所以
3 +1
= +1 +3 3 +1
∈ ( +1 , +1)， 3 3
2 1 1
所以 < < .在 +1 = +1 + +1两边同时乘以3
+1，
3 3 3
得2 × 3 = 3 + 1，即2 × 3 3 = 1，
因为 ， ∈ +，所以2 × 3
，3 都是3的倍数，
即2 × 3 3 是3的倍数，但1不是3的倍数，
所以2 × 3 3 = 1不成立，即假设错误．
所以数列{ }中任意不同的三项都不能构成等差数列．
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19.【答案】(1)解： (3) = 6， (1) = 0， ′( ) = 3 2 6 + 2，
由拉格朗日中值定理，得在区间(1,3)上存在实数 ，使得 (3) (1) = 2 ′( )，
2√ 3 2√ 3
即2(3 2 6 + 2) = 6，解得 = 1+ 或 = 1 ．
3 3
2√ 3
因为 ∈ (1,3)，所以 = 1 + ，
3
2√ 3
所以函数 ( )在[1,3]上的“拉格朗日中值”为1 + ．
3
(2)证明：由 ( ) = 3 3 2 +2 + 2 ，
得 ′( ) = 3 2 6 + 2 + + 2 ．
在 ( )的图象上任取两点 ( , ( ))， ( , ( ))， ≠ ，
( ) ( )
根据拉格朗日中值定理，得存在 ∈ ( , )，使得 ′( ) = ．

因为 ′( ) = 3 2 6 + 2 + + 2
≥ 3( 1)2 1 + 2√ × 2
= 3( 1)2 1 + 2 ≥ 2 1，
当且仅当 = 1时两个等号同时成立，
所以 ′( )的最小值是 ′(1) = 2 1，
( ) ( )
所以 ≥ 2 1，

即函数 ( )上任意两点连线的斜率不小于2 1．
( 2) ( 1)
(3)证明：设 ( ) = ′( ) ， 2 > 1 > 0， 2 1
要证：拉格朗日中值定理成立，
即证：对于任意常数 ， ( )在区间( 1, 2)上有零点．
( 2) ( 1)
( ) = ′( )
2 1
1 ln 2 2 + 3 (ln 1 1 + 3)
=
2 1
1 ln 2 ln 1
= ，
2 1
所以 ( )在区间( 1, 2)上单调递减，
故函数 ( )在区间( 1, 2)上至多有1个零点，
1 ln ln 1
因为 ( ) = 2 1 = ( 21 1 ln
2)，
1 2 1 2 1 1 1
1 ln 2 ln 1 1 1 1
( 2) = = (1 + ln )， 2 2 1 2 1 2 2
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1 1
令 ( ) = 1 ln ，则 ′( ) = 1 = ，

当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减;
当 ∈ (1,+∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增．
所以 ( )在 = 1处取到极小值，也是最小值 (1) = 0，
即 ∈ (0,1)∪ (1,+∞)时， ( ) = 1 ln > 0．

由 2 > 1 > 0，得
2 > 1，所以 2 1 ln 2 > 0，
1 1 1
1
又 2 1 > 0，即 > 0， 2 1
1
所以 ( 1) = (
2 1 ln 2) > 0．
2 1 1 1

由 2 > 1 > 0，得0 <
1 < 1，
2

所以 1 1 ln 1 > 0，即1 1 + ln 1 < 0，
2 2 2 2
1
又 2 1 > 0，即 > 0， 2 1
1 1 1
所以 ( 2) = (1 + ln ) < 0． 2 1 2 2
由函数的零点存在定理知 ( )在区间( 1, 2)上有零点，即针对函数 ( )，拉格朗日中值定理成立．
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