山东省济南市山东省实验中学2025届高三第三次诊断考试数学试卷（PDF版，含答案）

山东省实验中学 2025 届高三第三次诊断考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { || | ≤ 2, ∈ }， = { | = ln(3 2)}，则 ∩ =( )
A. { |0 < < 2} B. { | 2 < < 3} C. {1} D. {1,2}
2.若复数 满足 (1 ) = 1 + ，则 3 =( )
A. 1 B. 1 C. D.
3.农科院专家李教授对新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试
1
验，每个试验组没有发芽的坑数的平均数为 ，则每粒种子发芽的概率 =( )
3
2 1 14 1
A. B. C. D.
3 3 15 15
1
4.锐角 、 满足sin = cos( + )sin ，若tan = ，则cos( + ) =( )
2
1 √ 2 √ 3 √ 2
A. B. C. D.
2 2 2 2
3 1 1
5.已知 ( ) = ， ( ) = ， ( | ) = ，则 ( ) =( )
5 5 2
4 3 2 1
A. B. C. D.
5 5 5 5

6.把函数 ( ) = sin( + )( > 0)的图象向右平移 个单位长度，得到的函数图象关于点( , 0)对称，则当
4 4 2
取最小值时，曲线 = ( )与 = ln 的交点个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.已知函数 ( ) = + , ( ) = ln + ，若 ( 1) = ( 2)，则 1 2的最小值为( )
1 √
A. B. C. 1 D.
2
2 , 0 < < 1
8.定义域为 的函数 ( )满足 ( + 2) = 2 ( ) 2，当 ∈ (0,2]时， ( ) = {1 ，若 ∈ (0,4]
, 1 2

2 7 5时， ≤ ( ) ≤ 恒成立，则实数 的取值范围是( )
2 2
3 5 3
A. [1,+∞) B. [ , 2] C. [2, ] D. [1, ]
2 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某厂近几年陆续购买了几台 型机床，该型机床已投入生产的时间 (单位：年)与当年所需要支出的维修
费用 (单位：万元)有如下统计资料：
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2 3 4 5 6
2.2 3.8 5.5 6.5 7
根据表中的数据可得到经验回归方程为 = 1.23 + ，则( )
A. 与 的样本相关系数 > 0
B. 表中维修费用的第60百分位数为6
C. = 0.08
D. 该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元
10.在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， 是 1的中点，下列说法正确的是( )
A. 若 是线段 1上的动点，则三棱锥 的体积为定值
B. 平面 1 ⊥平面 1
C. 若平面 与正方体各个面所在的平面所成的二面角分别为 6 ( = 1, ,6)，则∑ =1 sin
2 = 2
√ 11
D. 三棱锥 1 外接球的半径为 2
11.我们常用的数是十进制数，如1079 = 1 × 103 + 0 × 102 + 7 × 101 + 9 × 100，表示十进制的数要用10个
数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9;而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进
制的数1101(2) = 1 × 2
3 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20，等于十进制的数13.把 位 进制中的最大数记为
( , )，其中 ， ∈ ， ≥ 2， ( , )为十进制的数，则下列结论中正确的是( )
A. (4,2) = (2,4) B. (8,3) = 38
C. (2 , 3) ≥ (2 , 3) D. ( + 2, + 1) > ( + 1, + 2)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.直线 1: + 3 + 1 = 0， 2: + ( 2) 1 = 0，当 1// 2时，直线 1与 2之间的距离为 ．
+1 1
13.已知等差数列{ }的前 项和为
19
， 1 = 3， = ，则∑ =1 = ． 2
14.若 + sin = 0，则√ + √ √ cos 的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1+cos
记△ 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 = √ 3，且 = tanC.
sin
2
(1)若 = ，求△ 的面积;
3

(2)若 < < ，求 的取值范围．
3 2
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16.(本小题15分)
如图，三棱柱 1

1 1中，平面 ⊥平面 1 1 ， ⊥ ， 1 = = = 2，∠ 1 = 60 ，
过 1 的平面交线段 1 1于点 (不与端点重合)，交线段 于点 ．
(1)求证：四边形 1 为平行四边形;
(2)若 = 2 ，求直线 1 1与平面 1所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
8, 为奇数
已知数列{ }的前 项和为 ， 1 = 13， +1 = { ．
3 , 为偶数
(1)证明：数列{ 2 1 12}为等比数列;
(2)求数列{ }的前2 + 1项和 2 +1．
18.(本小题17分)
已知函数 ( ) = + ln ( ∈ )．
(1)当 = 1时，求曲线 ( )在 = 1处的切线方程;
(2)若函数 ( ) = ( ) + 2 + ln ，求函数 ( )极值点的个数;
(3)当 = 1时，若 ( ) ≤ ( + 1) + 在(0,+∞)上恒成立，求证： ≥ ( + 1)(1 )．
19.(本小题17分)
1 2
已知集合 = { ∈
| ≤ 2 }( ∈ , ≥ 4)，若存在数阵 = [ ]满足：①{ 1, 2, , } ∪1 2
{ 1, 2, , } = ; ② = ( = 1，2， ， )．
则称集合 为“好集合”，并称数阵 为 的一个“好数阵”．
6
(1)已知数阵 = [ ]为 的一个“好数阵”，试写出 ， ， ， 的值;
7 1 2 4
(2)若集合 为“好集合”，证明 的“好数阵”必有偶数个;
(3)判断 ( = 5,6)是否为“好集合”.若是，求出满足条件5 ∈ { 1, 2, , }的所有“好数阵”;若不是，
说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
2√ 2
12.【答案】
3
19
13.【答案】
30
14.【答案】√ 2
1+cos
15.【答案】解：由 = tan ，
sin
1+cos sin
得 = ，
sin cos
得 + = ，
即 + = 0，
即 + cos( + ) = 0，即 = ，
∵ 、 ∈ (0, )， = 在 ∈ (0, )单调递减，
故 B= ．
2
(1)若 = ，则 = = ，
3 6
√ 3
由正弦定理可得 = =
sin sin 2
= 2，
sin
3

则 = 2 = 2 = 1，
6
1 1 √ 3
故△ 的面积为 = = × √ 3 × 1 × sin = ；
2 2 6 4

(2)方法一：由正弦定理可得 = ，
sin sin
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sin sin sin sin √ 3
则 = = = = = = ，
sin sin( 2 ) sin2 2sin cos 2cos 2cos

∵ < < ， = ， + + = ，
3 2
1 √ 2
∴ < < ，∴ ∈ ( , )，
4 3 2 2
√ 3 √ 6
∴ = ∈ ( , √ 3)，
2cos 2
√ 6
即 的取值范围为( , √ 3).
2
2
+ 2 2
方法二：由余弦定理可得 = ，
2
1
又 = ，则 = ，由 < < ，则 ∈ (0, )，
3 2 2
2
2 3 3 1
故cos = 2 = 1 2 ∈ (0, )，
2 2 2
√ 6 √ 6
解得 ∈ ( , √ 3)，即 的取值范围为( , √ 3).
2 2
16.【答案】解：(1)证明：在三棱柱 1 1 1 中， 1// 1 ，
因为 1 平面 1 1 ， 1 平面 1 1 ，所以， 1// 平面 1 1 ，
因为 1 平面 1 ， 1 ∩ 平面 1 1 = ，所以， 1// ，
因为平面 // 平面 1 1 1 ，平面 1 ∩ 平面 = ，平面 1 ∩ 平面 1 1 1 = 1 ，
所以， 1 // ，因此，四边形 1 为平行四边形．
(2)因为 ⊥ ，平面 ⊥ 平面 1 1 ，平面 ∩ 平面 1 1 = ，
平面 ，所以， ⊥ 平面 1 1 ，
以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴，
平面 1 1 内过点 且垂直于 的直线为 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
因 1 = = = 2 ， ∠ 1 = 60
，
则 (2,0,0) ， (0,2,0) ， 1(0,1,√ 3) ， 1(0,3, √ 3) ，
= (2,0,0) ， 1 = (0,3,√ 3) ， = (2, 2,0) ， = (0,2,0) ，
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1 = + = +
1 2 4
= (0,2,0) + (2, 2,0) = ( , , 0) ，
3 3 3 3
1 = 3 + √ 3 = 0
设平面 1 的法向量 = ( , , ) ，则 { 2 4 ，
= + = 0
3 3
令 = 1 ，得 = ( 2,1, √ 3) ，
而 1 1 = = (0,2,0) ，设直线 1 1 与平面 1 所成角为 ，
| | 2 √ 2
于是得 sin = |cos , | = 1 11 1 = = ， | | | 1 1| 2√ 2×2 4
√ 2
所以直线 1 1 与平面 1 所成角的正弦值为 ． 4
8, 为奇数
17.【答案】解：(1)因为 +1 = {
3 , 为偶数
所以当 ≥ 2， ∈ 时，
2 1 12 = 2( 1)+1 12 = 3 2 2 12
= 3 (2 3)+1 12 = 3( 2 3 8) 12 = 3( 2 3 12)，
又 = 1时， 1 12 = 13 12 = 1，
所以数列{ 2 1 12}为首项为1，公比为3的等比数列．
(2)由(1)知 2 1 12 = 3
1，所以 12 1 = 3 + 12，
8, 为奇数
又由 +1 = { ，可得
2
2 2 = 3 + 4， ≥ 2， ∈ ，
3 , 为偶数
所以 2 +1 = 1 + 2 + 3 + + 2 + 2 +1
= ( 1 + 3 + + 2 +1) + ( 2 + 4 + + 2 )
= [30 + 3 + + 3 + 12( + 1)] + (30 + 3 + + 3 1 + 4 )
1 3 +1 1 3
= + + 16 + 12
1 3 1 3
= 2 × 3 + 16 + 11
1
18.【答案】(1)解： ( )的定义域为(0,+∞)， ( ) = + ln ， ′( ) = 1 + ，

所以 (1) = 1， ′(1) = 0，所以曲线 ( )在 = 1处的切线方程为 = 1．
(2)解： ( ) = ( ) + 2 + ln = 2ln + + 2，
2 2 2+ +2
′( ) = 2 + + = ( > 0)，

对于方程2 2 + + 2 = 0， = 2 16，
第 6 页，共 9 页
①当 4 ≤ ≤ 4时，△= 2 16 ≤ 0， ′( ) ≥ 0，此时 ( )没有极值点;
②当 < 4时，方程2 2 + + 2 = 0的两根为 1， 2，不妨设 1 < 2，

则 1 + 2 = > 0， 1 2 = 1，0 < 1 < 2， 2
当0 < < 1或 > 2时， ′( ) > 0，
当 1 < < 2时， ′( ) < 0，此时 1， 2是函数 ( )的两个极值点;

③当 > 4时，方程2 2 + + 2 = 0的两根为 3， 4，且 3 + 4 = < 0， 3 4 = 1， 2
故 3 < 0， 4 < 0，当 ∈ (0,+∞)时， ′( ) > 0，故 ( )没有极值点;
综上，当 < 4时，函数 ( )有两个极值点;
当 ≥ 4时，函数 ( )没有极值点．
(3)证明：由 ( ) ≤ ( + 1) + 在(0,+∞)上恒成立，得 + ln ( + 1) ≤ 在(0,+∞)上恒成立，
1
设 ( ) = + ln ( + 1)， ′( ) = 1 + ，

当 ≤ 1时， ′( ) ≥ 0， ( )在(0,+∞)上单调递增，此时 ≥ ( )显然不恒成立．
1 1
当 > 1时，若 ∈ (0, )，则 ′( ) > 0， ( )在(0, )上单调递增，
1 1
1 1
若 ∈ ( ,+∞)，则 ′( ) < 0， ( )在( , +∞)上单调递减，
1 1
1 1 1 1
所以 ( )max = ( ) = ln + ( + 1) = ln( 1) 1， 1 1 1 1
所以 ln( 1) 1 ≤ .
要证 ≥ ( + 1)(1 )成立，

因为 > 1，即证明 ≥ 1．
1
ln( 1) 1 ln( 1) ( 1) 2
因为 ≥ = ，
1 1 1
ln 2
令 1 = ( > 0)， ( ) = ，

ln +1 1
′( ) = ，令 ′( ) = 0得 = ，
2
1 1
当 ∈ (0, )时， ′( ) < 0， ( )在(0, )上单调递减，

1 1
当 ∈ ( , +∞)时， ′( ) > 0， ( )在( , +∞)上单调递增，

1
所以 ( )min = ( ) = 1，所以 ≥ 1， 1
所以 ≥ ( + 1)(1 )成立．
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6
19.【答案】(1)解：因为数阵 = [ ]是 4的一个“好数阵”， 7 1 2
7 = 1
所以 4 = {1,2,3,4,5,6,7,8}，由{ , , , 6} ∪ {1, , 1,2} = 4，并且{ = 2,
1 = 3
得： = 8， = 5， = 4， = 3．
1 2
(2)证明：当集合 为“好集合”时，数阵 = [ ] 的一个“好数阵”． 1 2
2 + 1 1 2 + 1 2 2 + 1 构造数阵 = [ ]，
2 + 1 1 2 + 1 2 2 + 1
因为 是“好数阵”，所以当 = 1，2， ， 时，(2 + 1 ) ∈ ，(2 + 1 ) ∈ ，且
{2 + 1 1, 2 + 1 2, ,2 + 1 } ∪ {2 + 1 1, 2 + 1 2, ,2 + 1 } =
因为(2 + 1 ) (2 + 1 ) = = ( = 1,2, , )，
2 + 1 1 2 + 1 2 2 + 1 所以数阵 = [ ]也是一个好数阵”．
2 + 1 1 2 + 1 2 2 + 1
一方面，因为(2 + 1) (2 + 1 ) = ，(2 + 1) (2 + 1 ) = ( = 1,2, , )，
所以 = ．
另一方面，假设2 + 1 2 = 2，因为 2 2 = 2，所以2 + 1 2 = 2 + 2，
2 1
所以 2 = ，与 2 ∈ 矛盾，所以 ≠ ． 2
故集合 的“好数阵”必有偶数个．
1 2
(3)假设数阵 = [ ]是集合 的一个“好数阵”． 1 2
由题意得：∑ + ∑ = ∑2 =1 =1 =1 ，∑ =1 ∑ =1 = ∑ =1 ，两式相加得：
2 (1+2 )×2 (1+ )× (5 +3)2∑ =1 = ∑ =1 + ∑ =1 = + = ， 2 2 2
(5 +3)即∑ =1 = 4
6×33 99
当 = 6时，∑6 6 =1 = = ，与∑ ∈ 矛盾，所以 不是“好集合”． 4 2 =1 6
5 5×28当 = 5时，∑ =1 = = 35，若5 ∈ { 1, 2, 3, 4, 5}， 4
因为10 ∈ { 1, 2, 3, 4, 5}，1 { 1, 2, 3, 4, 5}，所以{ 1, 2, 3, 4, 5}只有以下两种
可能：{10,5,9,8,3}和{10,5,9,7,4}
①若{ 1, 2, 3, 4, 5} = {10,5,9,8,3}，则{ 1, 2, 3, 4, 5} = {1,2,4,6,7}，
使 = 5的只有9 4，使 = 4的有两种可能：5 1 = 4或10 6 = 4
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3 8 10 5 9
情形一：5 1 = 4时，只有10 7 = 3，8 6 = 2，3 2 = 1，可得 1 = [ ] ; 2 6 7 1 4
8 3 5 10 9
情形二：10 6 = 4时，只有5 2 = 3，3 1 = 2，8 7 = 1，可得 2 = [ ] ; 7 1 2 6 4
②若{ 1, 2, 3, 4, 5} = {10,5,9,7,4}，则{ 1, 2, 3, 4, 5} = {1,2,3,6,8}，
使 = 5的只有7 2，使 = 4的有两种可能：5 1 = 4或10 6 = 4，
4 10 9 5 7
情形一：5 1 = 4时，只有9 6 = 3，10 8 = 2，4 3 = 1，可得 3 = [ ] ; 3 8 6 1 2
9 5 4 10 7
情形二：10 6 = 4时，只有4 1 = 3，5 3 = 2，9 8 = 1，可得 4 = [ ]． 8 3 1 6 2
综上， 6不是“好集合”; 5是“好集合”，且满足5 ∈ { 1, 2, 3, 4, 5}的好数阵有四个：
3 8 10 5 9 8 3 5 10 9 4 10 9 5 7
1 = [ ] ; = [ ] ; = [ ] ; 2 6 7 1 4 2 7 1 2 6 4 3 3 8 6 1 2
9 5 4 10 7
4 = [ ]． 8 3 1 6 2
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