广西新课程教研联盟2025届高三第一学期联考数学试卷（11月份）（PDF版，含答案）

广西新课程教研联盟 2025 届高三第一学期联考数学试卷（11 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 1 < < 2}， = { ∈ || | ≤ 1}，则 ∩ 等于( )
A. { 1,0} B. {0,1} C. { 1,0,1} D.
2.若(1 2 )( ) = 5，则| | =( )
A. √ 2 B. 2√ 2 C. √ 5 D. √ 10
3.设 ∈ ，向量 = ( , 1)， = ( , 4)，则 = 2是 ⊥ 的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2
4.已知焦点在 轴上的椭圆 ： + 2 = 1( > 0)的焦距为2，则其离心率为( ) 4
√ 3 √ 5 √ 3 2√ 5
A. B. C. D.
2 5 4 5
5.已知函数 ( ) = 2 ( )( > 0)的图象与直线 = 2的相邻交点间的距离为 ，若定义 { , } =
, ≥ 3
{ ，则函数 ( ) = { ( ), ( ) }在区间( , )内的图象是( )
, < 2 2
A. B.
C. D.
6.如图甲，在边长为4的正方形 中， ， 分别是 ， 的中点，将△ ，△ ，△ 分别沿 ，
， 折起，使得 ， ， 三点重合于点 ′，如图乙，若三棱锥 ′ 的所有顶点均在球 的球面上，
则球 的体积为( )
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A. √ 6 B. 6 C. 8 D. 8√ 6
7.南宋数学家杨辉在《详解九章算法 商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差
数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个， ，设第
1 1 1 1
层有 个球，则 + + + + 的值为( ) 1 2 3 2021
4044 2023 2022 2021
A. B. C. D.
2023 1012 2023 1011
8.已知函数 ( ) = + ， ( ) = + ，若 ( 1) = ( 2)，则 1 2的最小值为( )
1 √
A. B. C. 1 D.
2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若直线 的方向向量为 = (2,4, 2)，平面 的一个法向量为 = ( 1, 2,1)，则 ⊥
1 1 1
B. 若空间中任意一点 ，有 = + + ，则 ， ， ， 四点共面
3 6 2
C. 若空间向量 , 满足 < 0，则 与 夹角为钝角
1 1
D. 若空间向量 = (1,0,1), = (0,1, 1)，则 在 上的投影向量为(0, , )
2 2
10.下列说法中，正确的是( )
1 1 1
A. 若 ( | ) = ( | ) = , ( ) = ，则 ( ) =
2 3 6
B. 已知随机变量 服从正态分布 (2, 2)， ( < 4) = 0.74，则 (2 < < 4) = 0.24

C. 已知两个变量具有线性相关类系，其回归直线方程为 = + ；若 = 2, = 1, = 3，则 = 1
D. 若样本数据 1， 2， ， 10的方差为2，则数据2 1 1，2 2 1， ，2 10 1的方差为4
11.如图，边长为1的正方形 所在平面与正方形 在平面互相垂直，
动点 ， 分别在正方形对角线 和 上移动，且 = = (0 < <
√ 2)，则下列结论中正确的有( )
1
A. ∈ (0, √ 2)，使 =
2
2
B. 线段 存在最小值，最小值为
3
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C. 直线 与平面 所成的角恒为45°
D. ∈ (0,√ 2)，都存在过 且与平面 平行的平面
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
4
12.已知 ∈ ( , )， = ，则cos( + ) = ______．
2 5 3
13.已知甲盒中有3个白球，2个黑球；乙盒中有1个白球，2个黑球．
若从这8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是______；
若从甲、乙两盒中任取一盒，然后从所取到的盒中任取一球，则取到的球是白球的概率是______．
2 2 2
14.已知椭圆 1： 2 + 2 = 1( > > 0)的长轴长和短轴长分别等于双曲线
2
2
： = 1的焦距和虚轴
3
长，在椭圆 1上任取一点 ，过点 作圆
2 2
2： + ( + 3) = 2的两条切线 ， .切点分别为 ， ，则
的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ( + ) = ．
(1)求 ；
(2)若 = √ 2， = √ 5， 为 的中点，求 ．
16.(本小题15分)
如图，三棱柱 1 1 1中，四边形 1 1， 1 1均为正方形， ， 分别是棱 ， 1 1的中点， 为
1 上一点．
(1)证明： //平面 1 ；

(2)若 = , 1 = 3 1 ，求直线 与平面 1 所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知函数 ( ) = 2 + 1， ∈ ．
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(1)当 = 1时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)当 > 0时，若函数 ( )有最小值2，求 的值．
18.(本小题17分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)，若椭圆的焦距为4且经过点( 2, √ 2)，过点 ( √ 6, 0)的直线交椭圆于
， 两点．
(1)求椭圆方程；
(2)求△ 面积的最大值，并求此时直线 的方程；
(3)若直线 与 轴不垂直，在 轴上是否存在点 ( , 0)使得∠ = ∠ 恒成立？若存在，求出 的值；若
不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由 ( ∈ )位成员组成，成员按预先安
排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束
闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成
员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队
接力闯关活动结束．
1
已知 团队每位成员闯过第一关和第二关的概率均为 ，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互
2
不影响．
(1)用随机变量 表示 团队第2( ∈ , ≥ 2)位成员的闯关数，求 的分布列；
(2)已知 团队第6( ∈ , > 6)位成员上场并闯过第二关，求恰好是第3位成员闯过第一关的概率；
(3)记随机变量 表示 团队第 ( = 1,2, , )位成员上场并结束闯关活动，证明 ( )单调递增，并求使
11
( ) ≤ 的 的最大值． 4
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
3+4√ 3
12.【答案】
10
1 7
13.【答案】
2 15
14.【答案】0
15.【答案】解：(1)因为 ( + ) = ，
由正弦定理，得 ( + ) = ，
在△ 中， = sin( + )，
则有 ( + ) = + ，
即 = ，又 ∈ (0, )， ≠ 0，
所以 = ，又 ∈ (0, )，
所以 = 1；
(2)根据余弦定理有 2 = 2 + 2 2 ，
则有5 = 2 + 2 2 ，解得 = 3或 = 1(舍去)，
1
因为 为 的中点，则 = ( + )，
2
2
1
2 2 1 √ 2 17
所以 = ( + + 2 ) = × (2 + 9 + 2 × √ 2 × 3 × ) = ，
4 4 2 4
√ 17
解得 = ．
2
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16.【答案】(1)证明：连接 ， 1， ，
因为 // 1 1，且 = 1 1，
又 ， 分别是棱 ， 1 1的中点，
所以 // 1 ，且 = 1 ，
所以四边形 1 为平行四边形，
所以 1 // ，
又 1 平面 1 ， 平面 1 ，
所以 //平面 1 ，
因为 // 1// 1，且 = 1 = 1，
所以四边形 1 为平行四边形，
所以 1 // ，
又 平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以 1 //平面 1 ，
因为 1 ∩ = ， 1 ， 平面 1，
所以平面 1//平面 1 ，
因为 平面 1，
所以 //平面 1 ；
(2)解：四边形 1 1， 1 1均为正方形，
所以 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
所以 1 ⊥平面 ，
因为 // 1，
所以 ⊥平面 ，
从而 ⊥ ， ⊥ ，
又 = ，
所以△ 为等边三角形，
因为 是棱 的中点，
所以 ⊥ ，
即 ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
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设 = 2√ 3，则 (0,0,0)， (0,0,2√ 3)， (0,3,0)，
1(0,3,2√ 3)， 1( √ 3, 0,2√ 3)，
所以 = (0,3,0), 1 = ( √ 3, 0,2√ 3)，
设 = ( , , )为平面 1 的法向量，
= 0 3 = 0
则{ ，即{ ，令 = 1，
1 = 0 √ 3 + 2√ 3 = 0
则 = (2,0,1)，

因为 = 3 ，所以1 1 (0,2,2√ 3), = (0,2,2√ 3)，

设直线 与平面 1 所成角为 ， ∈ [0, ]， 2
= 2 × 0 + 0 × 2 + 1 × 2√ 3 = 2√ 3，| | = √ 22 + 02 + 12 = √ 5，| | = √ 02 + 22 + (2√ 3)2 = 4，

2√ 3 √ 15
所以cos < ， >= = = ，
| | | | √ 5×4 10
则 = |cos < ， √ 15 > | = ．
10
即直线 与平面 1 所成角的正弦值为
√ 15．
10
1
17.【答案】解：(1) ∵当 = 1时， ( ) = 2 + + 1， ′( ) = 2 + ，

1
′(1) = 2 + = 3， (1) = 1 + 1 + 1 = 2，
1
∴ ( )在点(1, (1))处切线方程为 2 = 3( 1)，即 = 3 1．
2
(2) ∵ ( ) = 2
2
+ 1， > 0， ′( ) = 2 = ，


令 ′( ) > 0，解得： > √ ；令 ′( ) < 0，解得：0 < < √ ，
2 2

∴ ( )在(0,√ )上单调递减，在(√ , +∞)上单调递增，
2 2

∴ ( ) = (√ ) = √ + 1 = 2 ln 1 = 0， 2 2 2 2 2 2
1 1
则令 = > 0，设 ( ) = 1， ′( ) = 1 = ．
2
令 ′( ) > 0，解得： > 1；令 ′( ) < 0解得：0 < < 1，
∴ ( )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

∴ ( ) ≥ (1) = 1 1 1 = 0，则 = = 1 = 2．
2
故 = 2．
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2 2 = 4
18.【答案】解：(1)由题意， = 2，将点( 2, √ 2)代入椭圆方程得{ 4 2
2 + = 1
，
2
2 2
解得 2 = 8， 2 = 4，所以椭圆 的方程为 + = 1．
8 4
(2)根据题意知直线 的斜率不为0，设直线 ： = √ 6， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= √ 6
联立{ 2 2 2 2 ，消去 整理得( + 2) 2√ 6 2 = 0，
+ = 1
8 4
2√ 6 2
∴ 1 + 2 = ， 1 2 = 2 ，且 = 32
2 + 16 > 0，
2+2 +2
1 √ 6
∴ 2△ = △ + △ = × | | × | 2 1
2| = × √ ( 1 + 2) 4 2 1
2
√ 2 2+1
= 2√ 6 × ，令 = √ 2 2 + 1， ≥ 1，
2+2
4√ 6 4√ 6 4√ 6
∴ △ = 2 = 3 ≤ = 2√ 2， +3 + 2√ 3

3
当且仅当 = ，即 = √ 3，即 = ±1时，等号成立，
所以△ 面积的最大值为2√ 2，此时直线 的方程为 + + √ 6 = 0或 + √ 6 = 0．
(3)在 轴上存在点 4√ 6 ( , 0)使得∠ = ∠ ，理由如下：
3

因为∠ = ∠ ，所以 +
1 2
= 0，即 + = 0 ， 1 2
整理得 1( 2 ) + 2( 1 ) = 0，即 1( 2 √ 6 ) + 2( 1 √ 6 ) = 0，
即2 1 2 (√ 6 + )( 1 + 2) = 0，
则 2 2√ 6 4√ 62 × 2 (√ 6 + ) × = 0，又 ≠ 0，解得2 = ， +2 +2 3
所以在 轴上存在点 4√ 6 ( , 0)使得∠ = ∠ ．
3
19.【答案】解：(1) 的所有可能取值为0，1，2，
1
( = 0) = ，
4
1 1 1 1 1
( = 1) = (1 ) × (1 ) + × (1 ) = ，
2 2 2 2 2
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1 1 1
( = 2) = (1 ) × = ，
2 2 4
∴ 的分布列如下：
0 1 2
111

424
(2)记 团队第 (1 ≤ ≤ 1, ∈ )位成员上场且闯过第二关的概率为 ，
1
若前面 1人都没有一人闯过第一关，其概率为 ′ = ( ) +1，
2
1 1
若前面 1人有一人闯过第一关，其概率为 ″ = 1 +1 +1 1( ) = ( 1)( ) ， 2 2
1
故 = ′ + ′′ = ( ) +1，
2
=“第6位成员上场且闯过第二关”， =“第3位成员闯过第一关”，
1 1 1 1 1
故 ( ) = (1 )2 × × (1 )3 × = ( )7，
2 2 2 2 2
( ) 1
( | ) = = ．
( ) 6
1
(3)由(2)知， ( = ) = ′ + ′′ = ( )
+1(1 ≤ ≤ 1, ∈ )．
2
1
当 = 时，若前面 1人都没有一人闯过第一关，其概率为 ′ = ( )
1，
2
1
若前面 1人有一人闯过第一关，其概率为 ′′ = ( 1)( ) ，
2
1
故 ( = ) = ′ + ′′ = ( + 1)( ) ．
2
1 1 1故 ( ) = ∑ =1
2 ( ) +1 + ( + 1)( ) ( ∈ , ≥ 2)．
2 2
1 1 1 1
( 2 +1) ( ) = ( )
+1 + ( + 1)( + 2)( ) +1 ( + 1)( ) = ( + 2)( ) +1 > 0，即 ( )单调递增；2 2 2 2
7
又 ( 2) = ， 4
故 E( ) = ( 2) + [ ( 3) ( 2)] + [ ( 4) ( 3)] + + [ ( ) ( 1)]，
7 1 3 1 1 1所以 ( ) = + 4 × ( ) + 5 × ( )
4 + + ( ) 1 + ( + 1)( ) ，①
4 2 2 2 2
1 7 1 1
( ) = + 4 × ( )4 + + ( 1)( ) 1
1
+ ( )
1
+ ( + 1)( )
+1，②
2 8 2 2 2 2
1 11 1 1 1 1 3 +3 1
① ②得 ( ) = + ( )
4 + ( )5 + + ( ) ( + 1)( ) +1 = ( ) ，
2 8 2 2 2 2 2 2 2
1
故 ( ) = 3 ( + 3)( )
< 3．
2
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1 11 1 1
由3 ( + 3)( ) ≤ ，得( + 3)( ) ≥ ，
2 4 2 4
1 1 1 1
设 = ( + 3)( )
，则 +1 = ( + 4)( )
+1 ( + 3)( ) = ( 2)( ) +1 < 0，
2 2 2 2
1
故{ }单调递减， 5 = ，故满足题意的 的最大值为5． 4
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