山东省德州市第二中学2025届高三第一学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

山东省德州市第二中学 2025 届高三第一学期 12 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∈ | 2 2 3 < 0}，则满足 的非空集合 的个数为( )
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
2.已知 是抛物线 ： 2 = 8 上的一点， 为 的焦点，若| | = 11，则 的纵坐标为( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
3.已知平面向量 = (0,1), = ( 1,1)，则向量 在向量 上的投影向量是( )
√ 2 √ 2 √ 2 √ 2 1 1 1 1
A. ( , ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( , )
2 2 2 2 2 2 2 2

4.已知函数 ( ) = cos[ ( ) + ]( > 0)的图像关于原点中心对称，则 的最小值为( )
3 4
13 9 5 1
A. B. C. D.
4 4 4 4

5.若 是方程 2 + + 1 = 0的一个虚数根，则 2 =( )
A. 0 B. 1 C. √ 3 D. 1或√ 3
6.已知直线 ： = + 1和曲线 ： 2 + 2 2 2| | = 0有公共点，则实数 的取值范围为( )
A. [2 √ 3, 2 + √ 3] B. [√ 3 2,1] C. [ 1,2 + √ 3] D. [ 1,1]
2 2
7.已知双曲线 ： = 1的左右焦点分别是 ，点 是 的右支上的一点(异于顶点)，过 作∠ 的
25 9 1 2 2 1 2
角平分线的垂线，垂足是 ， 是原点，则| | =( )
A. 随 点变化而变化 B. 5 C. 4 D. 2
8.已知定义在 上的奇函数 ( )满足 ( ) = (2 )，当 ∈ [ 1,1]时， ( ) = 3 ，若函数 ( ) = ( )
3
( 2)的所有零点为 ( = 1,2,3,… , )，当 < < 1时，∑ =1 =( ) 7
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列{ }是首项为1，公比为3的等比数列，则( )

A. { +1}是等差数列 B. { +1 }是等差数列
C. {log3 }是等比数列 D. { +1}是等比数列
2 2
10.已知 是双曲线 ： = 1上任意一点， ， 是双曲线的两个顶点，设直线 ， 的斜率分别为 1，4
2( 1 2 ≠ 0)，若| 1| + | 2| ≥ 恒成立，且实数 的最大值为1，则下列说法正确的是( )
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2
A. 双曲线的方程为 2 = 1
4
B. 双曲线的离心率为√ 3
C. 函数 = ( + 1 + √ 5)( > 0, ≠ 1)的图象恒过双曲线 的一个焦点

D. 设 1， 2分别是双曲线的左、右焦点，若△ 1 2的面积为√ 3，则∠ 1 2 = 3

11.已知函数 ( ) = ( ∈ )的图象关于直线 = 对称，则( )
6
A. ( )的最小正周期为2

B. ( )在[ , ]上单调递增
3 3

C. ( )的图象关于点( , 0)对称
3
2
D. 若 ( 1) + ( 2) = 0，且 ′( )在( 1, 2)上无零点，则| 1 + 2|的最小值为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12.已知甲： ≥ 1，乙：关于 的不等式 < 0( ∈ )，若甲是乙的必要不充分条件，则 的取值范围是
1
______．
13.已知正项数列{ }的前 项积为 ，且满足 (3 1) = ( ∈
)，则 = ______．
14.已知等边△ 的边长为√ 3， 为△ 所在平面内的动点，且| | = 1，则 的取值范围是
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2 2
过椭圆 + = 1内一点 (1,1)的弦 ．
16 4
(1)若点 恰为弦 的中点，求直线 的方程；
(2)求过点 的弦的中点的轨迹方程．
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16.(本小题15分)

已知函数 ( ) = + ( ∈ )．

(1)当 = 0时，求 ( )的单调区间；
(2)当 = 1时，证明： ( ) ≥ 1．
17.(本小题15分)
如图，长方形 纸片的长 为3 + √ 7，将矩形 沿折痕 ， 翻折，使得 ， 两点均落于 边
上的点 ，若 = √ 7, ∠ = ．
(1)当 2 = 时，求长方形宽 的长度；

(2)当 ∈ (0, ]时，求长方形宽 的最大值．
2
18.(本小题17分)
2 2 √ 3
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，点(√ 3, √ 2)在椭圆 上. 、 分别为椭圆 的上、下顶点， 3
动直线 交椭圆 于 、 两点，满足 ⊥ ， ⊥ ，垂足为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求△ 面积的最大值．
19.(本小题17分)
模糊数学普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等.假设在一个模糊
数学系统中，用 来表示系统在第 ( ∈
)个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态 +1满足 +1 =
( )，0 < 1 < 1，其中 ( ) =
2 + ．
(1)当 = 3时，若满足对 ∈ ，有 = ( +1)，求 ；
(2)当 = 1时，判断{ }中是否存在连续的三项构成等比数列；若存在，求出连续的三项；若不存在，说明
理由．
1 1
(3)若 21 = , = 1，记 =
2
+1，证明： 2 1 + 2 + 3 + + < ． 6
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】{ | ≥ 1}
1 1 1
13.【答案】 ( ) +
2 3 2
1 11
14.【答案】[ , ]
2 2
15.【答案】解：(1)设直线 的斜率为 ，则 的方程可设为 1 = ( 1)．
1 = ( 1)
{ 2 2 2 2 得 + 4( + 1 ) = 16
+ = 1
16 4
得(1 + 4 2) 2 + 8 (1 ) + 4(1 2) 16 = 0
8 ( 1)
设 ( 1, 1), ( 2, 2),则 1 + 2 = 2 ，
1+4

而 (1,1)是 中点,则 1
+ 2 = 1．
2
8 ( 1) 1
综上,得 2 = 2,解得 = ．
1+4 4
1
∴直线 的方程为 1 = ( 1),即 + 4 5 = 0．
4
(2)设弦 的中点为 ( , )
∵ ， ， ， 四点共线，
∴ =
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1 1+ 1即( ) 2 = ,而 1 + 2 = 2 , 1 + 2 = 2 4 1+ 2 1
1 2 1
∴ ( ) = ,整理,得轨迹方程为 2 + 4 2 4 = 0．
4 2 1
1 1
16.【答案】解：(1)当 = 0时， ( ) = ，则 ′( ) = 1 = ( > 0)，

由 ′( ) > 0，得0 < < 1；由 ′( ) < 0，得 > 1，
所以 ( )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，

(2)证明：方法一：当 = 1时， ( ) = + = ln ，

( 1)
令 ( ) = ( > 0)，可知 ′( ) = ，

则 ( )在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，

因此 ( ) = ≥ (1) = (当且仅当 = 1时取得等号)．

令 ( ) = ( 2 )，则由(1)知， ( )在[ , +∞)单调递增，

因此 ( ) ≥ 1，所以 ( ) = ( ) ≥ 1．

( )( 1)
方法二：当 = 1时， ( ) = + ，则 ′( ) = 2 ( > 0)，
由(1)可知， ≤ 1 < ，即 < ，
所以 ( )在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，
因此 ( ) ≥ (1) = 1(当且仅当 = 1时取得等号)．
1 2
17.【答案】解：(1)当 2 = 时，有2 = ，即 = ，所以 = ，
2 3
设 = = ， = = ，
因为 = 3 + √ 7， = √ 7，所以 + = 3①，
在△ 中，由余弦定理知， 2 = 2 + 2 2 ∠ ，
所以7 = 2 + 2
2
2 ②，
3
由①②得， = 2，
1 1 2
因为△ 的面积 △ = ∠ = ，即 = √ 7 ， 2 2 3
√ 3
2 √ 21
所以 = 2 = ．
√ 7 7
(2)由(1)可得， + = 3，7 = 2 + 2 2 = ( + )2 2 2 = 9 2 (1 + )，
1
所以 = ，
1+cos
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1 1
由 △ = ∠ = ，得 = √ 7 ， 2 2

1 1 2 cos 1
所以 = = = 2 2 = tan ，
√ 7 √ 7 1+cos √ 7 2 2 √ 7 2
2

因为0 < ≤ ，所以0 < ≤ , 0 < tan ≤ 1，
2 2 4 2
1 √ 7
所以当tan = 1，即 = 时，( ) = = ． 2 2 √ 7 7
√ 3=
3
18.【答案】解：(1)由题意可知 3 2+ = 1 ，解得 = √ 6， = 2， = √ 2， 2 2

{ 2 = 2 + 2
2 2
所以椭圆 的标准方程为 + = 1；
6 4
(2)由题意知 的斜率存在，设直线 方程为 = + ，其中 ≠ 2，
= +
由{ 2 2 2 2 2 ，消 得(3 + 2) + 6 + 3 12 = 0，
+ = 1
6 4
可知： > 0，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
6 3 2 12
则 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ，
3 +2 3 +2
∵ ⊥ ，
∴ = 1 2 + ( 1 2)( 2 2) = 1 2 + ( 1 + 2)( 2 + 2)
= ( 2 + 1) 1 2 + ( 2)( 1 + 2) + ( 2)
2 = 0，
3 22 12 6 即( + 1) 2 ( 2)
2
2 + ( 2) = 0，
3 +2 3 +2
∴ ( 2 + 1)(3 2 12) 6 2 ( 2) + ( 2)2(3 2 + 2) = 0，
∵ ≠ 2，
故( 2 + 1)(3 + 6) 6 2 + ( 2)(3 2 + 2) = 0，
∴ 3 2 + 6 2 + 3 + 6 6 2 + 3 2 + 2 6 2 4 = 0，
2
∴ = ，满足△> 0，
5
2
故直线 的方程为 = ，
5
2
即 所过定点 (0, )，∵ ⊥ ，
5
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∴点 在以 为直径的圆上，
2
1 | | 1 2 ( ) 12
∴△ 面积的最大值 = | | × = × 4 × 5 = ．
2 2 2 2 5
19.【答案】解：(1)由 +1 = ( )，0 < 1 < 1，其中 ( ) =
2 + ，
可得当 = 3时， ( ) = 3 2 + 3 ，
由满足对 ∈ ，有 = ( +1)，知 1 = 3
2
2 + 3 2，
又 2 = 3
2
1 + 3 1，
4
两式作差得：( 2 1)[4 3( 1 + 2)] = 0，∴ 1 = 2或 1 + 2 = ； 3
2 2
当 = 21 2时， 1 = 3 1 + 3 1，解得： 1 = 0或 1 = ，又0 < 1 < 1，∴ 1 = ； 3 3
4 4 2
当 1 +
2
2 = 时， = 3 + 3 ，解得： = ； 3 3 1 1 1 1 3
2 2 2 2 2
∴ 1 = 恒成立，又 ( ) = 3 × ( )
2 + 3 × = ， = ( )，
3 3 3 3 3 +1
2
∴数列{ }为常数列，即 = ． 3
(2){ }中假设存在连续的三项构成等比数列，
当 = 1时， ( ) = 2 + ，
设连续的三项 ， +1， +2成等比数列，则 ≠ 0，
2+ 2 +
由等比数列的定义，可得 +1 = = + 1，
+2 = +1 +1 =
+1
+ 1，
+1 +1
即有 + 1 = +1 + 1，即 = +1，
又 +1 =
2
+ ，∴ =
2
+ ，解得 = 0，与 ≠ 0矛盾，
∴假设错误，即在{ }中，不存在连续的三项成等比数列．
(3)当 = 1时， ( ) = 2 + ，
当0 < < 1时， ( ) = (1 ) > 0且 ( ) = 2 + < < 1，∴ 0 < ( ) < 1；
∵ 0 < 1 < 1， +1 = ( )，∴ 0 < < 1，∴
2
+1 = ( ) = + < ，
∴数列{ }为递减数列，
1
∵ 2 = (
2 2 2 2 2 2
+ ) = +1，∴ +1 < 1 = ， 4
1 1 1
∴ 1 +
2
2 + 3 + …+ = ∑ =1
2
+1 < ∑
2
=1 = ( 1 2 + 2 3 + …+ +1) = ( 1 4 4 4
1 1 1
+1) < 1 = < ． 4 8 6
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