2024-2025学年北京市海淀区十一学校高三上学期12月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市海淀区十一学校高三上学期12月月考数学试题
一、单选题：本大题共10小题，共50分。
1.若两条直线与垂直，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
3.设是各项均为正数的等比数列，为其前项和已知，若存在使得的乘积最大，则( )
A. B. C. D.
4.下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 在的最小值为
D. 若，则
5.要得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
6.已知奇函数在上单调递增，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知直线与圆相交于两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
8.若圆上存在点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.已知是各项均不为零的等差数列，，公差是的前项和，设，则数列( )
A. 有最大项，无最小项 B. 有最小项，无最大项
C. 有最大项和最小项 D. 无最大项和最小项
10.在棱长为的正方体中，点分别为棱的中点点为正方体表面上的动点，满足给出下列四个结论，不正确的是( )
A. 存在点，使得 B. 存在点，使得平面
C. 存在点，使得 D. 存在点，使得
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.双曲线的渐近线方程是 ．
12.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上若，则点的横坐标为 ，的面积为 ．
13.若点关于直线对称点为，写出的一个取值为 ．
14.阿基米德多面体也称为半正多面体，是以边数不全相同的正多边形为面围成的多面体如图，已知一个阿基米德多面体的所有顶点均是某个正方体各条棱的中点，且正方体的棱长为，则该阿基米德多面体的体积为 ；是该阿基米德多面体的同一面上不相邻的两个顶点，点是该多面体表面上异于点的任意一点，则的最大值为 ．
15.已知曲线，给出下列四个命题：
曲线关于轴轴和原点对称：
当时，曲线上及围成的区域内部共有个整点即横纵坐标均为整数的点：
当时，曲线围成的区域面积大于；
当时，曲线围成的区域内含边界两点之间的距离的最大值是．
其中所有真命题的序号是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16.已知函数，．
求的最小正周期及的值；
直线与函数，的图象分别交于，两点，求的最大值．
17.在中，角，，所对的边分别为，，已知．
求的值：
若，的周长为，求的面积．
18.如图，四棱锥中，，底面是个直角梯形，，，．
证明：；
从下面条件条件条件三个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题．
条件：；
条件：；
条件：二面角的大小为．
在棱上是否存在点不与端点重合，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分
19.已知椭圆的右顶点，下顶点，焦距为．
求椭圆的方程及离心率；
设不经过右顶点的直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于，若点为线段的中点，求证：直线经过定点．
20.已知函数，其中，为自然对数的底数．
若函数在处的切线与平行，
求的值；
证明：函数在定义域上恰有两个不同的零点．
设函数在区间上存在极值，求证：．
21.已知项数列，满足有若变换满足，有，且有，则称数列是数列的一个排列．，记，如果是满足的最小正整数，称数列存在阶逆序排列，称是的阶逆序变换．
已知数列，数列，求：
证明：对于项数列，不存在阶逆序变换：
若项数列存在阶逆序变换，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

13.答案不唯一，满足，
14.

15.
16.因为，
所以的最小正周期为，；
由题意可知，，两点的坐标为，，
则
，
因为，所以，
所以，则，
所以在时的最大值为．

17.因为，
所以由正弦定理可得，
由余弦定理得，
所以，得；
因为，，，
所以，，
所以，
即，由正弦定理得，
因为的周长为，即，
由知，
联立解得，，
所以的面积为．

18.取的中点，连接、，因为，
所以，又，所以，
所以，即，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以；
因为，，又，所以，所以四边形为矩形，
如图以为坐标原点，平面，建立空间直角坐标系，
则，，，；
若选条件：，显然平面，设，
则，，所以，与矛盾，故条件不符合题意；
若选条件：，显然平面，设，
则，解得，则，
所以，，
设，
则，
设平面的法向量为，则，取，
设直线与平面所成的角为，则，
解得或舍去，所以的值为；
若选条件：二面角的大小为．
由可知即为二面角的平面角，即，又，
所以，
则，，
设，
则，
设平面的法向量为，则，取，
设直线与平面所成的角为，则，
解得或舍去，所以的值为．

19.依题意可得，即，所以，
则椭圆方程为，离心率；
由可知，
联立得，且，
设，
则有，
故，
因为，所以直线，则，
因为，
所以直线，所以．
因为点为线段的中点，所以，
所以，
，
，
，
，
，
，
因为，所以，
直线，令，解得
所以直线恒过定点．

20.的定义域为，
，
因为函数在处的切线与平行，
所以，得；
由得，，
令，
因为，所以在单调递减，
又，，
所以存在唯一的，使，即，
当时，，即，在单调递增；
当时，，即，在单调递减，
又当且仅当，即时等号成立，
即，因为，，
由零点存在性定理知在和分别有一个零点，
综上，函数在定义域上恰有两个不同的零点；
依题意，，
则，
当时，，在单调递增，不合题意；
当时，令，，则，
所以在单调递增，
因为，要使得在上存在极值，
则须满足，即
所以，，即．
设，则，
令，则，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增，
所以，
即当时，，
所以，．
所以，
即，
所以．

21.由于，，故，，，．
所以，即．
所以，即．
所以，即．
故，．
对数列的任意变换，
若存在，有，则，
则不是的阶逆序变换；
若对，由，，，，
则，，，，
所以，和是相同的数列．
若是的逆序排列，则也是的逆序排列，所以，不是阶逆序变换；
若，有，，，
则，，
所以，不是的阶逆序变换，
综上所述，对于项数列，不存在阶逆序变换．
由知阶数列不存在阶逆序变换，
对于项数列、、，
若，则，所以，变换不是的阶逆序变换；
若，
当时，有，则，所以，变换不是的阶逆序变换；
当时，有，则，
所以，变换不是的阶逆序变换；
若，同可知，变换不是的阶逆序变换；
所以，项数列不存在阶逆序变换；
对于项数列、、、、，
若存在阶逆序变换，则，，，，，
若，则对于数列、、、、，和上述的变换，
有，，，，
所以，这项数列、、、存在阶逆序变换，与的结论矛盾；
若，因为，则存在、，有，，
此时，，与是阶逆序变换矛盾，
所以，项数列不存在阶逆序变换．
对于项数列、、、、、，存在变换，使得、、、、、，
则、、、、、，、、、、、，
所以，项数列存在阶逆序变换．
综上所述，的最小值为．

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