课件12张PPT。2.3.2 平面与平面垂直的判定 复习与回顾观察1：为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角。 请同学们观察下面的水坝，水坝在修建的时候，为了坚固耐用，水坝的坡面与水平面要成一个适当的角度，这个角就是两个面所成的角。观察2：当我们把教室的门打开到一定位置，门所在的面与墙所在的面也形成一个角。我们把类似这样的角成为二面角.小 结课件13张PPT。2.3.4 平面与平面垂直的性质复 习
1.二面角与二面角的平面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
2.平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就说这两个平面互相垂直． 3.两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 情 境 问 题
为什么墙面和地面垂直的时候，墙体就不容易倒塌呢？
将一本书放置在桌面上，且使书所在平面与桌面垂直．当书面沿书面与桌面的交线转动时，它会怎么样呢？由物理学原理知，它会倒塌．思考： 在我们的课室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？在下所给正方体中,判断下列是否正确?1）平面ADD1A1 平面ABCD；
2）D1A AB；
3）D1A 面ABCD 过点A可以在平面ADD1A1
内作无数条直线，而这些直
线满足什么条件就可以使之与平面ABCD垂直？探 索 研 究
如果两个平面互相垂直，那么在第一个平面内垂直于交线的直线，是否垂直于第二个平面呢？ 证明：过B在平面β内作BE⊥CD，两个面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个面。1）这个性质定理有什么用？2）在运用这个面面垂直的性质定理时，应具备什么条件？ 如图，已知平面α，β，α⊥β，直线a满足a垂直β，a α，试判断直线a与平面α的位置关系。探究已知：α∩β＝a，α⊥γ，β⊥γ，求证：a⊥γ．分析：
“从已知想性质，从求证想判定”
这是证明几何问题的基本思维方法．(1)证明直线a垂直于γ内两条相交直线，从而进一步想如何在γ内找到这两条相交直线；
(2)证明直线a与γ的垂线平行，从而进一步想
如何找γ的垂线；(1)证明直线a垂直于γ内两条相交直线，从而进一步想如何在γ内找到这两条相交直线； nm(2)证明直线a与γ的垂线平行，从而进一步想如何找γ的垂线；nm二、“转化思想”线面关系线线关系面面关系线面平行线线平行线面垂直线线垂直面面垂直面面平行一、两个平面垂直的性质定理小结课件16张PPT。 旗杆所在的直线与地面垂直，但一条直线
与一个平面垂直的确切意义是什么呢？ 思考：一条直线平行于平面内的一条直线，则该
直线与这个平面平行。那么，怎样定义一
条直线与一个平面垂直呢？直线与平面垂直：
如果直线 l与平面α内的任意一条直线都垂
直，我们就说直线 l与平面α互相垂直.
记作 l ⊥α.直线 l ：
平面α：
点P：平面α的垂线，直线 l 的垂面.垂足. 用一块三角形的纸片，过△ABC的顶点
A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片
竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）（1）折痕AD与桌面
垂直吗？
（2）如何翻折才能
使折痕AD与桌面所
在平面α垂直？（1）如果AD所在直线与桌面所在平面上的一条
直线垂直，能不能判断AD垂直平面？
（2）折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，
AD ⊥CD，AD⊥BD，由此你能得到什么结论？ 直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂
直，则该直线与此平面垂直. 已知a//b，a⊥α，求证b⊥α.证明：在平面内作两条相交直
线m，n
因为直线a⊥α，
所以 a⊥m，
又因为a//b，
所以b ⊥m，
又因为m ìα，
m，n是两条相交直线
所以b⊥α.a⊥nb⊥nnìα，平面的斜线：
斜足：
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过
垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上
的射影.O 平面的一条斜线和
它在平面上的射影所成
的锐角，叫做这条直线
和这个平面所成的角. 一条直线和一个平面相交，但不和
这个平面垂直.斜线和平面的交点.直线与平面所成的角： 一条直线垂直于平
面，我们就说它们所成的
角的直角 一条直线和平面平行，或
者在平面内，我们就说它们所
成的角是0°的角.∠PAO为直线与平面所成的角 解：连接BC1交B1C于点O，
因为A1B1⊥B1C1，
所以A1B1⊥平面BCC1B1.
所以A1B1⊥BC1.
又因为BC1⊥B1C，
所以BC1⊥平面A1B1CD
所以A1O为斜线A1B在
平面A1B1CD内的射影，
∠BA1O为A1B与
平面A1B1CD所成的角.O 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和
平面A1B1CD所成的角.连接A1OA1B1⊥B1B，因此，直线A1B和
平面A1B1CD所成的
角为30°∠BA1O =30°解：设正方体的棱长为a，
在Rt△A1BO中， 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和
平面A1B1CD所成的角. 在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC 证明：设AC的中点为O，
连接VO，
因为VA=VC，
因为AB=BC，
所以AC⊥平面VBO
因为VBì平面VBO，
所以VB⊥ACBO所以AC⊥VO所以AC⊥BO 过△ABC所在平面外一点P，作PO⊥α，
垂足为O，连接PA，PB，PC
（1）若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是
AB边的___点.
（2）则点O是△ABC的___心.
（3）PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O
是△ABC的___心 中 外 垂 两条直线和一个平面所成的角相等，这两
条直线一定平行吗？ 求证：如果一条直线平行于一个平面，那么
这个平面的任何垂线都和这条直线垂直。课件13张PPT。2.3.3 直线与平面垂直的性质 复习与回顾复习与回顾快速练习√√√小 结垂直平行课件13张PPT。 直线a⊥α，b⊥α，那么直线a与b有什么样的位置关系? 直线a，b一定平行吗? 假设a与b不平行，且b∩α=O，α∩β=c，则O∈c； 因为a⊥α，b⊥α；所以a⊥c， b⊥c； 在平面内，经过直线c上同一点O有两条直线b，b′
与c垂直， 显然不可能； 因此b∥a．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行 用符号语言表示为：a⊥α a∥b b⊥α T(1)a，b分别在正方体的两个
相对面内，此时直线AB必
为这两个面与第三个面的
交线．(2)a，b分别在正方体的两个
相邻面内，此时直线AB必
与这两个面的交线平行． 平面垂直于平面.如何在平面内画一条直线a
与平面垂直？平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．ab思考：设平面⊥平面，点P在平面内，过点P作平
面的垂线a，直线a与平面具有什么位置关系？ 过一点有且只有一条直线与另一个平面垂直．因为α⊥β，即直线a与平面平行． 所以a∥b， b在α内作α垂直于β与交线的直线b所以b⊥β；因为a⊥β，所以a∥α; 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画
“√”，错误的画“×”。(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行( )(2)垂直于同一个平面的两条直线互相平行( ) (3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面
垂直，则这两条直线互相垂直 ( ) √√√下列命题中错误的是（ ）A：如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直
线都垂直于平面β． B：如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定不
存在直线平行于平面β． C：如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内
一定不存在直线垂直于平面β． D：如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α
∩β=l，那么l⊥β．A已知两个平面垂直，那么①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的
任意一条直线．②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内
的无数条直线． ③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平
面． ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂
线必垂直于另一个平面． 其中正确命题的个数是（ ）A：3 B：2 C：1 D：0 Ｂ如图，AB是⊙O的直径，点C是圆周上不同于A，B的任
意一点，平面PAC⊥平面ABC(1)判断BC与平面PAC的位置关系， (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系． 解：(1)因为AB是⊙O的直径，C是圆
周上不同于A，B的任意一点，∠ACB=90°，又因为平面PAC⊥平面ABC，所以BC⊥平面PAC． 所以平面PBC⊥平面PAC．所以BC⊥AC；平面PAC∩平面ABC=AC， BC 欺骗眼睛的几何问题 生活中我们常常相信亲
眼所见，但又常常为自己的
眼睛所骗，魔术就是一个很
好的例子．数学中也有这种
欺骗我们眼睛的奇妙的数学
魔术，请看下面问题1这两
个图形，如果将图1中的四
块几何图形裁剪开来重新拼
接成图2，我们将会发现，
与图1相比，图2多出了一个
洞！这怎么可呢？奥妙何在？ 2.3.2 平面与平面垂直的判定
1.若平面与平面不垂直，那么平面内与平面垂直的直线有【 】
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
2．对于直线，和平面，，的一个条件是【 】
A．，， B.
C． D. ， ，
3.如图，已知正方体中，为的中点，，则下列说法正确的是【 】
A. 平面
B. 平面
C. 平面
D. 无法判断
4.过一条直线与一个平面垂直的平面有【 】
A.1个 B.2个 C.无数个 D.1个或无数个
5．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP=AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是【 】
A．30° B．45° C．60° D．90°
6.是正方形，，则在平面，以及平面中，互相垂直的有【 】
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
7.若是所在平面外一点，而和都是边长为2的正三角形，，那么二面角的大小为 .
8.棱长为的正方体中，分别为棱和的中点. 求证：平面平面.
参考答案
1.A 2. C 3. A 4. D 5. B 6. C 7. 90°
8. ∵ 底面为正方形，∴ .又∵ .
∵ ，∴ 面， 又∵ 、分别为、的中点，
∴ ，∴ 平面. 又平面，∴ 平面平面.
2.3.4 平面与平面垂直的性质
1. 已知平面，直线，直线，，则与的位置关系是【 】
A. B. C. D.以上情况都有可能
2．若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是【 】
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．若平面，平面,则【 】
A. B. C.与相交但不垂直 D.以上都有可能
4.已知二面角是直二面角，直线，直线，且与都不垂直，那么【 】
A.与可能垂直，但不可能平行 B.与可能垂直，也可能平行
C.与不可能垂直，但可能平行 D.与不可能垂直，也不可能平行
5.已知平面，，，给出下列结论:①过点和垂直的直线在内；②过点和垂直的直线在内；③过点和垂直的直线必与垂直；④过点与垂直的平面必与垂直.其中正确的是【 】
A. ② B. ③ C. ① 和 ④ D. ② 和 ③
6．已知两个平面垂直，给出下列一些说法：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确的说法的序号依次是 .
7.如图，已知已知，平面.
求证：.
参考答案
1. D 2. D 3. D 4. C 5. A 6. ②④
7. 提示：过点A在平面PAB内作AE⊥直线PB,则由面面垂直的性质定理，可得AE⊥平面PBC,从而AE⊥BC,又PA⊥平面ABC，∴ PA⊥BC,从而BC平面PAB,∴ .
2.3.1 直线与平面垂直的判定
1．直线与平面内两条平行直线都垂直，则与的位置关系是【 】
A．垂直 B．平行 C．在平面内 D．无法确定
2．垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面的位置关系是【 】
A．垂直 B．平行 C．直线在平面内 D．无法确定
3．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于【 】
A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC
4．若直线平面，直线，则【 】
A． B．l可能和m平行 C．l和m相交 D． l和m不相交
5．如果一条直线与平面内的一条垂线垂直，那么直线与平面的位置关系是【 】
A． B． C． D. 或
6．直线a⊥直线b，b⊥平面，则a与β的关系是【 】
A．a⊥ B. a∥β． C． D．a或a∥
7．如图，在中，，若平面，则图中直角三角形的个数为 ．
8．在正方体中，E是的中点，F是AC,BD的交点，求证：．
9．如图，在空间四边形中，，，求证：．
参考答案
1. D 2. A 3. C 4. A 5. D 6. D 7. 4
8. ∵ ，∴ .
又∵ ，∴ , 得.
取BC中点G，连结， ∴ .
∵ ，∴ .
又∵ 正方形中，E,G分别为的中点， ∴ ，
∴ , 得. 又∵ ， ∴ .
9. 提示: 可证明PO⊥AC, PO⊥BD,而AC、BD是底面ABCD内的两条相交直线，由线面垂直的判定定理即可证明.10. 取的中点，连接.易证，所以，所以.
2.3.3 直线与平面垂直的性质
1.给定下列四个命题：①若直线，则内任何直线都与垂直；
②若直线，则内任何直线都与平行；
③若平面，则内任何直线都与平行；
④若平面，则内任何直线都与垂直.
其中正确的两个命题是【 】
A. ① 与③ B. ② 与 ③ C. ①与 ④ D. ② 与 ④
2．PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是【 】
A. PA⊥BC B. BC⊥平面PAC C. AC⊥PB D. PC⊥BC
3.已知棱锥的高为，为垂足，为锐角三角形，若到底面三边所在直线的距离相等，则是的【 】
A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心
4．在中，，AB=8，，PC面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为【 】
A. B. C. D.
5. 若m⊥α，m⊥β，则α与β的位置关系是 .
6.．在下列说法:
(1)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥β;
(2)直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α；
(3)若平面α⊥平面β，任取直线lα，则必有l⊥β.
其中正确说法的序号是 .
7. 如图,已知平面,,垂足为,,垂足为,求证:.
参考答案
1. A 2.C 3. B 4. 5. α//β 6. (1) 7. 提示：可证明l⊥PA,l⊥PB,∴ l垂直平面PAB，∴ l⊥AB.
