贵州省遵义市2024-2025学年高二上学期12月考试试题 数学（含答案）

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贵州高二数学考试
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册至必修第四册，选择性必修第一册到2.3节.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 以下关于复数的四个命题中，错误的是（）
A.
B. 复数在复平面内对应的点位于第四象限
C. 复数的共轭复数
D. 复数的虚部为
2. 在平面直角坐标系内，已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
3. 命题“，，使得”的否定是（）
A. ，，使得 B. ，，使得
C. ，，使得 D. ，，使得
4. 如图，这是正四棱台被截去一个三棱锥后所留下的几何体，其中，，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
5. 过点且以直线的方向向量为法向量的直线方程为（）
A. B.
C. D.
6. 经过点，且倾斜角是直线的倾斜角的2倍的直线方程为（）
A. B. C. D.
7. 已知点为圆：上的动点，点为圆：上的动点，下列说法正确的有（）
A. 两个圆心所在直线的斜率为
B. 两圆恰有3条公切线
C. 两圆公共弦所在直线的方程为
D. 的最小值为
8. 已知函数的定义域为，当时，，则的解集为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数的最小正周期为，则以下命题正确的有（）
A.
B. 函数的图象关于直线对称
C. 将函数图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称
D. 若方程在上有两个不等实数根，则
10. 已知、、是三条不同的直线，、是两个不同的平面，下列选项正确的有（）
A. 若，，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，，则
D. 若与不垂直，则垂直于内无数条直线
11. 定义域为的函数对任意的非零实数，都满足.当时，.下列结论正确的是（）
A. B. 满足
C. D. 上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，，若，则的值为______.
13. 如图，在四面体中，，，点，分别在，上，且，，则______.
14. 如图，在三棱锥中，，，，为的中点，过作平面，则平面截三棱锥外接球所得截面面积的最小值为___.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直，若直线与直线关于点对称，求直线的方程.
16. 2021年9月24日，中国轻工业联合会、中国乐器协会授予正安县“吉他之都”称号.遵义市某中学同学们利用暑假到正安参加社会实践活动，对县城20至50岁的市民是否会弹吉他进行调查.若会弹吉他，则称为“吉他达人”，否则称为“非吉他达人”.同学们随机抽取2800人进行调查，统计后发现“吉他达人”有1000人，进一步对“吉他达人”各年龄段人数进行统计后，得到了各年龄段“吉他达人”人数的频率分布直方图：
（1）根据直方图估计“吉他达人”年龄的平均数；
（2）若从年龄在的“吉他达人”中采用分层抽样法抽取5人参加“吉他音乐节”表演，再从这5人中随机选取2人作为领队，求2位领队来自同一组的概率.
17. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足.
（1）求；
（2）若，求面积最大值.
18. 已知，是圆的一条直径的两个端点，为圆上任意一点，直线分别与轴、轴交于，两点.角的终边与单位圆交于点.
（1）求圆在点处的切线方程；
（2）求面积最大值；
（3）求的取值范围.
19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，.
（1）证明：平面平面.
（2）若，求点到平面的距离.
（3）求满足题设条件的所有几何体中，与平面所成角的正弦值的最大值.
贵州高二数学考试
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】C
2.
【答案】D
3.
【答案】B
4.
【答案】A
5.
【答案】A
6.
【答案】B
7.
【答案】D
8.
【答案】C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】ABC
10.
【答案】AD
11.
【答案】BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【分析】先求出交点坐标，根据垂直关系求出直线的方程，然后采用相关点法求解出直线的方程.
【详解】因为，所以，所以交点是，
设直线的方程为，代入，则，所以，
因为直线与直线关于点对称，设直线上任意一点的坐标为，
关于的对称点为，且在直线上，
所以，即，
所以直线的方程为.
16.
【小问1详解】
由题意可得：
平均数为
【小问2详解】
由的频率为可得两组人数比为，
故5人中，来自的人数分别为2和3，
所以从这5人中随机选取2人作为领队，求2位领队来自同一组的概率为,
故2位领队来自同一组的概率为.
17.
【小问1详解】
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以.
【小问2详解】
因为，所以，
所以，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为.
18.
【小问1详解】
由题设，且圆的半径为1，则圆，
又，即，显然在圆上，则，
所以圆在点处的切线的斜率为，所求切线为，
整理得.
【小问2详解】
由题设，，则，
到的距离，则到最大距离为，
所以面积的最大值为；
【小问3详解】
设是的中点，则，且，故，
由，，且，
所以，，
所以，
对于，当同向共线时最大，反向共线时最小，
所以，
综上，.
19.
【小问1详解】
由平面，平面，则，又，
由都在面内，则面，面，
所以平面平面.
【小问2详解】
由（1）易知，又，过作于，
由面面，面面，面，
所以面，过作，易知，
故可构建如下图示空间直角坐标系，又，，，
则，
所以，
若是面的一个法向量，则，
令，则，
所以点到平面的距离.
【小问3详解】
同（2）构建空间直角坐标系，易知是与面所成角的平面角，
显然在以为直径的圆上，令，
显然，可得或，
当时，，，则，
所以，此时最大值为；
当时，，，则，
所以，此时最大值为；
综上，与平面所成角的正弦值的最大值为.
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