【新情境·新趋势】北师大版初中数学八年级上册期末情境模拟卷2（A3版含解析）

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初二数学上册期末考试复习卷
（考试时间：120分钟，分值：120分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下面各组数中，是勾股数的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．已知一组数据3，5，9，10，12，x的中位数和众数相等，则这组数据的平均数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．一次函数与，它们在同一坐标系内的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（新情景试题·生活应用型）如图，在底面周长约为米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（ ）
A．14米 B．28米 C．13米 D．26米
7．（新情景试题·数学传统文化）《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．（新情景试题·规律型）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律，经过第2024次运动后，动点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．已知和分别是一个正数的两个平方根，的立方根为，则的平方根为 ．
10．若，两点都在一次函数的图象上，则 ．（填“”，“”，“”）
11．如图一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是 ．
12．有甲、乙两种商品，若购甲2件、乙1件共需120元，若购甲1件、乙2件共需180元，则购甲、乙两种商品各1件共需 元．
13．（新情景试题·规律型）如图，一个质点在平面直角坐标系中的第一象限及轴，轴的正半轴上运动、在第一秒钟，质点从原点运动到，再继续按图中箭头所示的方向（与，轴平行）运动，即，且每秒移动一个单位长度，那么第2024秒时质点所在位置的坐标为 ．
三、解答题（本题共13小题，共81分。其中：14-20每题5分，21题每题6分，22-23题每题7分，24-25题每题8分，26题10分）。
14．计算：
(1)．
(2)．
15．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，使点B与点A重合，折痕为．
(1)求的周长．
(2)求的长．
16．（新情景试题·生活应用型）如图一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别是5，3和1，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长是多少？
17．（新情景试题·社会热点型）2024年第13号台风“贝碧嘉”于9月16日17时前后经过常州，给当地造成了巨大损失．如图，一棵垂直于地面并且高9米的银杏树被台风折断，树顶A落在离树底部C的6米处，求这棵树在离地面多高处被折断．
18．在边长为1的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及的顶点在格点上．
(1)在所给坐标系中作出关于y轴对称的，并写出，，的坐标；
(2)求的面积．
19．已知点，解答下列各题．
(1)点在轴上，求点的坐标；
(2)点的坐标为，直线轴，求点的坐标；
(3)若点到轴、轴的距离相等，求点的坐标．
20．小华骑自行车从家出发沿公路匀速前往图书馆，小华妈妈骑电动车从图书馆出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离与小华的行驶时间之间的函数关系的图象，请解决以下问题．
(1)小华家到图书馆的路程是________；线段对应的函数表达式为________（）；
(2)求线段对应的函数表达式；（不必写自变量的取值范围）
(3)图象中线段与线段的交点K的坐标为________．点K坐标表示的实际意义是________；
(4)设小华和妈妈两人之间的距离为，t的值为________．
21．（新情景试题·方案策略型）小李在某网店选中两款玩偶，决定从该网店进货并销售，两款玩偶的进货价和销售价如表：
类别价格 款 款
进货价（元个）
销售价（元个）
(1)第一次小李用元购进了两款玩偶共个，求两款玩偶分别购进了多少个？
(2)第二次进货时，网店规定款玩偶进货数量不得低于款玩偶进货数量的一半，小李计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？
22．（新情景试题·生活应用型）为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”的主题活动，学校随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”问卷调查（问卷中的问题均为单项选择），并分别绘制扇形统计图和条形统计图（条形图每组不包括左端但包括右端数据），在这次调查的学生中，手机使用目的为“玩游戏”的人数是35人．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)在这次活动中被调查的学生共________人；所抽取的学生使用手机时间的数据的中位数落在__________范围内（填写时间段即可）；
(2)请通过计算，补全条形统计图；
(3)该校有学生4800人，请估算每周使用手机时间超过2小时的人数．
23．如图，，且，，求证：．

24．（新情景试题·生活应用型）某校学期综合评价成绩是由平时作业、期中检测、期末考试三项成绩构成的，如果学期综合评价成绩在90分以上则评为“优秀”．下表是小明和小亮两位同学某学科的成绩．
学生 平时作业/分 期中检测/分 期末考试/分
小明 90 76 89
小亮 92 82 95
(1)若将三项成绩的平均分记为学期综合评价成绩，请计算小明的学期综合评价成绩；
(2)若将平时作业、期中检测、期末考试三项成绩按的比例来确定学期综合评价成绩，请你通过计算判断小亮该学科能否被评为“优秀”．
25．（新情景试题·生活应用型）某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元．
(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？
(2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共300个，且甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，已知甲种型号头盔每个售价为65元，乙种型号头盔每个售价为70元，设甲种型号头盔购进了个，全部售出后的利润为元．
①求的最大值．
②受原材料和工艺调整等影响，商场实际采购时，甲种头盔进货单价上调了元，同时乙种头盔进货单价下调了元，该商场决定不调整两种头盔的售价，发现将300个头盔全部卖出获得的最低利润是4400元，求的值．
26．如图，，点E为两直线之间的一点．
(1)如图1，若，，则_______；
(2)如图2，试说明，；
(3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．C
【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．根据勾股数的特点进行判断即可．
【详解】解：，故选项A不是勾股数；
，故选项B不是勾股数；
，故选项C是勾股数；
，故选项D不是勾股数；
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了众数和中位线的定义，求平均数，熟练掌握定义是解题的关键．将一组数据从小到大进行排序，中位数是指排在中间位置的数；众数是指出现次数最多的数，先根据3，5，9，10，12，x的中位数和众数相等得出，进而根据平均数的定义，即可求解．
【详解】解：∵3，5，9，10，12各有一个数，
∴当x为这些数中任意一个时，这组数据的众数就是那个数，
又3，5，9，10，12，x的中位数和众数相等，
，
这组数据的平均数是；
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可．
【详解】解：①当时，不是二次根式；
②当时，不是二次根式；
③是二次根式；
④当时，不是二次根式；
⑤是二次根式；
⑥是二次根式．
故选B．
4．A
【分析】本题考查一次函数图象与性质，根据题中选项，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：A、由的图象得，
∴，
∴的图象过二、四象限，与选项中的图象相符合，故A符合题意;
B、由的图象得，
∴，
∴的图象过二、四象限，与选项中的图象相矛盾，故B不符合题意;
C、由的图象得，
∴，
∴的图象过二、四象限，与选项中的图象相矛盾，故C不符合题意;
D、由的图象得，
∴，
∴的图象过一、三象限，与选项中的图象相矛盾，故D不符合题意;
故选：A．
5．D
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据，得到，再结合三角形内角和为，即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
．
故选：D．
6．D
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用—最短距离问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘即可得到结果．
【详解】解：根据题意，把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图所示，雕龙把大长方形均分为个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为个小长方形的对角线的和，
∵底面周长约为米，柱身高约米，
∴米，米，
∴米，
∴雕刻在石柱上的巨龙至少为（米），
故选：D．
7．A
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据走路快的人走的路程等于走路慢的人走的路程加上先走的路程，走路快的人走x步和走路慢的人走y步所用时间相同，列出方程组即可．
【详解】解：由题意，可得：；
故选A．
8．B
【分析】先确定横坐标的规律，等于序号数；再确定纵坐标的规律，第一次是1，第二次是0，第三次是2，第四次是0，第五次是1，第六次是0，第七次是2，第八次是0，按照1,0,2,0循环出现，解答即可．
本题考查了坐标系中坐标的规律，熟练掌握规律是解题的关键．
【详解】解：先确定横坐标的规律，第一次是1，第二次是2，第三次是3，第四次是4，第五次是5，第六次是6，第七次是7，第八次是8，
故第n次是n；
根据题意，得纵坐标变化为：第一次是1，第二次是0，第三次是2，第四次是0，第五次是1，第六次是0，第七次是2，第八次是0，按照1,0,2,0循环出现，偶数为0，
故第2024次运动后，动点的坐标是，
故选：B．
9．
【分析】本题考查了平方根和立方根，由平方根的性质可得，即得，由立方根的定义可得，即得，最后根据平方根的定义即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵和分别是一个正数的两个平方根，
∴，
∴，
∵的立方根为，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根为，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质．因为一次函数中，所以随的增大而减小，根据可得．
【详解】解：一次函数中，
一次函数的图象上随的增大而减小，
，
，
故答案为： ．
11．
【分析】本题考查一次函数图象的交点与方程组的解的关系，解题的关键在于对知识的熟练掌握．由交点坐标，先求出，再求出方程组的解即可．
【详解】解：∵的图象经过，
∴，
解得，
一次函数与的图象相交于点，
方程组的解是，
故答案为：．
12．100
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，然后观察方程组的特点和所求问题，只要将两个方程相加，再除以3，即可求得购甲、乙两种商品各1件共需的钱数．
【详解】解：设购甲种商品每件元，乙种物品每件元，
由题意可得：，
①②，得：，
，
即购甲、乙两种商品各1件共需100元，
故答案为：100．
13．
【分析】本题主要考查了点的坐标的变化规律，得出运动变化的规律是解决问题的关键．
先判断出走到坐标轴上的点所用的时间以及相对应的坐标，可发现走完一个正方形所用的时间分别为3，5，7，9…，此时点在坐标轴上，进而得到规律，再运用规律解答即可．
【详解】解：由题意可知这点移动的速度是1个单位长度/每秒，设这点为，
到达时用了3秒，到达时用了4秒，
从到有四个单位长度，则到达时用了秒，到时用了9秒；
从到有六个单位长度，则到时用秒；
依此类推到用16秒，到用秒，到用25秒，到用36秒，到时用秒…，
可得在x轴上，横坐标为偶数时，所用时间为秒；
在y轴上时，纵坐标为奇数时，所用时间为秒，
∵，
∴第2024秒时这个点所在位置的坐标为，
∴第2024秒时这个点所在位置的坐标为．
故答案为：．
14．(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质化简，熟练掌握运算法则和正确化简是解题的关键．
（1）分别计算乘方，立方根和算术平方根，再进行加减计算；
（2）根据二次根式的性质化简，化简绝对值和零指数幂以及立方根，再进行加减计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
15．(1)
(2)
【分析】（1）由翻折易得，则的周长；
（2）由翻折易得，利用直角三角形，勾股定理即可求得长．
本题考查了折叠性质以及勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：∵将折叠，使点B与点A重合，折痕为，
∴，
则的周长；
（2）解：由题意得；
设，则，
，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得；
即．
16．
【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示，

∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5，长为，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长，
由勾股定理得，
则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是13．
17．这棵树在离地面米高处被折断
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据图示知大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，标注相应点后，则有，，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设离地面高度x米处折断，则，，
∵
∴，
∴ ．
∴
答：这棵树在离地面2.5米高处被折断．
18．(1)作图见详解，
(2)
【分析】本题考查了作图-轴对称变换，坐标与图形，解题的关键是正确作图．
（1）利用轴对称图形的性质得出对应点，，，依次连接，再根据图形得出坐标；
（2）利用矩形面积减去周围三角形的面积得出答案即可．
【详解】（1）解：如图即为所作，；
（2）解：．
19．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了求点的坐标以及已知点所在的象限求参数、坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据在x轴上的点的纵坐标为0，进行列式计算，即可作答；
（2）根据直线轴，得出点和点的横坐标是相等的，进行列式计算，即可作答；
（3）根据点到x轴、y轴的距离相等，得出点的纵坐标和横坐标互为相反数或相等，求出点坐标即可．
【详解】（1）解： 在轴上，
，
，
，
点的坐标为；
（2）解：，点的坐标为，直线轴，
，
，
，
点的坐标为；
（3）解：到轴、轴的距离相等，
，
或，
解得或，
当时，，，则
当时，，，则
综上所述，点的坐标为或．
20．(1)，；
(2)
(3)；小华骑自行车行驶小时，在离家处与回家的妈妈相遇．
(4)或．
【分析】本题本题主要考查求一次函数解析式以及一次函数的应用：
（1）由函数图象可得：小华家到图书馆的路程是；设的解析式为，代入，求出的值即可；
（2）设的函数表达式为，把代入，求出的值即可；
（3）联立方程组，再解方程组求出方程组的解即可；
（4）根据题意四种情况：当时，小华离家，当时，小华和妈妈两人之间的距离为，可得，当时，小华和妈妈两人之间的距离为，可得，当不符合题意，舍去，从而可得答案．
【详解】（1）解：由函数图象可得：小华家到图书馆的路程是；
设的函数表达式为，
把代入函数表达式得：，
解得，
∴的函数表达式为；
（2）解：由图象知，，
设的函数表达式为，
则，
解得，
∴的函数表达式为．
（3）解：联立方程组，
解得，
∴点K的坐标为；
∴的坐标的实际意义是小华骑自行车行驶小时，在离家处与回家的妈妈相遇．
（4）解：当时，小华离家，
当时，小华和妈妈两人之间的距离为，
∴，
解得：，
当时，小华和妈妈两人之间的距离为，
∴，
解得：，
当不符合题意，舍去，
∴当小华和妈妈两人之间的距离为时，t的值为或．
21．(1)款玩偶购进个，款玩偶购进；
(2)按照款玩偶购进个、款玩偶购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元
【分析】（）设款玩偶购进个，款玩偶购进个， 由用元购进了，两款玩偶建立方程求出其解即可；
（）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，根据题意可以得到利润与款玩偶数量的函数关系，然后根据款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半，可以求得款玩偶数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何设计进货方案才能获得最大利润；
本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一次函数的运用，由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个，
由题意得：，
解之得：，
∴，
答：款玩偶购进个，款玩偶购进；
（2）解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，
由题意，得，
∵款玩偶进货数量不得低于款玩偶进货数量的一半，
∴，
∴，
∴且为整数，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当取最小值时，取得最大值元，
∴款玩偶有，
答：按照款玩偶购进个、款玩偶购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元．
22．(1)100；2~3
(2)见解析
(3)3120人
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（1）通过扇形统计图求出“玩游戏”对应的百分比，用“玩游戏”的人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数，在根据中位数的定义即可求解；
（2）求出每周使用手机的时间在3小时以上的学生人数，再补全条形统计图即可；
（3）由每周使用手机时间在2小时以上的百分比乘以4800即可得到结果．
【详解】（1）解：“玩游戏”对应的百分比为，
在这次调查中，一共抽取的学生人数为（名）．
所抽取的100名学生使用手机时间的中位数为第50，51名同学的平均数，
即：所抽取的学生使用手机时间的中位数落在2至3小时范围内，
故答案为：100，2至3；
（2）每周使用手机的时间在3小时以上的人数为：人，
补全条形统计图，如图所示；
（3）估计每周使用手机时间在2小时以上的人数约为：人，
答：每周使用手机时间超过2小时的人数约为3120人．
23．见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质及平行线的性质及判定，利用得到，由得，证明，根据全等三角形性质及平行线的性质即可得到结论．
【详解】证明：∵，
∴，即．
∵
∴，
在和中，
，
．
∴
24．(1)85分
(2)小亮该学科能被评为“优秀”
【分析】本题主要查了求加权平均数和算术平均数：
（1）把小明的三次成绩相加，再除以3，即可求解；
（2）根据加权平均数的公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：分，
即小明的学期综合评价成绩为85分；
（2）解：，
所以小亮该学科能被评为“优秀”．
25．(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元
(2)a的值为
【分析】本题主要考查一次函数和二元一次方程组的应用等知识点，
（1）设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是x元和y元，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）①根据甲、乙头盔的购进数量关系以及利润公式得到利润函数，再结合甲头盔数量的限制条件求出利润最大值，②根据进价调整后的利润表达式，分情况讨论不同条件下利润最小值时对应的a值；
熟练掌握二元一次方程组的解法、根据各量之间的数量关系写函数关系式并判断其增减性是解题的关键．
【详解】（1）设甲种型号头盔的进货单价是x元，乙种型号头盔的进货单价是y元，
根据题意，得
，解得，
∴甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元；
（2）①∵甲种型号头盔购进了x个，甲、乙两种型号头盔共300个，
∴乙种型号头盔购进了个，
∴
，
∵甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，
∴解不等式组得，，
∴，
∵，其中，
∴w随x的增大而增大，
∴当时，w有最大值， (元)；
②∵甲种头盔进货单价上调了元后变为元，乙种头盔进货单价下调了a元后变为元，
∴
，
∵，
∴当，即/时，w随x的增大而增大。
∴当时，w取得最小值4400，
∴，
∴，
当，即号时，w随x的增大而减小。
∴当时，w取得最小值4400，
∴，
∴，
又∵时取不符合条件，舍去，
∴a的值为．
26．(1)；
(2)见解析；
(3)，理由见解析．
【分析】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的性质，利用平行线的性质探索角之间的关系．
（1）过点E作直线，利用平行线的性质证明，，即可得到；
（2）过点E作，利用平行线的性质证明，，即可证明，即；
（3）由（1）可得，再证明，由（2）可知，，即可证明．
【详解】（1）解：过点E作直线，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
（2）解：如图所示，过点E作，
，
，
，，
，
即．
（3）解：①，理由如下：
由（1）可得，
平分，平分，
，，
，
由（2）可知，，
．