【新情境·新趋势】北师大版初中数学八年级上册期末情境模拟卷1（A3版含解析）

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初二数学上册期末考试复习卷
（考试时间：120分钟，分值：120分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A． B． C． D．
2．下列属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．若函数是正比例函数，且图象经过第一、三象限，则（　　）
A．2 B． C． D．3
4．已知函数的图象经过点，则比较的大小为（ ）
A． B． C． D．无法比较
5．如图，在中，，分别以这个三角形三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为（ ）
A．6 B． C．12 D．13
6．某次射击比赛，甲队员的成绩如图所示，根据此统计图，判断下列结论中错误的是（）
A．最高成绩是9.4环 B．这组成绩的中位数是9环
C．这组成绩的众数是9环 D．这组成绩的方差是8.7
7．如图，在中，，，过点A作，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（新情景试题·数学传统文化）我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平；并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何 ”其大意是：现在有5只雀和6只燕，用秤来称它们，发现雀比较重，燕比较轻．将一只雀和一只燕交换位置，重量相等；5只雀和6只燕的重量为一斤．问每只雀和每只燕各重多少斤 设每只雀为x斤，每只燕为y斤，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．如图，折叠，使直角边落在斜边上，点落到点处，已知，，则的长为 ．
10．已知是关于的一次函数，则 ．
11．（新情景试题·生活应用型）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某班50名同学的视力检查数据如表所示，其中有两个数据被墨汁遮盖了，以下关于视力的统计量中可以确定的是 （填写正确的序号）．
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 3 3 6 9 12 10
①平均数 ②众数 ③方差
12．如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则方程组的解是 ．

13．（新情景试题·规律型）如图，点在平面直角坐标系中，对其进行轴对称和平移运动：点A关于y轴的对称点为，点关于x轴的对称点为，点向右平移3个单位长度得到点，点向上平移3个单位长度得到点，点关于y轴的对称点为，点关于x轴的对称点为，点向右平移5个单位长度得到点，点向上平移5个单位长度得到点，…，以此规律，点的坐标为 ．
三、解答题（本题共13小题，共81分。其中：14-20每题5分，21题每题6分，22-23题每题7分，24-25题每题8分，26题10分）。
14．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
15．解方程组：
(1)；
(2)．
16．已知与成正比例，当时，，
(1)写出与之间的函数关系式；
(2)当时，求的值；
(3)若点在该函数图象上，求的值．
17．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．
(1)画出关于轴对称的；
(2)写出点，，的坐标；
(3)求的面积．
18．（新情景试题·生活应用型）某初中为了解学生每周在校体育活动的时间（单位：），随机调查了该校的部分学生．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：

(1)本次接受调查的学生人数为________，图①中________；
(2)求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；
(3)根据统计的数据，若该校共有800名学生，估计该校每周在校体育活动时间大于的学生人数．
19．，两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地，分别表示甲、乙两人离开地的距离（）与时间（）之间的关系．
(1)求，的函数关系式．
(2)几小时后，甲乙两人相距？
20．如图，在中，，，点是内部的一点，连接，作，，垂足分别为点，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的周长．
21．已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数
22．（新情景试题·生活应用型）葛藤是一种“刁钻”的植物，它自己腰杆不硬，为争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路径总是沿最短路线螺旋上升.难道植物也懂数学？
(1)想一想怎样找出最短路径；
(2)如图，若树干周长为，葛藤绕一圈升高，则它爬行一周的路程是多少米？
23．（新情景试题·生活应用型）一架云梯长，按如图所示的方式斜靠在一面墙上，云梯底端离墙的距离为．
(1)求此架云梯的顶端到地面的距离；
(2)如果云梯的顶端A下滑了到达E处，求它的底部B在水平方向移动的距离的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处．
(1)的长为_____，点的坐标是_____；直线与直线的位置关系是_____；
(2)求点的坐标；
(3)点是轴上一动点，若，求出点的坐标；
(4)在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（新情景试题·生活应用型）美丽服装店购进A，B两种新式服装共25件，合计花费1900元，已知这两种服装的进价，标价如表所示．
类型价格 A型 B型
进价（元/件） 60 100
标价（元/件） 100 160
(1)请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
(2)如果A种服装按标价出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，美丽服装店一共可获利多少元？
26．（新情景试题·综合与实践）在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”．
【概念理解】
如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点C不与，重合）
（1）______（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；
（2）若，试说明：是"和谐三角形"．
【应用拓展】
（3）如图2，点在的边上，连结，过点作交于点，使，在上取点F，连结，使，，若是“和谐三角形”，请求出的度数．
答案解析部分
1．C
【分析】本题主要考查了勾股数“能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数”，熟记勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐项判断即可得．
【详解】A．都不是正整数，则这组数不是勾股数，此项不符合题意；
B．，则这组数不是勾股数，此项不符合题意；
C．，则这组数是勾股数，此项符合题意；
D．不是正整数，则这组数不是勾股数，此项不符合题意；
故选：C．
2．B
【分析】本题考查的是最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义解答即可．
【详解】解：A、，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意．
故选：B．
3．A
【分析】本题考查正比例函数的定义和性质，根据形如的函数是正比例函数，以及当时，正比例函数的图象经过第一、三象限求解即可．
【详解】解：∵函数是正比例函数，且图象经过第一、三象限，
∴，且，
解得，且，
∴，
故选：A．
4．B
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，判断出一次函数的增减性即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数解析式为，，
∴y随x增大而增大，
∵，
∴，
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键．
由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解．
【详解】解：由勾股定理得：，
即，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积为，
故选：B．
6．D
【分析】此题主要考查了折线统计图，中位数，众数和方差，掌握方差的计算公式是解题关键．根据题意分别求出这组数据的中位数、众数和方差即可判断．
【详解】解：由题意可知，最高成绩是9.4环，故选项A不合题意；
这组成绩的中位数为9环，故选项B不合题意；
这组成绩的众数是9环，故选项C不合题意；
这组成绩的方差是，
故选项D符合题意．
故选：D．
7．D
【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质，利用三角形内角和定理求出，再根据两直线平行内错角相等，即可作答．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
8．A
【分析】本题考查了列二元一次方程组，理解题意，正确找出等量关系列出方程是解题的关键．根据题目中的条件“将一只雀和一只燕交换位置，重量相等”和“5只雀和6只燕的重量为一斤”建立方程即可．
【详解】解：设每只雀为x斤，每只燕为y斤，
根据题意，列出方程得：，
故选：A．
9．/
【分析】此题重点考查翻折变换的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，由，，，求得，由折叠得，，则，由，求得答案．
【详解】解：∵的斜边为，
∴，
∵，，
∴，
由折叠得，，
∴，
∵，且，
∴，
解得，
故答案为：
10．
【分析】此题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义得出，代入代数式求解即可．形如的函数为一次函数．
【详解】解：函数是关于x的一次函数
则，
解得
∴，
故答案为：．
11．②
【分析】本题考查了众数，平均数，方差的意义，理解各个统计量的实际意义以及每个统计量所反映数据的特征是正确判断的前提．
【详解】解：由题意得视力为，的人数是人
视力为4.7次出现人数最多，因此可以确定众数是4.7，而平均数和方差不确定，
故答案为为：② ．
12．
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．先求点的横坐标，然后根据两条直线的交点坐标即可写出方程组的解．
【详解】解：代入得，
解得，
所以点坐标为，
方程组的解就是一次函数的图象与的图象交点的坐标，
所以方程组的解．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了坐标系中点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图像规律，找到横纵坐标变化规律，从而得到点的规律．
根据图形，得到，每四次一个循环，每次循环的平移规则为向右，向上均平移个单位，进而求出点的坐标即可．
【详解】解：由图可知：，，，
∴，
从到的平移为：向上平移3个单位长度，
从到的平移为：向上平移5个单位长度，
依次类推，
从到的平移为：向上平移个单位长度，
∵，
∴的坐标为，
∴向上平移个单位长度，得到，
∴，即：；
故答案为：．
14．(1)1
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查实数的混合运算和二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式先计算二次根式的乘法，再计算减法即可；
（2）原式先化简二次根式，再合并即可得到答案；
（3）原式根据多项式乘以多项式运算法则进行计算即可得到答案；
（4）原式分别根据绝对值的代数意义、零指数幂以及负整数指数幂运算法则化简各项后再合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
15．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算．
（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）将原方程变为，然后再用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：，
得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：；
（2）解：，
原方程组可变为，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：．
16．(1)
(2)
(3)m
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数自变量或函数值，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键．
（1）设与的函数关系式为：，用待定系数法即可求解；
（2）将代入解析式中，即可求解；
（3）将代入解析式中，即可求解的值．
【详解】（1）解：设函数关系式为：，
当时，，
，
，
把代入得，
故函数关系式为：．
（2）解：把代入得：
．
（3）解：将点代入得：
，
解得：m．
17．(1)画图见解析；
(2)，，；
(3)．
【分析】（）根据轴对称图形定义即可作图，
（）根据点的位置即可求点坐标；
（）利用长方形面积减去三个直角三角形面积即可求解；
本题考查了作图-轴对称变换、图形与点的坐标、求三角形面积，熟练掌握轴对称的性质作图是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，
∴即为所求；
（2）解：∵，，，
∴关于轴对称的，，；
（3）解：的面积为：
．
18．(1)40、
(2)众数、中位数和平均数都是3
(3)720人
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法．
（1）由两个统计图可知，的有4人，占调查人数的，可求出调查人数；进而求出的所占的百分比，确定m的值；
（2）根据平均数、众数、中位数的计算方法进行计算即可；
（3）样本估计总体，样本中“每周参加家务劳动时间大于”的学生人数占调查人数的，因此估计总体800人的是“每周参加家务劳动时间大于”的学生人数；
【详解】（1）解：（人），
，即，
故答案为：40、；
（2）解：在这组数据中，出现的次数最多是15次，因此众数是3，
将这组数据从小到大排列，处在中间位置的两个数都是3，因此中位数是3，
平均数为，
答：这组每周参加家务劳动时间数据的众数、中位数和平均数都是3；
（3）解：（人），
答：该校800名学生中每周参加家务劳动的时间大于的学生大约有720人．
19．(1)解析式为；解析式为
(2)小时或小时后，甲乙两人相距
【分析】本题考查的是一次函数的应用；
（1）待定系数法求解析式，即可求解．
（2）根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：设解析式为，根据题意经过点，
∴
解得：
∴解析式为
设解析式为，根据题意经过点
∴
解得：
∴解析式为
（2）解：依题意，或
解得：或
∴小时或小时后，甲乙两人相距．
20．(1)见解析
(2)30
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，勾股定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）由垂直的定义得到，利用三角形内角和定理证明，则可利用证明；
（2）由全等三角形的性质得到，则，再根据勾股定理求出，然后利用三角形周长公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
在和中，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴的周长．
21．(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形的内角和定理的应用，掌握其性质定理是解决此题的关键．
（1）首先得到，然后证明出即可；
（2）首先根据得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）∵
∴，即
又∵，，
∴；
（2）∵
∴
∵
∴．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（）以为切口把树干侧面展开为矩形，则对角线的长为最短路径；
（）由勾股定理即可求解；
本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，
以为切口把树干侧面展开为矩形，则对角线的长为最短路径；
（2）解：根据题意，得，，
∴
答：它爬行一周的路程是．
23．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 掌握勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理直接求解即可．
（2）如果云梯的顶端A下滑了到达E处，则，再利用勾股定理求出，再根据求解即可．
【详解】（1）解：，
则此架云梯的顶端到地面的距离为.
（2）解：如果云梯的顶端A下滑了到达E处，
则，
则，
∴
24．(1)5，，垂直
(2)
(3)点的坐标为或
(4)第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，点的坐标或或
【分析】（1）由勾股定理得到，由折叠的性质可知，，进而得到，即可得到点D的坐标；由折叠的性质得到，结合，，即可得到，进而证明；
（2）设，由折叠的性质可知，，再根据勾股定理，求出的值，即可得到点C的坐标；
（3）先求出，设点的坐标为，则，根据列方程求出的值，即可得到点M的坐标；
（4）分三种情况讨论：①当，；②当，；③当，，根据全等三角形的性质分别求解即可．
【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，
，，
在中，由勾股定理得：，
由折叠的性质可知，，
，
点的坐标是，
由折叠的性质得到，
，，
，
；
故直线与直线的位置关系是垂直，
（2）解：设，则，
由折叠的性质可知，，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，即，
点的坐标为；
（3）解：，，
，，
则，
则，
点是轴上一动点，
设点的坐标为，
，
则，
或－4，
点的坐标为或；
（4）解：在第一象限内存在点，使为等腰直角三角形；理由如下：
①当，，则为等腰直角三角形，
如图1，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
在和中，，，，
，
，，
，
点的坐标为；
②当，，则为等腰直角三角形，
如图2，过点作轴于点，
同理可证，，
，，
，
点的坐标为；
③当，，则为等腰直角三角形，
如图3，过点作轴于点，轴于点，
，
，
，
，
，
在和中，，，，
，
，，
设点的坐标为，
，
，，
，
解得：，
则点的坐标为，
综上可知，第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，点的坐标或或．
【点睛】本题考查了坐标与图形，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，绝对值方程，作辅助线构造全等三角形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．
25．(1)购进A型服装15件，购进B型服装10件
(2)美丽服装店一共可获利元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数混合运算的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）设购进A型服装x件，B型服装y件，根据“某服装店用1900元购进A，B两种新式服装共25件，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据一共可获利每件A型服装挣的钱数销售数量每件B型服装挣的钱数销售数量，即可求出结论．
【详解】（1）设购进A种服装x件，购进B种服装y件，
根据题意得：，
解得：，
答：购进A型服装15件，购进B型服装10件；
（2）解：根据题意：
（元）
答：美丽服装店一共可获利元．
26．（1）不是；（2）见解析；（3）或
【分析】（）根据，得到，求得，得到不是“和谐三角形”；
（）因为是的一个外角，得到，求出，，所以，所以得到是“和谐三角形”；
（）由，，得到，可以证明，得到，而，得到，由，得到，根据是“和谐三角形”，即可求解；
【详解】解：（）∵，
∴，
∵，
∴，
∵中不存在一个角是另外一个角的4倍，
∴不是“和谐三角形”；
（）∵是的一个外角，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∴是“和谐三角形”；
（）∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是“和谐三角形”，
∴或，
当时，，
解得：；
当时，
解得：；
综上分析可知：或．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，同角的补角相等，平行线的判定与性质，理解“和谐三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．