【新情境·新趋势】北师大版初中数学九年级上册期末情境模拟卷2（A3版含解析）

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初三数学上册期末考试复习卷
（考试时间：120分钟，分值：120分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．如图所示，该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（新情景试题·生活应用型）青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（ ）

A． B． C． D．
3．如图，在中，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在正方形中，为上的一点，连接．若，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形是菱形，，，于点H，则的长是（ ）
A．4 B．5 C． D．
6．若关于x的一元二次方程的一个根为0，则m的值为（ ）
A．3 B． C． D．
7．反比例函数的图象与函数的图象没有交点，若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，空地上有一段长20米的旧墙，工人师傅想利用旧墙和木栅栏围成一个封闭的长方形菜园，已知木栅栏总长40米，围成的长方形菜园的面积为150平方米，则该长方形菜园中平行于墙的边长为（ ）
A．10米 B．15米 C．20米 D．30米
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（新情景试题·游戏活动型）“四大名著”《红楼梦》《水游传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分．某校九年级计划开展“名著共读”活动．若从中随机选取2本名著开展活动，其中有一本是《西游记》的概率是 ．
10．如图，菱形的顶点在轴的正半轴上，坐标原点在边上，的长分别是关于的一元二次方程的两个根．且，则点的坐标为 ．
11．（新情景试题·生活应用型）祁县是“中国酥梨之乡”，某超市将进价为每千克5元的酥梨按每千克8元卖出，平均一天能卖出50千克，为了尽快减少库存并且让利顾客，决定降价销售，超市发现当售价每千克下降1元时，其日销售量就增加10千克，设售价下降元，超市每天销售酥梨的利润为120元，则可列方程为 ．
12．如图，在中，，，，点，分别为，上一个动点，沿折叠得到、点的对应点为，若点落在上，且与相似，则的长为 ．
13．在如图所示的平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，过点作轴于点，已知，，则的值为 ．
三、解答题（本题共13小题，共81分。其中：14-20每题5分，21题每题6分，22-23题每题7分，24-25题每题8分，26题10分）。
14．解方程：
(1)
(2)
15．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)请在平面直角坐标系中画出关于轴对称的．
(2)以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在平面直角坐标系中画出．
(3)①点的坐标为 ．②求的面积．
16．（新情景试题·游戏活动型）如图，小亮想利用树影测量树高，他在某一时刻测得高为的竹竿影长为，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高，又测得地面部分的影长，请你帮助小亮求树高．
17．如图是由棱长都为1cm的6块小立方块组成的简单几何体．
(1)请在方格中画出该几何体从三个方向看到的图形；
(2)如果在这个几何体上再添加一些小立方块，并保持从正面看的图和从上面看的图不变，最多可以再添加________块小立方块．
18．（新情景试题·社会热点型）2024年4月23日是世界读书日，为贯彻落实好《全国青少年学生读书行动1实施方案》，打造“人人爱读书，人人好读书”的书香校园，实验学校开展以“书香校园—我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类）．学校数学兴趣小组对部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)学校此次被调查的学生总人数为______名，并根据题意补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是______度；
(3)学校数学兴趣小组中，甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
19．（新情景试题·游戏活动型）如图所示，我校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，求建筑物的高．
20．已知：如图，在菱形中，E，F分别是和上的点，且．求证：
(1)；
(2)．
21．如图，四边形和四边形都是正方形，若，求的长．
22．（新情景试题·生活应用型）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度y是时间x的一次函数；当时，温度y是时间x的反比例函数．
(1)求t的值；
(2)若规定温度低于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？
23．（新情景试题·社会热点型）“乒乓球”被称作为我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．在今年第33届巴黎奥运会上，我国囊括了乒乓球各个项目的所有冠军，再次激发起了人们对乒乓球运动的热爱．据统计在奥运会结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人．
(1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率；
(2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数．
24．（新情景试题·综合与实践）有一块三角形余料，它的边，高线要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．设，．
(1)求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．
(2)当时，求加工成的矩形零件的周长．
25．（新情景试题·生活应用型）某商场出售一批进价为120元/件的商品311件，为寻求合适的销售价格，商场营销部进行了4天试销活动，发现此商品的日销售单价（元/件）与日销售量（件）之间有如下关系：观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种商品的日销售量（件）与日销售单价（元/件）之间的关系
第1天 第2天 第3天 第4天
日销售单价（元/件） 150 200 240 250
日销售量（件） 40 30 25 24
(1)写出这个反比例函数的解析式（不必写的取值范围）；
(2)在试销4天后，若商场决定将这种商品的销售单价定为250元/件，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些商品预计再用多少天可以全部售出；
(3)设商品的日销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，物价局规定此商品的售价最高不超过300元/件，若商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能否在试销后的10天内售完该商品？
26．（新情景试题·新定义问题）小明在学行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________．
(2)【性质探究】通过探究，小明发现了垂美四边形的一些性质：垂美四边形的面积S与对角线的数量关系为：_________．
(3)【问题解决】如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接，已知．求证：四边形为垂美四边形，并求出它的面积．
(4)【学以致用】（3）中的长为_______．
答案解析部分
1．C
【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据左边看到的图形进行判断即可．
【详解】解：该几何体的左视图是：
，
故选C．
2．B
【分析】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率．
由图可知，成活概率在上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为．
【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值约是．
故选：B．
3．D
【分析】先证明，得到，利用相似性质，解答即可．
本题考查了三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握判定和定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选项B，C错误；
∴，
∴，
故选项A错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
故选项D正确．
故选：D．
4．B
【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理等等，先由正方形的性质和三角形内角和定理得到，，再由旋转的性质得到，则，据此根据角的和差关系求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质得到，
∴，
∴，
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线互相平分且垂直，菱形的面积的求解方法是解题的关键．
根据菱形的面积等于对角线积的一半，可求得菱形的面积，又由菱形的对角线互相平分且垂直，可根据勾股定理得的长，根据菱形的面积的求解方法：底乘以高或对角线积的一半，即可得菱形的高．
【详解】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
故选：D．
6．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根，先根据一元二次方程的定义可知，再将一元二次方程的解代入计算求出答案．
【详解】解：∵一元二次方程的一个根是0，
∴，且，
解得：．
故选：A．
7．C
【分析】本题主要考查的是反比例函数的图像与性质，判断出解题的关键．先判断k的正负，然后根据反比例函数的增减性解答即可．
【详解】函数的图象经过一，三象限，
且反比例函数的图象与函数的图象没有交点，
反比例函数的图象经过二，四象限，
，
点、、在的图象上，
点、在第二象限，在第四象限，
在第二象限内，反比例函数随的增大而增大，
且，
，
在第四象限，
，
，
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设米，则米，根据矩形的面积公式结合矩形菜园的面积为150平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其代入中可求出BC的长，取其小于20的值即可．
【详解】解：如图，
设米，则米，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：．
当时，，不合题意，舍去；
当时，．
∴矩形菜园的边长为10米．
故选A．
9．
【分析】本题主要考查了列表法与树状图法求概率及概率公式等知识点，列表可得出所有等可能的结果数以及其中有一本是《西游记》的结果数，再利用概率公式可得出答案，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【详解】把《红楼梦》，《水浒传》，《三国演义》，《西游记》四本书分别记为A，B，C，D，
列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有12种等可能的结果，其中有一本是《西游记》的结果有：，，，，，，共6种，
∴其中有一本是《西游记》的概率是，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了勾股定理的应用、菱形的性质、一元二次方程的解法，首先解一元二次方程得到，，可得点的纵坐标为，利用勾股定理求出，根据菱形的性质可得点的横坐标为．
【详解】解：解一元二次方程，
分解因式得：
解得：，，
又，
，，
，
四边形是菱形，
，
点的坐标为．
故答案为： ．
11．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．当售价下降元时，每千克酥梨的销售利润为元，平均每天的销售量为千克，利用超市每天销售酥梨获得的利润每千克的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：当售价下降元时，每千克酥梨的销售利润为元，平均每天的销售量为千克，
依题意得：．
故答案为：．
12．或
【分析】分和两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的性质解答即可求解．
【详解】解：当时，如图，有，连接，
由折叠可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，，，
∴，
∴；
当时，如图，有，
∴，
由折叠可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，余角性质，折叠的性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
13．
【分析】根据对称性可得，从而可得，利用勾股定理求得，由此可求出点的坐标，然后运用待定系数法就可解决问题．
【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，
∴，
∵，
∴，
∵轴，，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象过点，
∴，
∴的值为．
故答案为：．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查反比例函数的中心对称性，勾股定理的应用，坐标与图形，待定系数法求反比例函数的解析式，利用函数的对称性求得的长度是解题的关键．
14．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解此题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，即，
∴或，
解得：，；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得：，．
15．(1)见解析
(2)见解析
(3)①；②
【分析】本题考查了画轴对称图形，画位似图形，坐标与图形，熟练掌握位似的性质，轴对称的性质是解题的关键．
（1）在坐标系中分别画出点关于轴对称的点，再顺次连接三点就可得所求三角形；
（2）将，坐标乘以得到，再顺次连接三点就可得所求三角形；
（3）根据坐标系写出点的坐标，根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求得的面积．
【详解】（1）解：如图所示，即为所作图形．
（2）解：如图所示，即为所作图形．
（3）解：①点的坐标为．
的面积为．
16．
【分析】本题考查了平行投影的应用，熟练掌握同一时刻，所有物体的影子与其高度成正比是解题关键．延长，相交于点，先根据平行投影的性质可得的长，从而可得树影的长，再根据平行投影的性质求解即可得．
【详解】解：如图，延长，相交于点，
∵在同一时刻测得高为的竹竿影长为，
∴，即，
∴，
∵，
∴树影长，
又∵在同一时刻测得高为的竹竿影长为，
∴，即，
∴，
答：树高为．
17．(1)见解析
(2)1
【分析】本题考查从三个方向看几何体．
（1）根据从三个方向看到的图形的画法画出相应的图形即可；
（2）在从左面看的图上相应位置备注出相应摆放的数目即可．
【详解】（1）解：如图：
（2）在备注数字的位置加摆相应数量的小正方体，
故答案为：1．
18．(1)，见解析
(2)144
(3)
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图、画树状图或列表法求概率、概率公式．
（1）利用选择A类的学生人数除以其所占的百分比求得样本总量，再利用总人数减去其他类的学生人数求得D类的学生人数，再补全条形统计图即可；
（2）利用C类的学生人数除以样本的总人数求得其所占的百分比，再乘以即可求解；
（3）画树状图可得共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍有2种等可能的结果，再利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：被调查学生总人数：（名），
的人数（名），
补全条形统计图如下：
故答案为：100；
（2）解：C“科技类”所对应的圆心角度数是，
故答案为：144；
（3）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，
∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为．
19．
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查菱形的性质，同时综合利用全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质，解决本题的关键是熟记菱形的性质．
（1）根据菱形的性质和全等三角形的判定方法“”即可证明；
（2）根据菱形的性质和等腰等三角形的性质证明即可．
【详解】（1）证明：四边形是菱形，
，，
在和中，
，
；
（2）证明：四边形是菱形，
，，
∵，
∴，
∴．
21．2
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形三角形的判定与性质，证明是解题的关键．根据证明即可．
【详解】解：∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
22．(1)20
(2)分钟
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
（1）由函数图象可知当时间为时，温度与时间之间是反比例函数关系，由图象上点求出反比例函数的关系式，再由反比例函数关系式求出当时的的值即可；
（2）先求解一次函数的解析式，再分别求得时的函数值，即可求解．
【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为．
把代入，得：．
∴．
∴．
当时，，
∴．
（2）解：设一次函数函数的关系式为．
把代入，得：，解得：，
∴，
当在温度下降过程中，，
解得：，
当在温度上升过程中，，
解得：，
∴，
∴一次循环过程中有属于有效制冷时间．
23．(1)我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为；
(2)购买的这种乒乓球台的台数为200台．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该市参加乒乓球运动人数的年均增长率为x，利用在奥运会结束后的两个月参加健身运动的人数=在奥运会结束后的首月参加乒乓球运动的人数该市参加乒乓球运动人数的年均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设购买m套这种健身器材，求出购买100套这种健身器材所需费用，由该值等于24万元，利用总价=单价×数量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合每套售价不得少于1000元，即可确定结论．
【详解】（1）解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为．
（2）解：设购买的这种乒乓球台的台数为m台，
由题意得：，
整理得：，.
解得：，（不符合题意，舍去），
答：购买的这种乒乓球台的台数为200台．
24．(1)
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质，结合了平行线性质、相似三角形的判定和性质，注意数形结合的运用．
（1）根据题意得，，则．可证得，有化简即可；
（2）把代入，化解得，进一步求得y，经检验，x，y的取值均符合题意，利用周长公式求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，．
∴．
化简，得（）
（2）解：把代入，得，解得，
则，
经检验，x，y的取值均符合题意，
∴加工成的矩形零件的周长．
25．(1)
(2)8天
(3)能
【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的定义和性质是解题的关键．
（1）设出反比例函数解析数，找一点代入即可；
（2）根据题意计算即可；
（3）根据，可表示出与之间的函数关系式，再根据求出最大利润，再进行计算即可．
【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为，
把代入得，
解得，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：（天），
∴商场按销售价格250元/件出售该商品，余下的商品预计再用8天全部售出．
（3）解：依题意，
整理得：，
∵，
∴当时，最大，
∴当时，，
∴（天），
∴商场按获得最大日销售利润的销售单价出售该商品，能在试销后的10天内售完该商品．
26．(1)菱形、正方形
(2)
(3)证明见解析，面积为
(4)
【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论；
（2）四边形的面积=的面积+的面积；
（3）根据正方形的性质可证得和全等，得出，由得出，再根据对顶角相等得到，于是有，从而得出，根据垂美四边形的定义得出四边形为垂美四边形，根据垂美四边形的面积等于两对角线乘积的一半即可得出结果．
（4）勾股定理求出，设，双勾股定理求出的值，进而求出的长，再用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形，正方形，
一定是垂美四边形的是菱形，正方形，
故答案为：菱形，正方形；
（2）如图1所示：
∵四边形的面积的面积的面积
∴；
故答案为：；
（3）证明：连接，，设与交于点，与交于点，
四边形是正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
四边形为垂美四边形；
四边形是正方形，
，，
，
，
点、、在一条直线上，
在中，，，
由勾股定理得，
，
在中，由勾股定理得，
∵，
，
四边形为垂美四边形，
四边形的面积是．
（4）∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则：，
∴，即：，
解得：，则
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂美四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．