2024-2025学年河南省新乡一中高一（上）质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省新乡一中高一（上）质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，使得”的否定形式为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.设全集，集合，，则的子集个数为( )
A. B. C. D.
3.使不等式成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
4.某校举行中学生田径运动会田径运动会分田赛和径赛两大类，高一班名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有人，参加径赛的有人，则田赛和径赛都参加的学生人数为( )
A. B. C. D.
5.若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是( )
A. 或 B. 或
C. D.
6.已知集合，，，且，，则( )
A. B.
C. D. 不属于，，中的任意一个
7.南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组中，表示不同集合的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，，
10.已知，，，，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若，，则，
11.已知正实数，，满足，当取得最小值时，下列说法正确的是( )
A. B.
C. 的最大值为 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ______．
13.已知命题：，，命题：，使得成立，若是真命题，是假命题，则的取值范围为______．
14.用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，则的所有可能取值构成集合，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，且．
求的最大值；
求的最小值．
16.本小题分
已知全集，集合，．
若，求和；
若，求的取值范围．
17.本小题分
已知命题：，使得．
若是真命题，求的取值范围；
记中的取值范围为集合，关于的不等式的解集为集合，若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围．
18.本小题分
某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为．
求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和关于的表达式；
求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时的值．
19.本小题分
已知函数．
若关于的不等式的解集是求实数，的值；
若，，，是关于的的根，求的最小值；
若，解关于的不等式．
参考答案
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15.解：，，，得，
当，即，时，等号成立，
所以的最大值为；
，
，
根据二次函数的性质可知，当，时，取得最小值．
16.解：，
当时，，或，
所以，
或；
由，则，
当时，，得，
当时，，解得：，
所以的取值范围是
17.解：：，使得为真命题，
由可得．
所以的取值范围为；
由题意：，，
由．
若，则，由是的真子集，得；
若，则，此时是的真子集；
若，则，由是的真子集，得．
综上，的取值范围为．
18.解：已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为，
对右脚的干扰度与成反比，比例系数为，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为，
则，，
因为时，，所以，
所以臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和关于的表达式为，；
因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取“”，
所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为．
19.解：根据不等式的解集是知，
方程的两根为，，且，
所以，
解得，；
由根与系数的关系知，，，
所以．
因为，所以，当且仅当时取“”．
当时，方程为，因为，所以方程有两个根．
所以的最小值为．
当时，不等式为：．
若，则不等式可化为：，解得；
若，则不等式可化为：．
当时，，因为，所以不等式的解为或．
当时，不等式可化为：．
由，解得，此时原不等式的解为：；
由，解得，此时原不等式的解为：；
由，解得，此时原不等式的解为：．
综上，时，不等式的解集或；
时，不等式的解集；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为
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