2024-2025学年广东省深圳市盐田高级中学高二（上）第二次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省深圳市盐田高级中学高二（上）第二次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知正方体的棱长为，且，，，则( )
A. B. C. D.
3.平行六面体中，为与的交点，设，用表示，则( )
A. B.
C. D.
4.若平面，的法向量分别为，，则与的位置关系是( )
A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法确定
5.已知，，，若不能构成空间的一个基底，则( )
A. B. C. D.
6.已知，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.四棱锥，底面是平行四边形，，，，则这个四棱锥的底面积为( )
A. B. C. D.
8.已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，则下列结论正确的是( )
A. 向量与向量的夹角为
B.
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 向量与向量共面
10.如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11.以下命题正确的是( )
A. 若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点，，则的充要条件是
B. 已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面
C. 已知，，若与垂直，则
D. 已知的顶点坐标分别为，，，则边上的高的长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间中的单位向量，其两两夹角均为，则 ______．
13.如图，在平行四边形中，，，沿着它的对角线将折起，当二面角的大小是时，则、的两点间距离为______．
14.下列说法正确的是______．
直线恒过定点；
若直线：的倾斜角为，则实数的值为；
已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为或；
设过原点的直线的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线的倾斜角是或．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示，在棱长为的正方体中，点是棱上的动点．
求证：；
当时，求直线与平面成角的大小．
16.本小题分
在平面直角坐标系中有，，．
求直线的一般方程；
在三角形中，求边的高线方程；
若直线将面积两等分，求的值．
17.本小题分
已知三棱柱的所有棱长都为，，且平面平面，点，又分别是，的中点．
求证：平面；
求点到平面的距离．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，，，，分别是棱，，上的动点，且G.
求证：；
若平面与平面的夹角的余弦值为，求．
19.本小题分
如图，平行六面体的所有棱长均为，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内．
若中点为，求证：平面；
若平面，求线段长度的最小值．
参考答案
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15.解：证明：如图所示，连接，
因为平面，平面，所以，即，
又因为四边形为正方形，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
以为原点，建立如图空间直角坐标系如图所示：
因为，则，，，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，得，所以，
设直线与平面成角为，，
所以，即，
所以直线与平面成角的大小为．
16.解：因为，．
可知直线在轴和轴的截距分别为和，
所以直线的截距式方程，
化简得；
因为，，由它们的纵坐标相同，可得直线的斜率，
根据垂直关系可得，边上的高线，斜率不存在，
由于高线过点，
所以边上的高线方程为；
设直线与边，分别交于点，，
点在轴上，轴，所以到的距离为，
所以，
因为直线将面积两等分，
所以，
又直线的方程为，而点在边上，故可设，
所以，
所以，
可得．
17.解：证明：设的中点为，连接，，
又，又分别是，的中点，
易得，，且，
平面平面，又面，
平面；
取中点，连接，，
为等腰三角形，，
面面，面面，
面，，
在，，，，易得，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建系如图：
则，
，，
，
设平面的法向量为，
，取，
点到平面的距离为．
18.解：证明：因为平面，，平面，
所以，，又，
故B，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
因为，，
设，，
所以，，，，
则，
，
则，
故A；
因为，则，
则，
则，又，，平面，
所以平面，
故为平面的一个法向量，
又平面的法向量为，
则平面与平面的夹角的余弦值为，
又平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，
解得，
即．
19.解：证明：连接，，，
因为，
，同理，
因为是正方形对角线中点，
所以，且，
所以，
所以，故为等腰直角三角形，
所以，
所以，
所以，
因为，面，面，
所以面；
取中点，连接，，，
易得，，
故四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，同理，
因为平面，平面，
所以平面，且，，面，
故平面平面，
则点必在上，且当时取得的最小长度，
因为，
由等面积法得：，
解得，
故C的最小长度为．
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