2024-2025学年北京市西城区北京师范大学附属实验中学高二上学期12月月考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年北京市西城区北京师范大学附属实验中学高二上学期12月月考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 275.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-19 15:25:10 | ||
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文档简介
2024-2025学年北京市西城区北京师范大学附属实验中学高二上学期12月月考数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知表示圆，则实数的取值范围为 ．
A. B.
C. D.
3.从本不同的书中选出本分配给位同学，每人一本，则分配方案总数为( )
A. B. C. D.
4.平的内动点满足方程，则动点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为，则( )
A. B. C. D.
6.刍甍是中国古代算数中的一种几何体，它是底面为矩形的屋脊状的
楔体．现有一个刍甍如图，底面为矩形，且，平
面和为全等的正三角形，，则平面和底面的
夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.如图，某同学用两根木条钉成十字架，并交于点，制成一个椭圆仪．木条中间分别挖一道槽，在另一活动木条的处钻一个小孔，可以容纳笔尖，、各在一条槽内移动，可以光滑移动以保证与的长度不变，当、各在一条槽内移动时，处笔尖就画出一个椭圆．已知，且在椭圆的右顶点时，恰好在点，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
8.已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“的离心率为”是“的一条渐近线为”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.若椭圆与双曲线有相同的焦点是两曲线的一个交点，则的面积是( )
A. B. C. D.
10.已知是平自直角坐标系中的点集．设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知空间向量，若，则 ．
12.若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ．
13.直线：被圆：截得的弦长最短，则实数 ．
14.如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点分别为的中点，点为内的一个动点包括边界，若平面，则点的轨迹的长度为 ．
15.已知曲线过原点，且除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点的横纵坐标之积的比值为定值，给出下列四个结论：
曲线关于对称；
若点在曲线上，则其方程为；
对于任意，曲线围成的图形的面积一定小于；
存在，使得曲线上有个整点即横、纵坐标均为整数的点．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
有四个数字，
可以组成多少个四位数？
可以组成多少个无重复数字的四位偶数？
若将由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，则第个四位数是多少？直接写出答案即可
17.本小题分
已知点是抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，是线段的中点．
当时，求与的坐标．
为坐标原点，记直线的斜率为，若，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是的中点，且平面．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知过点，直线．
求的方程；
已知与关于直线对称，求直线被截得的弦长；
若是直线上的动点，为上的动点，为坐标原点，直接写出的最小值．
20.本小题分
已知椭圆，过点的直线交椭圆于点．
当直线与轴垂直时，求；
在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求点的坐标及的值；若不存在，说明理由．
21.本小题分
已知椭圆过点，且离心率．
求椭圆的方程；
已知、是椭圆的左、右焦点，是第一象限内椭圆上的一点，分别连接并延长交椭圆于点分别表示和的面积，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或，答案不唯一
13.
14.
15.
16.依次考虑千位、百位、十位、个位的数字，根据分步乘法计数原理，
共有个；
当个位是时，共有个无重复数字的四位偶数；
当个位是时，千位是或，共有个无重复数字的四位偶数，
因此，共有个；
当千位数字是时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个；
当千位数字是百位数字是时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个，
当千位数字是百位数字是时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个，
所以由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，
则第个四位数是．
17.抛物线的焦点，
当时，直线
联立，消去得：，
，所以设点，
由韦达定理，设中点，
则，，所以中点的坐标为，
所以由过焦点弦长公式得：，
直线，
联立，消去得，
，所以设点，
由韦达定理，
因为，
，
解得，所以的方程为．
18.在菱形中，连接，得等边，
因为是的中点，所以，
因为平面平面，所以．
因为平面平面，且，
所以平面．
因为平面平面，则有，
由知，故两两垂直，
如图建立空间直角坐标系，
因为，所以为等边三角形，同理也为等边三角形，
则，
设平面的一个法向量为，
则
令得，
又因为平面，所以平面的一个法向量为，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为．
设，
则，
若平面，则，
解得，故存在满足条件的点，且．
19.由题知，直线的垂直平分线方程为，
由，线段中点为，
可知线段的垂直平分线方程为，
因此联立，解得，即点．
又因为，
所以，圆．
由题知，点与关于直线对称，
设，则
可得点
直线，即，
点到直线的距离为，
因为的半径为，
所以直线截所得的弦长为．
点到直线距离为，
设点与关于直线对称，
设，则
可得点，
则作图如下，因为，
所以当三点共线时，取得最小值，
因为，所以最小值为．
20.解：Ⅰ当直线 斜率不存在时，其方程为
由得或， ．
Ⅱ假设存在，使为定值
当直线 斜率存在时，
设直线 的方程为：，
由 得，
则，
若为常数，只需，
解得，此时．
存在点，使为定值．
当直线与轴垂直时，
不妨设
当点坐标为时，．
综上，存在点，使为定值．
21.依题意可得，解得
所以椭圆的方程为．
由可得，，
设，其中，
直线，联立
消去得，
解得，
则，
即，
同理可得
所以
，
当且仅当时，等号成立．
所以的最大值为．
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一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知表示圆，则实数的取值范围为 ．
A. B.
C. D.
3.从本不同的书中选出本分配给位同学，每人一本，则分配方案总数为( )
A. B. C. D.
4.平的内动点满足方程，则动点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为，则( )
A. B. C. D.
6.刍甍是中国古代算数中的一种几何体，它是底面为矩形的屋脊状的
楔体．现有一个刍甍如图，底面为矩形，且，平
面和为全等的正三角形，，则平面和底面的
夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.如图，某同学用两根木条钉成十字架，并交于点，制成一个椭圆仪．木条中间分别挖一道槽，在另一活动木条的处钻一个小孔，可以容纳笔尖，、各在一条槽内移动，可以光滑移动以保证与的长度不变，当、各在一条槽内移动时，处笔尖就画出一个椭圆．已知，且在椭圆的右顶点时，恰好在点，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
8.已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“的离心率为”是“的一条渐近线为”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.若椭圆与双曲线有相同的焦点是两曲线的一个交点，则的面积是( )
A. B. C. D.
10.已知是平自直角坐标系中的点集．设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知空间向量，若，则 ．
12.若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ．
13.直线：被圆：截得的弦长最短，则实数 ．
14.如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点分别为的中点，点为内的一个动点包括边界，若平面，则点的轨迹的长度为 ．
15.已知曲线过原点，且除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点的横纵坐标之积的比值为定值，给出下列四个结论：
曲线关于对称；
若点在曲线上，则其方程为；
对于任意，曲线围成的图形的面积一定小于；
存在，使得曲线上有个整点即横、纵坐标均为整数的点．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
有四个数字，
可以组成多少个四位数？
可以组成多少个无重复数字的四位偶数？
若将由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，则第个四位数是多少？直接写出答案即可
17.本小题分
已知点是抛物线的焦点，过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，是线段的中点．
当时，求与的坐标．
为坐标原点，记直线的斜率为，若，求直线的方程．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是的中点，且平面．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知过点，直线．
求的方程；
已知与关于直线对称，求直线被截得的弦长；
若是直线上的动点，为上的动点，为坐标原点，直接写出的最小值．
20.本小题分
已知椭圆，过点的直线交椭圆于点．
当直线与轴垂直时，求；
在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求点的坐标及的值；若不存在，说明理由．
21.本小题分
已知椭圆过点，且离心率．
求椭圆的方程；
已知、是椭圆的左、右焦点，是第一象限内椭圆上的一点，分别连接并延长交椭圆于点分别表示和的面积，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或，答案不唯一
13.
14.
15.
16.依次考虑千位、百位、十位、个位的数字，根据分步乘法计数原理，
共有个；
当个位是时，共有个无重复数字的四位偶数；
当个位是时，千位是或，共有个无重复数字的四位偶数，
因此，共有个；
当千位数字是时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个；
当千位数字是百位数字是时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个，
当千位数字是百位数字是时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个，
所以由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，
则第个四位数是．
17.抛物线的焦点，
当时，直线
联立，消去得：，
，所以设点，
由韦达定理，设中点，
则，，所以中点的坐标为，
所以由过焦点弦长公式得：，
直线，
联立，消去得，
，所以设点，
由韦达定理，
因为，
，
解得，所以的方程为．
18.在菱形中，连接，得等边，
因为是的中点，所以，
因为平面平面，所以．
因为平面平面，且，
所以平面．
因为平面平面，则有，
由知，故两两垂直，
如图建立空间直角坐标系，
因为，所以为等边三角形，同理也为等边三角形，
则，
设平面的一个法向量为，
则
令得，
又因为平面，所以平面的一个法向量为，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为．
设，
则，
若平面，则，
解得，故存在满足条件的点，且．
19.由题知，直线的垂直平分线方程为，
由，线段中点为，
可知线段的垂直平分线方程为，
因此联立，解得，即点．
又因为，
所以，圆．
由题知，点与关于直线对称，
设，则
可得点
直线，即，
点到直线的距离为，
因为的半径为，
所以直线截所得的弦长为．
点到直线距离为，
设点与关于直线对称，
设，则
可得点，
则作图如下，因为，
所以当三点共线时，取得最小值，
因为，所以最小值为．
20.解：Ⅰ当直线 斜率不存在时，其方程为
由得或， ．
Ⅱ假设存在，使为定值
当直线 斜率存在时，
设直线 的方程为：，
由 得，
则，
若为常数，只需，
解得，此时．
存在点，使为定值．
当直线与轴垂直时，
不妨设
当点坐标为时，．
综上，存在点，使为定值．
21.依题意可得，解得
所以椭圆的方程为．
由可得，，
设，其中，
直线，联立
消去得，
解得，
则，
即，
同理可得
所以
，
当且仅当时，等号成立．
所以的最大值为．
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