2024-2025学年北京市东城区东直门中学高二上学期12月月考
数学试题
一、单选题:本题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线的方程为,则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知椭圆方程为:,则该椭圆的长轴长为( )
A. B. C. D.
4.高考结束后,为了分析该校高三年级名学生的高考成绩,从中随机抽取了名学生的成绩,就这个问题来说,下列说法中正确的是( )
A. 名学生是个体 B. 样本容量是
C. 每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D. 名学生是样本
5.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况,随机抽取了部分党员,对他们一周的党史学习时间进行了统计,统计数据如下表所示:
党史学习时间小时
党员人数
则该单位党员一周学习党史时间的众数及第百分位数分别是( )
A. , B. , C. , D. ,
6.已知某个数据的平均数为,方差为,现又加入一个数据,此时这个数据的方差为( )
A. B. C. D.
7.已知直线与直线,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知圆:与圆:的公切线条数是( )
A. B. C. D.
9.如图所示,正方体的棱长为,分别是棱,的中点,过直线的平
面分别与棱、交于,设,,给出以下四个命题:
四边形为平行四边形;
若四边形面积,则有最小值;
若四棱锥的体积,,则常函数;
若多面体的体积,,则为单调函数.
其中假命题为( )
A. B. C. D.
10.已知曲线是双纽线,则下列结论正确的是( )
A. 曲线的图象不关于原点对称
B. 曲线经过个整点横、纵坐标均为整数的点
C. 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过
D. 若直线与曲线只有一个交点,则实数的取值范围为
二、填空题:本题共6小题,每小题5分,共30分。
11.若点,,则以为直径的圆的方程是 .
12.已知双曲线的一条渐近线的方程为,则该双曲线的离心率为 .
13.如图,在正方体中,,分别为,的中点,则直线和的夹角的余弦值为
14.已知长方体中,,,则平面与平面所成的角的余弦值为 .
15.若点在直线:上,则点到点,的距离之和的最小值为 .
16.已知曲线的方程,给出下列个结论:
曲线是以点和为焦点的椭圆的一部分;
曲线关于轴、轴、坐标原点对称;
若点在曲线上,则,;
曲线围成的图形的面积是.
其中,所有正确结论的序号是 .
三、解答题:本题共6小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知,,分别为的三个内角,,的对边,且.
求角;
若,的面积.
18.本小题分
为提高服务质量,某社区居委会进行了居民对社区工作满意度的问卷调查.随机抽取了户居民的问卷进行评分统计,评分的频率分布直方图如图所示,数据分组依次为:,,.
求的值;
求这户居民问卷评分的中位数;
若根据各组的频率的比例采取分层抽样的方法,从评分在和内的居民中共抽取户居民,查阅他们答卷的情况,再从这户居民中选取户进行专项调查,求这户居民中恰有户的评分在
内的概率.
19.本小题分
已知圆,直线过点.
求圆的圆心坐标及半径长;
若直线与圆相切,求直线的方程;
设直线与圆相切于点,求.
20.本小题分
如图,四棱锥中,底面是边长为的正方形,,,且,为的中点.
求证:平面
求与平面所成角的正弦值
在线段上是否存在点,使得点到平面的距离为?若存在,确定点的位置若不存在,请说明理由.
21.本小题分
在平面直角坐标系中,椭圆:的离心率为,直线:与椭圆相交于、两点,且.
求椭圆的标准方程;
设平行于直线的直线交椭圆于,两点,且,求直线的方程.
直线:与椭圆相交于、两点,点为椭圆上不同于、的一动点,直线的斜率记作,直线的斜率记作,当与存在时,求证:与的乘积为定值.
22.本小题分
已知集合对于,,定义与的差为;与之间的距离为.
当时,设,,求,;
证明:,有,且;
证明:,,,三个数中至少有一个是偶数.
参考答案
1.
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3.
4.
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7.
8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.由余弦定理,
所以,又,所以.
因为,所以,
因为,由已知得,故,故,
所以.
18.解:由频率分布直方图可得,
,
解得;
由频率分布直方图可得,
,
,
则中位数在 之间,设为,
则,解得,
故中位数为分;
评分在对应的频率为,,
从评分在 和内的居民中共抽取人,
则评分在 占人,设为,
评分在 占人,,
从人中选取人的情况为:
,共种,
其中这人中恰有人的评分在的情况为:,共种,
故这人中恰有人的评分在内的概率为.
19.圆方程可化为:,圆心坐标为,半径长为.
当直线的斜率不存在时,方程为,圆心到直线距离为,满足题意.
当直线的斜率存在时,设直线的方程是,即.
由圆心到直线的距离等于半径得,,解得,
此时直线的方程为.
综上,直线的方程为或.
圆的圆心坐标为,,
.
如图,由相切得,,,
.
20.因为四边形为正方形,则,,
因为,,,且两直线在平面内,
平面,
平面,
,因为,,,且两直线在平面内
平面,
平面,
,
,且两直线在平面内
平面.
因为平面,,不妨以点为坐标原点,、、所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则、、、,
设平面的法向量为,则,,,
由,取,可得,
,
所以,与平面所成角的正弦值为
设点,设平面的法向量为,
,,
由,取,则,
所以,点到平面的距离为,
,
.
因此,当点为线段的中点时,点到平面的距离为.
21.设,则,得,
所以,解得:,,,
所以椭圆的标准方程为;
设直线,
联立,得,
设,,
,得,
其中,,
因为,所以,
即,
即,解得:,
所以直线的方程;
联立,得,
设,,则,
,,
设,
,
.
22.由题意可知;
;
证明:设,,
由题意知,所以;
从而,
由题意可知,
当时,,
当时,,
所以;
证明:设,,
记,,,记;
由可知;
,
,
因为,,
所以中的个数为;中的个数为;
设是使成立的的个数,则,
由此可得三个数不可能都是奇数,
即,,三个数中至少有一个是偶数.
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