2024-2025学年广东省韶关市高三（上）质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省韶关市高三（上）质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知数列是等比数列，若，，则的前项和为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，向量与垂直，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.众数、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关根据某小区户居民的月均用水量数据单位：，得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为，中位数为，平均数为，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数在上是单调函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知函数的部分图象如图，是相邻的最低点和最高点，直线的方程为，则函数的解析式为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知，为方程的两个实数根，则( )
A. B. C. D.
8.椭圆：的左右焦点分别为，，以为直径的圆与椭圆没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知某批产品的质量指标服从正态分布，且，现从该批产品中随机取件，用表示这件产品的质量指标值位于区间的产品件数，则( )
A. B.
C. D.
10.已知圆锥的顶点为，为底面圆的直径，，，点在圆上，点为的中点，与底面所成的角为，则( )
A. 该圆锥的侧面积为
B. 该圆锥的体积为
C.
D. 该圆锥内部半径最大的球的表面积为
11.若为函数的导函数，对任意的，，恒有，且，则( )
A. B.
C. 为偶函数 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，写出满足条件的整数的一个值______．
13.已知，则 ______．
14.小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测试；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若，求周长的最大值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面平面，为的中点．
求证：平面平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点动点满足直线，的斜率之积为，记点的轨迹为．
求的方程；
过点且斜率为的直线与轴相交于点，与相交于，两点，若，求的值．
18.本小题分
已知函数，．
当时，求函数的图象在点处的切线方程；
讨论函数的单调性；
设，若，求实数的取值范围．
19.本小题分
设数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
在和之间插入个数，使，，成等差数列；在和之间插入个数，，使，，，成等差数列；依次类推，在和之间插入个数，，，，使，，，，，成等差数列．
若，求；
对于中的，是否存在正整数，，，使得成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.，，，中的任何一个值
13.
14.
15.解：因为，
由正弦定理得，
即，
在三角形中，可得，
因为，所以，所以，
所以；
由余弦定理，
有，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的周长．
即周长的最大值为．
16.证明：由，
可得，所以，
因为为正方形，故AB，
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又平面，所以，
又，平面，平面，
故D平面，又平面，
所以平面平面；
解：取中点为由知，，，，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
由可知，平面，
则平面的法向量为，
设平面的一个法向量为，
则由，可得，
取，，得，
则，
所以平面和平面所成锐二面角的余弦值为．
17.解：设点，，
由题意知，，
直线，的斜率分别为，
所以，
化简得
点的轨迹方程为．
设，，
由题意知直线的方程为，
所以，
联立方程组，
消去整理得，
则，，
又，
则，
故有，
即，
解得．
18.解：当时，，函数定义域为，
可得，
此时，
又，
所以函数在处的切线方程为，
即；
易知，
当时，恒成立，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当时，
令，
解得或，
当，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当，即时，恒成立，
所以在上单调递增；
当，即时，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上所述，当时，在单调递减，在单调递增；
当时，在上递增，在上递减，在上递增；
当时，在上递增；
当时，在上递增，在上递减，在上递增；
若，
此时恒成立
因为，
所以恒成立．
设，
即，
因为，
此时，
令，
因为，
所以，
设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，
即，
所以，
则．
故实数取值范围为．
19.解：数列的前项和为，且，
当时，，又，
上面两式相减可得，
而，，
可得，
当时，得，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以．
在和之间插入个数，使，，成等差数列；
在和之间插入个数，，使，，，成等差数列；
依次类推，在和之间插入个数，，，，
使，，，，，成等差数列．
由等差数列的中项性质，可得
设，
所以，
上面两式相减得，
所以
所以，
所以．
，
因为都是递减数列；
所以；
则，
令，即恒成立，
所以数列单调递增，
当时，；
则，
所以，；
当时，；
则，
所以，，，成立，解得，，存在；
当时，；
当时，；不满足题意，故不存在：
综上所述，当正整数对取和时，成立．
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