2024-2025学年河南省部分学校高三（上）段考数学试卷（四）（含答案）

2024-2025学年河南省部分学校高三（上）段考数学试卷（四）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知等比数列满足，，则其公比( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数的最小值为，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律某同学根据自己记个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率记住的单词个数占总单词数的百分比与初次记忆经过的时间的函数关系式为，当其记住的单词仅剩个时，参考数据：，
A. B. C. D.
6.已知正项数列，满足，且，则( )
A. 为等差数列 B. 为等差数列
C. 为等比数列 D. 为等比数列
7.已知函数在区间上存在最值，且在区间上具有单调性，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若，且不等式对任意恒成立，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则( )
A. B.
C. 与的夹角可能为 D. 向量与不可能垂直
10.已知对任意两个不相等的正数，，总有，该不等式被称为“对数平均不等式”，则( )
A. 当，且时，
B. 当，且时，
C.
D.
11.已知数列满足，且，则( )
A. 中有且仅有项小于 B. 当时，
C. 不可能成立 D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则的虚部为______．
13.已知函数的图象在点处的切线方程为，则 ______．
14.已知函数的定义域为，，且，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象在点处的切线斜率为．
Ⅰ求；
Ⅱ求在区间上的最小值．
参考数据：
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且为钝角．
Ⅰ证明：；
Ⅱ若是边上靠近的三等分点，且，求的值．
17.本小题分
已知在数列中，，且当时，．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ设，数列的前项和为，证明：．
18.本小题分
在数列中，已知，且．
Ⅰ求，；
Ⅱ求的通项公式；
Ⅲ设是与最接近的整数，求．
19.本小题分
已知函数，的定义域分别为，，如果存在，，使得，则称与为“相斥函数”，且称，为“相斥数”．
Ⅰ试判断函数与是否为“相斥函数”，并说明理由．
Ⅱ已知函数与为“相斥函数”，且，为“相斥数”．
若，求，的值；
若，常数，求的最大值用表示
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
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13.
14.
15.解：Ⅰ因为，
所以，
由导数的几何意义可得在点处的切线斜率为，
所以，
解得．
Ⅱ由Ⅰ知，，，
，
令，得或，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以．
16.Ⅰ证明：因为，
由正弦定理可得：，
可得：，
由余弦定理可得，
可得，
在中，为钝角，
可得；
Ⅱ解：由正弦定理可得，又因为，
所以，所以，
因为，由图知，
，
所以∽，
是边上靠近的三等分点所以，即，
即，
所以，
在中，可得，所以，
所以．
17.解：Ⅰ在数列中，，且当时，，
可得，解得，，
又，
即有数列是首项和公比都为的等比数列，
可得，
则；
Ⅱ证明：，
可得
．
18.解：Ⅰ在数列中，由，且，
可得，即有，
可得，
即有，解得，
，解得；
Ⅱ由Ⅰ可得，
则
，
可得，对也成立，
所以；
Ⅲ是与最接近的整数，
由，，可得；，；，，
，，，，，，，
，，
则．
19.解：Ⅰ因为的定义域为，
可得，
易知在上单调递减，
又，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
当时，，
所以的取值范围为；
易知的定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
当时，，
所以的取值范围为
则不存在实数，，使得，
故与不是“相斥函数”；
Ⅱ因为，，
所以，
即，
解得，
因为，
所以；
(ⅱ)因为，
所以，
设，，，
则，
即，，
可得，
又，
两式相减得，
两式相减得，
所以，
则，
设，，
可得，
因为，
所以，，
所以当时，，单调递减，
因为，
所以的最大值为．
则的最大值为．
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