江苏省“卓越高中联盟”2025届高三学期12月月考数学试题（含答案）

江苏省“卓越高中联盟”2025届高三学期12月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，，其中为虚数单位，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在三角形中，，，向量在向量上的投影向量为，为边上一点，且，则( )
A. B. C. D.
4.在正六棱台中，，点是底面的中心，若该六棱台的体积为，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过椭圆的上顶点作直线交椭圆于另一点若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在区间上有极大值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的图象关于直线对称，则( )
A. B. 在区间上有且仅有个零点
C. 是奇函数 D. 在区间上单调递减
10.已知正四棱锥的棱长均为，下列说法正确的是( )
A. 平面与平面夹角的正弦值为
B. 若点满足，则的最小值为
C. 在四棱锥内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积的最大值为
D. 点在平面内，且，则点轨迹的长度为
11.已知定义在上的函数和，是的导函数且定义域为若为偶函数，，，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线分别与曲线，都相切，则的值为 ．
13.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ．
14.已知是圆上的动点，，点，是圆上的两个动点，点满足，，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在中，，C.
判断的形状，并说明理由
点在边上，且，若，求的面积．
16.本小题分
设函数的表达式为且．
判断函数的奇偶性，并说明理由
若函数，求的值．
17.本小题分
已知圆，过点的直线交圆于，两点．
若，求此时直线的方程
过，分别作圆的切线，，设直线和的交点为，求证：点在定直线上．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，．
求证：平面平面；
设．
若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知函数．
若是的极值点，求的值．
若，试问是否存在零点若存在，请求出该零点若不存在，请说明理由．
若有两个零点，求满足题意的的最小整数值
参考答案
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15.解：由可得，
所以，
所以，
所以，
所以．
因为，所以，
又，所以，
化简可得，故，
又因为，所以，所以，
所以为直角三角形．
由得，，且为直角三角形，
设 ，则，，．
在中，由余弦定理可得，
即，解得，
故．
16.解：函数是奇函数，理由如下：
因为的定义域为，，
所以函数是奇函数
由知函数是奇函数，则，所以，
所以，
故
。
17.解：当直线的斜率不存在时，，
联立解得，，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设，，，
由，得，则，
联立得，
则，得，代入上面方程，解答，
故直线的方程为或．
设，则以线段为直径的圆的方程为，
圆为，
两式相减得．
因为直线过点，则，
所以，所以点在直线上．
18.解：在四棱锥中，平面平面，，
平面，平面平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，
设，，则，由，，，，
则，，
因，则，，
所以，，
设平面的法向量为，由，，
得：，可取，
设直线与平面所成角为，
则有：，，
即：，
化简得：，
解得或，即或．
如图，假设在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上，
由，得，所以，
所以，
又因为得，，
所以，，
由得，即，
亦即，
因为，所以方程无实数解，
所以线段上不存在点，使得点，，在以为球心的球上．

19.解：，
因为是的极值点，所以，解得，
此时，
令
由，得在上单调递增，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在时取得极值，
所以；
当时，由可知，此时不存在零点；
当时，令，则，
所以在上单调递增，又，，且在上的图象是不间断的，
所以存在唯一的，使得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
由，得，
所以，
设，则，令，则，
令，得，


单调递增 极大值 单调递减
所以，
则在上单调递减，
所以，
则当时，，
所以，
所以，故无零点．
综上，不存在零点；
由可知，当时，无零点，舍去，
当时，在，上单调递增且图象是不间断的，
又，，所以存在唯一的，使得
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
由，得，
所以，
因为有两个零点，所以，
令，则，
当时，恒成立，
所以在上单调递减，且图象是不间断的，
，，所以，
设，则，
所以在上单调递增，所以，
当时，，，，
又因为在上单调递减，在上单调递增且图象连续不间断，
所以在与上分别存在一个零点，即恰有两个零点，
故的最小值为．
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