安徽省“县中联盟”2025届高三第一学期12月数学试题（含答案）

安徽省“县中联盟”2025届高三第一学期12月数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知平面，直线，，且，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则( )
A. B. C. 或 D. 或
5.已知向量，且向量与的夹角为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知两个等差数列，的前项和分别是，，且，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在扇形中，半径，弧长为，点是弧上的动点，点，分别是半径，上的动点，则周长的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知定义域为的函数满足：，，，且当时，，若，，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某超市随机抽取了当天名顾客的消费金额作为样本，并分组如下：，，，，单位：元，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是( )
A. 若该超市当天总共有名顾客，则消费金额在单位：元内的顾客约有人
B. 若每组数据以区间中点值为代表，则样本中消费金额的平均数是元
C. 若用样本估计总体，则该超市当天消费金额的中位数是元
D. 现从样本的第，组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取人，再从这人中随机抽取人做进一步调查，则抽到的人的消费金额都不少于元的概率是
10.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C. 函数的图象与直线的相邻两交点间的距离为
D.
11.某兴趣小组制作了一个直三棱柱容器容器壁厚度忽略不计，其中，，，则下列说法正确的是( )
A. 若四棱锥的体积为，则
B. 若三棱柱的外接球的表面积为，则三棱柱的侧面积为
C. 若，棱长为的正方体能被整体放入此容器且可自由转动，则的最大值为
D. 若，点在四边形内含边界，且，则点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.已知随机变量，且正数，满足，则的最小值为 ．
14.已知实轴长为的双曲线的渐近线为，，分别为的上、下焦点，过点的直线与的上、下两支分别交于点，，且，则直线的斜率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在矩形中，，，将沿着翻折到的位置，得到三棱锥，且平面，如图所示．
求证：平面平面
求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，向量，，．
求的大小
是边上一点且平分，若，的面积是，求的周长．
17.本小题分
已知函数与分别是定义在上的奇函数和偶函数，且．
求函数与的解析式
若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知数列满足，且，．
证明：数列是等比数列
求数列的通项公式
若数列的前项和为，，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列．
19.本小题分
法国著名数学家拉格朗日给出一个结论：若函数在闭区间上的图象是一条连续不断的曲线，在开区间上都有导数，则在区间上存在实数，使得，这就是拉格朗日中值定理，其中称为在区间上的“拉格朗日中值”已知函数，，．
利用拉格朗日中值定理求函数在上的“拉格朗日中值”
利用拉格朗日中值定理证明：函数上任意两点连线的斜率不小于
针对函数，请证明拉格朗日中值定理成立．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.证明：因为平面，平面，所以，
又，，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
解：以点为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由知轴在平面内．
因为平面，平面，所以，
又，，所以，所以，
又，，，
所以，，．
设平面的法向量是，
则，即，
令，则，，
所以平面的一个法向量为
设直线与平面所成角为，
则，，
即直线与平面所成角的正弦值是．

16.解：因为，
所以，
由正弦定理，得，
所以，
由余弦定理，得，
因为，所以．
因为的面积是，
所以，
即，所以．
因为是的角平分线，所以，
因为，
所以，
即，所以，即．
由余弦定理，得，
所以，所以，
即的周长为．
17.解：由题意可知，，，
，，
，得，
所以，
，得，
所以．
若，恒成立，
则恒成立，
因为函数在上是奇函数，
所以，
即对恒成立．
因为，所以函数在上是增函数，
所以对恒成立，
当时，，，
所以成立．
当时，，所以对恒成立．
令，，则，
令，，
则，当时，，，
所以，在上单调递减，故．
所以，在上单调递增，故．
所以由对恒成立，得，
综上所述，实数的取值范围是
18.解：证明：因为，
所以，
因为，，所以，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
解：由，得，
所以，又，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，即．
证明：
，
所以
，
所以，
假设数列中存在不同的三项，，且，，互不相同成等差数列，
所以，即，
不妨设，因为函数单调递减，
所以，
所以在两边同时乘以，
得，即，
因为，，所以，都是的倍数，
即是的倍数，但不是的倍数，
所以不成立，即假设错误．
所以数列中任意不同的三项都不能构成等差数列．
19.解：，，，
由拉格朗日中值定理，得在区间上存在实数，使得，
即，解得或．
因为，所以，
所以函数在上的“拉格朗日中值”为．
证明：由，
得．
在的图象上任取两点，，，
根据拉格朗日中值定理，得存在，使得．
因为
，
当且仅当时两个等号同时成立，
所以的最小值是，
所以，
即函数上任意两点连线的斜率不小于．
证明：设，，
要证：拉格朗日中值定理成立，
即证：对于任意常数，在区间上有零点．
，
所以在区间上单调递减，
故函数在区间上至多有个零点，
因为，
，
令，则，
当时，，单调递减
当时，，单调递增．
所以在处取到极小值，也是最小值，
即时，．
由，得，所以，
又，即，
所以．
由，得，
所以，即，
又，即，
所以．
由函数的零点存在定理知在区间上有零点，即针对函数，拉格朗日中值定理成立．
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