辽宁省“名校联盟”2025届高三上学期12月月考数学试题（含答案）

辽宁省“名校联盟”2025届高三上学期12月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则的值是( )
A. B. C. D.
2.对于非零向量，，是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的公差为，，若，，成等比数列，则等于( )
A. B. C. 或 D. 或
5.函数在区间上的大致图象如图所示，则的解析式可能是( )
A. B.
C. D.
6.已知，，是三个不同的平面，，，是三条不同的直线，下列结论正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. ，，，则三条交线，，的交点个数为或
7.已知椭圆上一点到左焦点的距离为，为坐标原点，若点满足，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，下列选项能正确表示数列，，，，，，的公式有( )
A. B. ，
C. D.
10.已知函数，下列说法正确的有( )
A. 对，函数
B. 若函数与的图象关于直线对称，则
C. 对，函数
D. 若，则
11.如图，曲线称为“双纽线”，其对称中心在坐标原点，且上的点满足到点和的距离之积为定值，则( )
A. 若，点在曲线上
B. 若，曲线的方程为
C. 若，曲线上点的纵坐标的最大值为
D. 若点在上，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为 ．
13.九章算术第五章“商功”问题十七：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺问积几何大意是：今有墓道如图，平面平面，下宽长尺，上宽长丈丈尺，深与距离尺，末端宽长尺，无深，长与距离尺它的体积是 立方尺．
注羡除：墓道，此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为三角形的五面体．
14.表示函数当自变量时的最大值，表示函数当自变量时的最小值，已知函数，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，其中
若曲线在点处与轴相切，求的值
若是函数的极小值点，求的值．
16.本小题分
如图，在四边形中，，且，．
求的面积
若，求的长．
17.本小题分
已知椭圆的长轴长是，为右顶点，，，，是椭圆上异于顶点的任意四个点，当直线经过原点时，直线和的斜率之积为．
求椭圆的方程
当直线和的斜率之积为定值时，直线是否过一个定点若过定点，求出该定点坐标若不过定点，请说明理由．
18.本小题分
如图，在四棱台中，平面，平面，，．
求证：
求平面与平面所成角的正弦值
求点关于平面的对称点到平面的距离．
19.本小题分
如图，已知点列与满足，且，其中，．
求与的关系式
证明：．
参考答案
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15.解：因为函数，，
所以，
因为曲线在点处与轴相切，
所以，
解得或，
又因为，解得或．
综上，．
因为，，
即，
若，则在上单调递增，无极小值
若，则在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，又，所以舍去
若，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，所以．
综上，．
16.解：因为，且，
所以，
即，
因为，所以，
即，所以，所以，
所以
因为，所以，由知，
在中，由余弦定理得，
即，解得，
因为，，
所以满足题意的三角形有两个，即或
17.解：由题意得，则，
当直线经过原点时，设，则，
所以，所以，
又，所以，
所以，
故椭圆的方程为．
当直线和的斜率之积为定值时，直线过定点．
理由如下：当直线的斜率不存在时，设，，
则，
解得，此时直线的方程为．
当直线的斜率存在时，设直线，
联立，
设，，则
因为，
所以，
即，
得或
当时，直线的方程为，
则直线恒过定点，舍去为右顶点
当时，直线的方程为，
则直线恒过定点．
由知，直线恒过定点．
18.证明：连接，因为，所以，，，四点共面，
因为平面，平面，平面平面，所以，
又，所以四边形是平行四边形，所以．
解：由知，，连接，又，所以棱台底面是底角为的等腰梯形，且．
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，．
易知平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，，，
则令，得到，，，则
因为，，
所以平面与平面所成角的正弦值为．
解：设点关于平面的对称点为，，，，
因为平面，所以
又设的中点为，因为在平面上，
所以有，，得由可得，
，由知平面的法向量为，
所以，
所以点关于平面的对称点到平面的距离为．
19.解：由，
，
得，
又，所以，
将代入得，
即．
证明：由知，
由，得，
又，
所以，
因为，所以，
．．
当时，，不等式成立
当时，，
，
所以，不等式成立．
综上，．
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