重庆市万州区第三中学2024-2025学年高二第一学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

重庆市万州区第三中学 2024-2025 学年高二第一学期 12 月月考数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点 是点 (3,4,5)在坐标平面 内的射影，则| | =( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2.圆 ： 2 + 2 = 4与圆 ： 2 + 21 2 + 6 + 8 24 = 0的位置关系为( )
A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离
2 2
3.若方程 = 1表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围为( )
2
A. 0 < < 2 B. 0 < < 2且 ≠ 1
C. 0 < < 1 D. 1 < < 2
4.下列可使 ， ， 构成空间的一个基底的条件是( )
A. = + B. ， ， 两两垂直
C. | | = | | = | | = 1 D. + + = 0
5.如图， 为坐标原点， 为抛物线 ： 2 = 8 的焦点， 为 上一点，若| | = 8，
则△ 的面积为( )
A. 4√ 2
B. 4√ 3
C. 8
D. 12
6.由直线 = + 1上的一点向圆 2 + 2 6 + 8 = 0引切线，则切线长的最小值为( )
A. √ 7 B. 2√ 2 C. 3 D. √ 2
2 2
7.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左，右焦点分别为 1， 2， 为坐标原点，焦距为8√ 2，点 在
双曲线 上，| | = | 2|，且△ 2的面积为8，则双曲线的离心率为( )
√ 2
A. 2 B. C. √ 2 D. 4
2
2 2
8.已知点 1， 2分别为椭圆 ： + = 1的左、右焦点，过点 1作 轴的垂线交椭圆 于 ， 两点， ， ，16 12 1 2
3分别为△ 1 2，△ 1 2，△ 2 的内切圆圆心，则△ 1 2 3的周长是( )
A. √ 5 + 2 B. √ 5 2 C. 2√ 5 + 2 D. 2√ 5 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.平面 经过三点 (1,0, 1)， (0,1,0)， ( 1,2,0)，向量 = (1, , )是平面 的法向量，则下列四个选项中
正确的是( )
A. 直线 的一个方向向量为 = ( 2,2,2)
B. 线段 的长度为3
C. 平面 的法向量 中 + = 1
√ 6
D. 向量 与向量 夹角的余弦值为
3
10.已知直线 1： 2 = ( + 1)( ∈ )，直线 2： 2 + = 0( ∈ )，则下列说法正确的为( )
A. 若 1 ⊥ 2，则 = 2
B. 若两条平行直线 1与 2间的距离为2√ 5，则 = 5
C. 直线 1过定点( 1,2)
D. 点 (2,6)到直线 1距离的最大值为2√ 10
11.已知正方体 1 1 1 1的棱长为4， 为 1的中点， 为 所在平面
上一动点，则下列命题正确的是( )

A. 若 与平面 所成的角为 ，则点 的轨迹为圆
4
B. 若 = 4，则 的中点 的轨迹所围成图形的面积为2
C. 若点 到直线 1与直线 的距离相等，则点 的轨迹为抛物线

D. 若 1 与 所成的角为 ，则点 的轨迹为双曲线 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知直线 1： + (2 1) 1 = 0与直线 2： + 3 = 0互相垂直，则实数 的值为______．
13.若 ， ， 为空间中两两夹角都是60°的单位向量，则|2 + 3 | = ______．
14.已知圆 ： 2 + 2 = 1，圆 ：( )2 + ( + 4)2 = 1.若圆 上存在点 ，过点 作圆 的两条切线，
切点为 ， ，使得∠ = 60°，则实数 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线 经过点 ( 5,1)，点 (3,7)．
(1)求直线 的方程；
(2)若圆 经过点 (1,0)，点 (3,2)，且圆心在直线 上，求圆 的方程．
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16.(本小题15分)
如图，在四面体 中，| | = 3，且 =
2
= 6, = ， 为 的中点，点 是线段 上
3
的动点(含端点)．
(1)以{ , , }为基底表示 ；
(2)求 的最小值．
17.(本小题15分)
2 2
已知双曲线 的方程为 2 2 = 1( > 0, > 0)，实轴长和离心率均为2．
(1)求双曲线 的标准方程及其渐近线方程；
(2)过 (0,2)且倾斜角为45°的直线 与双曲线 交于 ， 两点，求 的值( 为坐标原点)．
18.(本小题17分)
如图，四棱锥 中， ⊥底面 ，四边形 中， = ， ⊥ ， + = 6， = √ 2，
∠ = 45°．
(Ⅰ)若 为 的中点，求证：平面 ⊥平面 ；
√ 6
(Ⅱ)若平面 与平面 所成的角的余弦值为 ．
6
(ⅰ)求线段 的长；
(ⅱ)设 为△ 内(含边界)的一点，且 = 2 ，求满足条件的所有点 组成的轨迹的长度．
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19.(本小题17分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的上、下顶点分别为 (0,1)， (0, 1)，其右焦点为 ，且 =
．
(1)求椭圆 的方程；
2
(2)若点 (2, 1)，在直线 上存在两个不同的点 ， 满足 1 2 1 2 = .若直线 1与直线 2分别交 于
点 ， (异于点 )，证明： ， ， 三点共线．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1或0
13.【答案】√ 7
√ 2 √ 2
14.【答案】[2 , 2 + ]
2 2
15.【答案】解：(1)因为直线 经过点 ( 5,1)，点 (3,7)，
7 1 3
所以直线 的斜率 = = ，
3 ( 5) 4
3
所以直线 的方程为 1 = ( + 5)，
4
即3 4 + 19 = 0；
(2)因为点 (1,0)，点 (3,2)，所以 = (2,2)，
则 的中点(2,1)，
由点法式可得线段 的中垂线方程为2( 2) + 2( 1) = 0，
即 + 3 = 0，
由题意可得圆心为两条直线的交点，
3 4 + 19 = 0
联立{ ，解得 = 1， = 4，
+ 3 = 0
即圆心 ( 1,4)，且圆 的半径 = | | = √ ( 1 1)2 + (4 0)2 = 2√ 5，
所以圆 的方程为( + 1)2 + ( 4)2 = 20．
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2
16【. 答案】解：(1)由题意可知， = + = + =
2
+ (
2 1
) = + + ，
3 3 3 3
1 1 2 1 1 1 1
所以 = + = + = + ( + + ) = + + ；
2 2 3 3 2 3 6
(2)设 = (0 ≤ ≤ 1)，
因为 = = ( + ) = (
2 1
+ +
2 1
) = ，
3 3 3 3
2
所以 = (
2

1 2
) = 2
1
= 9 2 6 (0 ≤ ≤ 1)，
3 3 3 3
1 1 1
当且仅当 = 时， 取得最小值，最小值为9 × 6 × = 1．
3 9 3
17.【答案】解：(1)因为双曲线 的实轴长和离心率均为2，

= 2

所以{2 = 2 ，
2 + 2 = 2
解得 2 = 1， 2 = 3，
2
则双曲线的标准方程为 2 = 1；渐近线方程为 = ±√ 3 ，
3
(2)因为直线 的倾斜角为45°，且过点 (0,2)，
所以设直线 的方程为 = + 2， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= + 2
联立{ 22 ，消去 并整理得2
2 4 7 = 0，
= 1
3
7
由韦达定理得 1 + 2 = 2, 1 2 = ． 2
所以 = 1 2 + 1 2 = 1 2 + ( 1 + 2)( 2 + 2) = 2 1 2 + 2( 1 + 2) + 4 = 1．
18.【答案】解：(Ⅰ)证明：在四棱锥 中， ⊥底面 ，
平面 ，则 ⊥ ，
而 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，于是 ⊥平面 ，
又 平面 ，
则 ⊥ ，由 = ， 为 的中点，
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得 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
因此 ⊥平面 ，而 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
(Ⅱ)( )由(Ⅰ)知，直线 ， ， 两两垂直，以点 为原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间
直角坐标系，
过 作 ⊥ 于 ，由 = √ 2，∠ = 45°，得 = = 1，令 = (0 < < 5)，
则 (0,0, )， (0,6 , 0)， (1,5 , 0)， = (0,6 , )， = ( 1,1,0)，
= (6 ) = 0
设平面 的法向量 = ( , , )，则{ ，令 = ，得 = ( , , 6 )，
= + = 0
由 ⊥平面 ，得平面 的一个法向量 = (0,1,0)，
| | 1
依题意，|cos , | = = =| || | 2 2 2 √ 6， √ + +(6 )
整理得 2 + 4 12 = 0，而 > 0，
解得 = 2，所以线段 的长为2．
(ⅱ)显然 ⊥平面 ，而 平面 ，则 ⊥ ，
又 = 2 ，于是(2 )2 = 2 + 22，解得 2√ 3 = ，
3
1
因此点 的轨迹是以点 为圆心，2√ 3为半径的圆的 ，
3 4
所以点 的轨迹的长度为1 2√ 3 √ 3 = ．
2 3 3
19.【答案】解：(1)由题意知 = 1， ( , 0)， 2 = 2 + 2，
由 = ，得 ( ) = 0，
2 2
即( + ) ( ) = = 0，
所以| | = | |，
又| | = √ 2 + 2 = ，所以 = 2，
故椭圆 的方程为：
2
+ 2 = 1；
4
(2)证明：因为点 (2, 1)， (0, 1)，
2
所以 = 1 2 = 4，
根据题意设 1( 1, 1)， 2( 2, 1)，
则 1 = ( 1 2,0)， 2 = ( 2 2,0)，
所以( 1 2)( 2 2) = 4，即 1 2 = 2( 1 + 2)( )，
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根据题意可知：直线 的斜率一定存在，
设直线 的方程为 = + ， ( 3, 3)， ( 4, 4)，
2
+ 2 = 1,
联立{ 4 得(1 + 4 2) 2 + 8 + 4 2 4 = 0，
= +
= 64 2 2 4(1 + 4 2)(4 2 4) > 0，即 2 < 1 + 4 2，
8 4 2 4
且 3 + 4 = 2， = ，
1+4 3 4 21+4
因为直线 过点 1( 1, 1)，
2 1
所以 3 = 1 ，即 = ， 1 3
2 2
解得 1 =
3 = 3
1 +1， 3 3
2
同理可得 42 = ， 4 +1
代入( )式，得(1 + 2 ) 3 4 = (1 )( 3 + 4)，
所以(1 + 2 )(4 2 4) = 8 (1 )，
因为 ， 异于点 ，直线 的方程为 = + ，所以 ≠ 1，
则(1 + 2 )( + 1) = 2 ，即2 + + 1 = 0，
则直线 的方程为 = 2 1，恒过点 (2, 1)．
因此 ， ， 三点共线．
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