陕西省“天一大联考”2025届高三毕业班阶段性测试（四）数学试题（含答案）

陕西省“天一大联考”2025届高三毕业班阶段性测试（四）
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知等比数列满足，，则其公比( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数的最小值为，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律某同学根据自己记个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率记住的单词个数占总单词数的百分比与初次记忆经过的时间的函数关系式为，当其记住的单词仅剩个时，参考数据：，．
A. B. C. D.
6.已知正项数列，满足，且，则( )
A. 为等差数列 B. 为等差数列
C. 为等比数列 D. 为等比数列
7.已知函数在区间上存在最值，且在区间上具有单调性，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知四面体满足，，动点在四面体的外接球的球面上，且，则点的轨迹的长度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则( )
A. B.
C. 与的夹角可能为 D. 向量与不可能垂直
10.已知对任意两个不相等的正数，，总有，该不等式被称为“对数平均不等式”，则( )
A. 当，且时，
B. 当，且时，
C.
D.
11.将双曲线上所有的点绕坐标原点逆时针旋转角，可得到双曲线，则下列结论中正确的是( )
A. 关于直线对称 B.
C. 若为上一点，则 D. 的离心率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则的虚部为 ．
13.已知正四棱台的体积为，，，直线与平面所成角的正切值为，则四面体的体积为 ．
14.已知抛物线的焦点为，，两点均在上且位于第一象限，，，中点的横坐标为过动点作的两条切线，，切点分别为，，则点到直线的距离的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且为钝角．
Ⅰ证明：
Ⅱ若是边上靠近的三等分点，且，求的值．
16.本小题分
已知数列的首项为，且
Ⅰ求的通项公式
Ⅱ若，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，点在棱上，且，点满足平面．
Ⅰ证明：
Ⅱ若，，直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
18.本小题分
已知椭圆过点，，点，在上，且以为直径的圆过坐标原点．
Ⅰ求的方程
Ⅱ当直线的斜率为时，求直线的方程
Ⅲ若，延长交于点，设，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数，的定义域分别为，，如果存在，，使得，则称与为“相斥函数”，且称，为“相斥数”．
Ⅰ试判断函数与是否为“相斥函数”，并说明理由．
Ⅱ已知函数与为“相斥函数”，且，为“相斥数”．
(ⅰ)若，求，的值
(ⅱ)若，常数，求的最大值用表示
参考答案
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15.解：Ⅰ由正弦定理，可得，
由余弦定理，可得B.
因为，且为钝角，所以，则．
Ⅱ由题可知，．
由Ⅰ可知，又，
所以，所以，
故，即．
在中，由余弦定理可得，
在中，，
所以，解得．
16.解：Ⅰ，
两边同时除以，可得，
则，，，，
累加可得，则，
因为也适合上式，所以，．
Ⅱ由Ⅰ可知，数列的前项和，
则，
，
两式相减可得，
，
故．
17.解：Ⅰ由题可知平面，平面，故
又，即，，，平面，
故A平面．
又平面，
Ⅱ以为原点，，所在直线分别为，轴，过点作垂直于平面的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．

不妨设，，则，，，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，则，令，可得．
由，解得或，
故或．
18.解：设，
Ⅰ由题可知解得，，
故C的方程为．
Ⅱ当直线的斜率存在时，设其方程为．
由得，．
由得，，．
由题可知，所以，即，
整理得，即，
可得，当时，，
故直线的方程为．
Ⅲ由题意知是线段的中点，
当直线的斜率不存在时，由题可知，
又，联立可得，所以．
又，所以．
当直线的斜率存在时，因为，
所以结合Ⅱ可得，
得代入的方程，可得，
将代人可得，由 可知，
所以，解得．
综上，实数的取值范围是
19.Ⅰ因为，所以，
易知在上单调递减，且，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，又时，，
所以的取值范围是．
由题可知的定义域为，且，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
又时，，
所以的取值范围是，
故不存在实数，，使得，则与不是“相斥函数”．
Ⅱ因为，，
所以，即，解得．
又，所以．
因为，，所以，
所以可设，，，
则，即，，即，
，可得，，可得，
所以，
故．
令，，
则．
因为，所以，，
故当时，，即在上单调递减．
因为，，
所以的最大值为，即的最大值为．
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