2024-2025学年广西新课程教研联盟高三（上）联考数学试卷（11月份）（含答案）

2024-2025学年广西新课程教研联盟高三（上）联考
数学试卷（11月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则等于( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.设，向量，，则是的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知焦点在轴上的椭圆：的焦距为，则其离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为，若定义，则函数在区间内的图象是( )
A. B.
C. D.
6.如图甲，在边长为的正方形中，，分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使得，，三点重合于点，如图乙，若三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的体积为( )
A.
B.
C.
D.
7.南宋数学家杨辉在详解九章算法商功一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，，设第层有个球，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
B. 若空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C. 若空间向量满足，则与夹角为钝角
D. 若空间向量，则在上的投影向量为
10.下列说法中，正确的是( )
A. 若，则
B. 已知随机变量服从正态分布，，则
C. 已知两个变量具有线性相关类系，其回归直线方程为；若，则
D. 若样本数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为
11.如图，边长为的正方形所在平面与正方形在平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且，则下列结论中正确的有( )
A. ，使
B. 线段存在最小值，最小值为
C. 直线与平面所成的角恒为
D. ，都存在过且与平面平行的平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则 ______．
13.已知甲盒中有个白球，个黑球；乙盒中有个白球，个黑球．
若从这个球中随机选取一球，该球是白球的概率是______；
若从甲、乙两盒中任取一盒，然后从所取到的盒中任取一球，则取到的球是白球的概率是______．
14.已知椭圆的长轴长和短轴长分别等于双曲线的焦距和虚轴长，在椭圆上任取一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，，为的中点，求．
16.本小题分
如图，三棱柱中，四边形，均为正方形，，分别是棱，的中点，为上一点．
证明：平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数，．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，若函数有最小值，求的值．
18.本小题分
已知椭圆：，若椭圆的焦距为且经过点，过点的直线交椭圆于，两点．
求椭圆方程；
求面积的最大值，并求此时直线的方程；
若直线与轴不垂直，在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束．
已知团队每位成员闯过第一关和第二关的概率均为，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响．
用随机变量表示团队第位成员的闯关数，求的分布列；
已知团队第位成员上场并闯过第二关，求恰好是第位成员闯过第一关的概率；
记随机变量表示团队第位成员上场并结束闯关活动，证明单调递增，并求使的的最大值．
参考答案
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15.解：因为，
由正弦定理，得，
在中，，
则有，
即，又，，
所以，又，
所以；
根据余弦定理有，
则有，解得或舍去，
因为为的中点，则，
所以，
解得．
16.证明：连接，，，
因为，且，
又，分别是棱，的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为，，平面，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面；
解：四边形，均为正方形，
所以，，
所以平面，
因为，
所以平面，
从而，，
又，
所以为等边三角形，
因为是棱的中点，
所以，
即，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，
，，
所以，
设为平面的法向量，
则，即，令，
则，
因为，所以，
设直线与平面所成角为，，
，，，
所以，，
则，．
即直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：当时，，，
，，
在点处切线方程为，即．
，，，
令，解得：；令，解得：，
在上单调递减，在上单调递增，
，
则令，设，．
令，解得：；令解得：，
在上单调递减，在上单调递增，
，则．
故．
18.解：由题意，，将点代入椭圆方程得，
解得，，所以椭圆的方程为．
根据题意知直线的斜率不为，设直线，，，
联立，消去整理得，
，，且，
，令，，
，
当且仅当，即，即时，等号成立，
所以面积的最大值为，此时直线的方程为或．
在轴上存在点使得，理由如下：
因为，所以，即，
整理得，即，
即，
则，又，解得，
所以在轴上存在点使得．
19.解：的所有可能取值为，，，
，
，
，
的分布列如下：
记团队第位成员上场且闯过第二关的概率为，
若前面人都没有一人闯过第一关，其概率为，
若前面人有一人闯过第一关，其概率为，
故，
“第位成员上场且闯过第二关”，“第位成员闯过第一关”，
故，
．
由知，．
当时，若前面人都没有一人闯过第一关，其概率为，
若前面人有一人闯过第一关，其概率为，
故．
故．
，即单调递增；又，
故E，
所以，
，
得，
故．
由，得，
设，则，
故单调递减，，故满足题意的的最大值为．
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