2024-2025学年山东省德州二中高三（上）段考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年山东省德州二中高三（上）段考数学试卷（12月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则满足的非空集合的个数为( )
A. B. C. D.
2.已知是抛物线：上的一点，为的焦点，若，则的纵坐标为( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
4.已知函数的图像关于原点中心对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.若是方程的一个虚数根，则( )
A. B. C. D. 或
6.已知直线：和曲线：有公共点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线：的左右焦点分别是，点是的右支上的一点异于顶点，过作的角平分线的垂线，垂足是，是原点，则( )
A. 随点变化而变化 B. C. D.
8.已知定义在上的奇函数满足，当时，，若函数的所有零点为，当时，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列是首项为，公比为的等比数列，则( )
A. 是等差数列 B. 是等差数列
C. 是等比数列 D. 是等比数列
10.已知是双曲线：上任意一点，，是双曲线的两个顶点，设直线，的斜率分别为，，若恒成立，且实数的最大值为，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线的方程为
B. 双曲线的离心率为
C. 函数的图象恒过双曲线的一个焦点
D. 设，分别是双曲线的左、右焦点，若的面积为，则
11.已知函数的图象关于直线对称，则( )
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 的图象关于点对称
D. 若，且在上无零点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知甲：，乙：关于的不等式，若甲是乙的必要不充分条件，则的取值范围是______．
13.已知正项数列的前项积为，且满足，则 ______．
14.已知等边的边长为，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
过椭圆内一点的弦．
若点恰为弦的中点，求直线的方程；
求过点的弦的中点的轨迹方程．
16.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
当时，证明：．
17.本小题分
如图，长方形纸片的长为，将矩形沿折痕，翻折，使得，两点均落于边上的点，若．
当时，求长方形宽的长度；
当时，求长方形宽的最大值．
18.本小题分
已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上、分别为椭圆的上、下顶点，动直线交椭圆于、两点，满足，，垂足为．
求椭圆的标准方程；
求面积的最大值．
19.本小题分
模糊数学普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等假设在一个模糊数学系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态满足，，其中．
当时，若满足对，有，求；
当时，判断中是否存在连续的三项构成等比数列；若存在，求出连续的三项；若不存在，说明理由．
若，记，证明：．
参考答案
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15.解：设直线的斜率为，则的方程可设为．
得
得
，
．
．
．
设弦的中点为
，，，四点共线，
．
16.解：当时，，则，
由，得；由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
证明：方法一：当时，，
令，可知，
则在单调递减，在单调递增，
因此当且仅当时取得等号．
令，则由知，在单调递增，
因此，所以．
方法二：当时，，则，
由可知，，即，
所以在单调递减，在单调递增，
因此当且仅当时取得等号．
17.解：当时，有，即，所以，
设，，
因为，，所以，
在中，由余弦定理知，，
所以，
由得，，
因为的面积，即，
所以．
由可得，，，
所以，
由，得，
所以，
因为，所以，
所以当，即时，．
18.解：由题意可知，解得，，，
所以椭圆的标准方程为；
由题意知的斜率存在，设直线方程为，其中，
由，消得，
可知：，
设，，
则，，
，
，
即，
，
，
故，
，
，满足，
故直线的方程为，
即所过定点，，
点在以为直径的圆上，
面积的最大值．
19.解：由，，其中，
可得当时，，
由满足对，有，知，
又，
两式作差得：，或；
当时，，解得：或，又，；
当时，，解得：；
恒成立，又，，
数列为常数列，即．
中假设存在连续的三项构成等比数列，
当时，，
设连续的三项，，成等比数列，则，
由等比数列的定义，可得，，
即有，即，
又，，解得，与矛盾，
假设错误，即在中，不存在连续的三项成等比数列．
当时，，
当时，且，；
，，，，
数列为递减数列，
，，
．
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