上海市朱家角中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试卷（PDF版，含答案）

上海市朱家角中学 2024-2025 学年高一上学期第二次月考数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 ：0 < < 2， ： 1 < < 3，则 是 的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充要也不必要条件
2.已知函数 ( )， ( )分别由如表给出：
1 2 3
( ) 1 3 1
1 2 3
( ) 3 2 1
则满足 ( ( )) > ( ( ))的 的值是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 1和2
3.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量 (单位：焦耳)与地震里氏震级 之间的关系为
= 4.8 + 1.5 已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为 1和 2，则
1 =( )
2
A. 101.05 B. 1.05 C. 100.75 D. 0.75
4.若函数 ( ) = 22 + 2 2 4(2 + 2 ) + 有且只有一个零点，则实数 的值为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分。
5.设 是实数，集合 = { | 2 + 6 = 0}， = { | + 2 = 0}，若 ，则 的取值集合是 ．
1
6.关于 的不等式 ≥ 1的解集为______．

4 5
7.化简：√( 3)4 + √( 3)5 = ______．
8.已知18 = 5，log189 = ，试用 ， 表示log3645 = ______．
9.设 ∈ ，方程|1 | + |2 1| = |3 2|的解集为______．
10.已知函数 ( ) = ( 2 1) 2 1是幂函数，且 ( )在( ∞, 0)上单调递减，则实数 = ______．
11.函数 = 1 + 2( > 0且 ≠ 1)恒过定点______．
, ( ≥ ) 9
12.对 ， ∈ ，记 { , } = { ，则函数 ( ) = {| + 1|, 2 2 + }的最小值为______．
, ( < ) 4
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+3
13.若关于 的方程5 = 有负根，则实数 的取值范围是______．
3
14.利用函数图像解不等式：log2 < + 1的解集是______．
3 4 3 4
15.“求方程( ) + ( ) = 1的解”有如下解题思路：设 ( ) = ( ) + ( ) ，则 = ( )是 上的严格减函数，
5 5 5 5
且 (2) = 1，所以原方程有唯一解 = 2，类比上述解题思路，可得不等式 3 ( 2)2 > ( 2)6 的解
集为______．
3 +
16.已知函数 ( ) = 3 22(√ + 1 )，正数 ， 满足 ( ) + (3 1) = 0，则 的最小值为______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 56 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
2 1
已知集合 = { | < 0}， = { |( )( + 1) < 0}．
1
(1)若 = 1，求 ∪ ；
(2)若 ∈ 是 ∈ 的充分条件，求 的取值范围．
18.(本小题10分)
4 +1 3√ 2
(1)记 ( ) = ，求 ( ) = 时 的值；
2 2
+1
(2)是否存在正数 ，使函数 = 是偶函数？
2
19.(本小题12分)
已知函数 ( ) = |log2 |．
(1)完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数 ( ) = |log2 |的简图；
(2)根据(1)的结果，若 ( 1) = ( 2)，( 1 ≠ 2)，试猜想 1 2的值，并证明你的结论．
1 1
1 2 4
4 2
( )
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20.(本小题12分)
某食品厂引进一条先进生产线生产某种奶类制品，其生产的总成本 (万元)与年产量 (吨)之间的函数关系式
可以近似地表示为 = 0.2 2 50 + 8000，已知此生产线的年产量最大为300吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本 最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
21.(本小题14分)

已知函数 ( ) = 3 + ．
| |+1
(1)证明：函数 ( )是奇函数；
(2)用定义证明：函数 ( )在(0, +∞)上是增函数；
(3)若关于 的不等式 ( 2 + 3 ) + (1 ) ≥ 0对于任意实数 恒成立，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
2
5.【答案】{0, 1, }
3
6.【答案】(0,1]
7.【答案】
+
8.【答案】
2
1
9.【答案】( ∞, ] ∪ [1, +∞)
2
10.【答案】 1
11.【答案】(1,3)
3
12.【答案】
2
13.【答案】 < 3
14.【答案】(0,1)
15.【答案】(1,4)
16.【答案】12
2 1
17.【答案】解：(1)因为 < 0，
1
1 1
所以(2 1)( 1) < 0，所以 < < 1， = ( , 1)，
2 2
因为( )( + 1) < 0，所以 1 < < ， = ( 1, )，
当 = 1时， = (0,1)， ∪ = (0,1)；
(2)因为 ∈ 是 ∈ 的充分条件，所以 ，
1
1 ≤ , 3
所以{ 2 ，即1 ≤ ≤ ，
≥ 1, 2
3
所以 的取值范围为[1, ]．
2
4 +1 3√ 2
18.【答案】解：(1)根据题意， ( ) = ，若 ( ) = ， 2 2
4 +1 3√ 2 1 1
则
2
= ，解可得 = 或 ，
2 2 2
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+1
(2)根据题意，设 ( ) = ，
2
+1 +1 +1
假设存在正数 ，使函数 = 为偶函数，则 ( ) = ( )，即 = 对于任意实数恒成立， 2 2 2
+1 +1
对于
2
= ，
2
变形可得：( )2 (1 + 4 ) + 4 = 0，解可得 = 0或 = 4 ，
+1 +1
若 = 对于任意实数恒成立，即 = 0或 = 4 对于任意实数恒成立， 2 2
必有 = 4，
+1
故存在 = 4，使函数 = 是偶函数．
2
19.【答案】解：(1)根据题意，函数 ( ) = |log2 |，
则有
1 1
1 2 4
4 2
( ) 2 1 0 1 2
其大致图象如图：
(2)猜想 1 2的值为1，由于 1 ≠ 2，假设 1 < 2，
若 ( 1) = ( 2)，必有 1 < 1 < 2，则有 ( 1) = |log2 1| = log2 1， ( 2) = |log2 2| = log2 2，
若 ( 1) = ( 2)，即 log2 1 = log2 2，则有log2 1 + log2 2 = log2( 1 2) = 0，必有 1 2 = 1．

20.【答案】解：(1)每吨平均成本为 (万元)，

8000 8000
则 = + 50 ≥ 2√ 50 = 30，
5 5
8000
当且仅当 = ，即 = 200时取等号，
5
∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为30万元；
(2)设年获得总利润为 ( )万元，
2 2 1
则 ( ) = 40 = 40 + 50 8000 = + 90 8000 = ( 225)2 + 2125(0 ≤ ≤ 300)，
5 5 5
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∴ = 225时， ( )有最大值为 (225) = 2125(万元)，
∴年产量为225吨时，可获得最大利润2125万元．

21.【答案】解：(1)证明：由函数 ( ) = 3 + ，可得其定义域为 ，关于原点对称，
| |+1

又由 ( ) = 3 = (3 + ) = ( )，
| |+1 | +1
所以函数 ( )为定义域 上的奇函数；
(2)证明：当 ∈ (0, +∞)时，
1
( ) = 3 + = 3 + 1 ，
+1 +1
任取 1， 2 ∈ (0, +∞)，且 1 < 2，
1 1
可得 ( 1) ( 2) = 3 1 + 1 (3 + 1 ) +1 21 2+1
1 1
= 3( 1 2) + ( ) 2+1 1+1
1 = 3( 21 2) + ( 2+1)( 1+1)
1
= ( 1 2) [3 + ]， ( 2+1)( 1+1)
因为 1， 2 ∈ (0, +∞)，且 1 < 2，
可得 1 2 < 0，( 2 + 1)( 1 + 1) > 0，
所以 ( 1) ( 2) < 0，
即 ( 1) < ( 2)，
所以函数 ( )在(0, +∞)上是增函数；
(3)因为函数 ( )为定义域 上的奇函数，且在(0, +∞)上是增函数，
所以函数 ( )在( ∞, 0)上也是增函数，
又因为 (0) = 0，
所以函数 ( )在 上是增函数，
又由 ( 2 + 3 ) + (1 ) ≥ 0，
可得 ( 2 + 3 ) ≥ (1 ) = ( 1)，
因为不等式 ( 2 + 3 ) + (1 ) ≥ 0对于任意实数 恒成立，
即不等式 ( 2 + 3 ) ≥ ( 1)对于任意实数 恒成立，
可得不等式 2 + 3 ≥ 1对于任意实数 恒成立，
即不等式 2 + 2 + 1 ≥ 0对于任意实数 恒成立，
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当 = 0时，不等式即为1 ≥ 0恒成立，符合题意；
> 0
当 ≠ 0时，则满足{ ，
= (2 )2 4 ≤ 0
解得0 < ≤ 1，
综上可得，0 ≤ ≤ 1，
即实数 的取值范围[0,1]．
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