浙江省慈溪中学、舟山中学等多校2025届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)

浙江省慈溪中学、舟山中学等多校2025届高三上学期期中考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知集合,且,则a等于( )
A.1 B. C. D.3
2．设复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，，则( )
A. B. C. D.
3．若命题“，成立”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则( )
A. B. C. D.
5．已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的高为( )
A. B. C. D.
6．函数的部分图像如图所示，直线与其交于A，B两点，若，则( )
A.4 B.3 C.2 D.1
7．已知函数，若，，，则有( )
A. B.
C. D.
8．已知函数（a，且）在区间上有零点，则的最小值为( )
A. B. C.2 D.1
二、多项选择题
9．下列说法中正确的是( )
A.数据1，2，2，3，4，5的极差与众数之和为7
B.若随机变量X服从二项分布，且，则
C.X和Y是分类变量，若值越大，则判断“X与Y独立”的把握性越大
D.若随机变量X服从正态分布，且，则
10．已知数列的前n项和为，满足，且，则下列结论中正确的是( )
A.为等比数列
B.为等比数列
C.
D.
11．已知曲线C的方程为：，，，过M的直线交曲线C于A、B两点（A在B的上方），已知，，下列命题正确的是( )
A.
B.的最小值是2
C.周长的最大值是
D.若，将沿翻折，使面面，则折后
三、填空题
12．双曲线的渐近线方程为______.
13．已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为___________.（用数字作答）
14．一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是___________.
四、解答题
15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
(1)求角A；
(2)若，的面积为，求的值
16．已知函数，其中.
(1)若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值；
(2)讨论函数的单调性
17．如图，三棱锥中，，平面平面，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)若为钝角，且二面角的大小为，求.
18．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T.
(1)求点T的轨迹W的方程；
(2)已知点，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP，AQ分别与直线交于M，N两点，求证：直线FM与直线FN的斜率之积为常数
19．一般地，任何一个复数（a，）可以写成，其中r是复数的模，是以x轴非负半轴为始边，射线OZ为终边的角，称为复数的辅角我们规定在范围内的辅角称为辅角主值，通常记作argz，如，，.发现，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辅角等于各复数辅角的和考虑如下操作：从写有实数0，1，的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部设n为正整数，重复n次上述操作，可得到n个复数，将它们的乘积记为.
(1)写出一次操作后所有可能的复数；
(2)当，记的取值为X，求X的分布列；
(3)求为实数的概率.
参考答案
1．答案：D
2．答案：A
3．答案：B
4．答案：C
5．答案：A
6．答案：C
7．答案：B
8．答案：D
9．答案：BD
10．答案：BCD
11．答案：ABC
12．答案：
13．答案：-160
14．答案：
15．(1)由条件得，
从而
所以，
由正弦定理得，
故.
从而
，
得，故.
所以.
(2)设的面积为S，
则
.
16．(1)函数，
求导得，
由曲线在点处的切线垂直于直线，
得，
所以.
(2)函数的定义域为，，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，方程中，，
若，则，，函数在上单调递增；
若，则，关于x的方程有两个正根，
，，
当或时，；
当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数的递增区间是；
当时，函数的递增区间是，，
递减区间是.
17．(1)如图，在平面ABC内取点O，
过O作于M，过O作于N，
平面平面ABC，平面平面，
平面ABC，
平面PAC，又平面PAC，
，同理可证，
又，，平面ABC，
平面ABC；
(2)法一：如图，过点B作于点H，
过H作于点Q，连接BQ，
平面ABC，平面ABC，，
又，，平面PAC，
平面PAC，则为二面角的平面角，
即
设，，
则，，
所以，
又，所以，
所以，
由得，
整理得，
又，
解得或（舍去），
综上.
法二：如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，
设，，
则，，，，
易知平面PAC的法向量为，
设面PAB的法向量为，
则，
，
则，
整理得，
由，
得，
解得或（舍），
综上，.
18．(1)由题意：点T在线段BF的垂直平分线上，
则，可得.
由椭圆定义可得，点T的轨迹是以，为焦点的椭圆，
且椭圆长轴长为，焦距为，，
所以点T的轨迹W的方程为
(2)
由(1)知，，设直线，，，
联立
消去x，整理得，
则，
根据题意可设，，
则由，
可得，
同理可得，
所以直线FM与直线FN的斜率之积，
.
所以直线FM与直线FN的斜率之积为定值.
19．(1)一次操作后可能的复数为：1，i，，，，，
(2)一次操作后复数的模所有可能的取值为：1，1，，，2，2
由，
故X的取值为1，，2，3，，4
，，.
，，，
所以X的分布列为
X 1 2 3 4
P
(3)若为实数，则或.
而1，i，，，，的辅角主值
分别是0，，0，，，，
设在n次操作中，得到i，的次数为，
得到的次数为，得到的次数为，
于是，
从而，
即
因此，所有的概率即为是3的倍数的概率，
下面研究与之间的关系
(i)是3的倍数，且第次操作得到的复数是1，i，，（概率为）；
(ii)被3除余1，且第次操作得到的复数是（概率为）；
(iii)被3除余2，且第次操作得到的复数是（概率为）；
因此由全概率公式可以得到：
变形得，
其中，
故