2024-2025学年广西壮族自治区“邕衡教育·名校联盟”高三（上）联考数学试题（12月份）（PDF版，含答案）

2024-2025 学年广西壮族自治区“邕衡教育·名校联盟”高三（上）联
考数学试题（12 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
3
1.已知集合 = {0,1,2,3,4,5}， = { ∈ | ∈ }，则

=( )
A. {0,1,3,5} B. {1,3,5} C. {0,2,4,5} D. {2,4,5}
( ), > 0
2.若 ( ) = { 是奇函数，则 (2) =( )
3 + 1, < 0
A. 7 B. 7 C. 9 D. 9
2 2
3.已知双曲线 ： + = 1的离心率 = √ 2，则实数 的值为( )
+1 1
1
A. = 0 B. = 2 C. = D. = 2
2
4.将函数 = cos 的图象向右平移 (0 < < 2 )个单位，得到函数 = ( )的图象，“则 = ( )是奇函

数”是“ = ”的( )
2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
1
5.已知 为单位向量，向量 在向量 上的投影向量是 ，且( + ) ⊥ ，则 的值为( )
2
A. 2 B. 0 C. 2 D. 1
6.设函数 ( ) = 3 + ln ，满足 ( ) ( ) > 0(0 < < < ).若函数 ( )存在零点 0，则( )( )
A. 0 < B. 0 > C. 0 < D. 0 >
7.计算sin215° + cos245° + sin 15°cos 45° =( )
3 4 5 6
A. B. C. D.
4 5 6 7

8. ∈ ， ∈ [ ，+∞)，使得( ) (
2 2 ) ≤ 0恒成立，则整数 的最小值为( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
5
9.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，点 ( , 2)在 上，| | = ，则 的值可能是( )
2
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
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10.如图正方体 1 1 1 1， ， 分别是 1 ， 1 的中点，则( )
A. 直线 1 与直线 1 垂直，直线 //平面
B. 直线 1 与直线 1 相交，直线 //平面
C. 直线 1与 1所成的角为90°
D. 直线 1与平面 所成的角为45°
11.已知函数 ( ) = 3 2 + ( ≥ 0)，则( )
A. 若 ( ) = (1)，则 = 5
B. 若 = 3，则 ( )在(1,3)上单调递增
1
C. 若 = 1，则 ( )在(0, )上单调递减
3
D. 若 ( )有两个零点，则 > 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1 10
12.二项式( √ ) 的展开式中 2的系数为__________(用数字作答)．


13.已知复数 满足① ( ) ∈ ；② > 25.写出一个同时满足①②的复数 =__________．
2+
14.已知数列{ }满足 +1 = 1或3，其中 1 = 2，设{ }的前 项和为 ，则 3的所有可能为 (用数
字作答)， 8可能的不同取值个数为 (用数字作答)．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数 ( ) = ln + 1．
1
(1)当 = 2时，求 ( )在区间[ , 1]上的值域；

(2)若 ∈ (0, +∞)，有 ( ) < 0，求 的取值范围．
16.(本小题15分)
2024年10月，“2024环广西世巡赛”成功举行，志愿者的服务工作是世巡赛成功举办的重要保障，某单位
承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了200名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二
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组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、
二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
(1)求 、 的值；
(2)若面试成绩前68名为优秀，请估计优秀成绩的最低分；
(3)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成
绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次
第二组和第四组所有面试者的方差．
(注：若将总体划分为若干层，随机抽取两层，通过分层随机抽样，每层抽取的样本量、样本平均数和样本
1
方差分别为： ， ， 21； ， ，
2
2 .记这两层总的样本平均数为 ，样本方差为
2，则 2 = { [ 21 + ( +
)2] + [ 2 22 + ( ) ]}).
17.(本小题15分)
已知三棱锥 的四个顶点均在球 的球面上， = = = 2， 、 分别为 、 中点．
(1)现有如下两个条件：
条件① = ；
条件②∠ = ∠
请从上述二个条件中选择一个条件，能使 ⊥ 成立，并写出证明过程．
(2)若∠ = 90°，求三棱锥 — 体积最大时，二角面 的正弦值．
18.(本小题17分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
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(1)若△ 为锐角三角形，对任意内角 ， ，若 ( ) = sin ， ′( )是它的导数，证明： ( ) > ′( )
(2)若△ 为锐角三角形，且角 ， ， 满足tan tan tan ≤ [tan ] + [tan ] + [tan ]，其中符号[ ]表示
不大于 的最大整数，若 ≤ ≤ ，试探讨tan tan 是否为定值？请说明理由
1 1 1
(3)在△ 中，当 = 2， + + = 1.求△ 面积的最大值
tan tan tan tan
19.(本小题17分)
2 2 √ 6
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的短轴长为2√ 3，且过点 (√ 2, )． 2
(1)求椭圆 的方程；
(2)点 1为椭圆 外的一点，过 1作两条直线与椭圆 相切，且这两条直线互相垂直，求点 1的轨迹方程 1；
(3)过平面上一点 2作(2)中的轨迹 1的两条切线且这两条切线互相垂直，设点 2的轨迹方程为 2.依此类推，
过平面上一点 作轨迹 1的两条切线且这两条切线互相垂直，设点 的轨迹方程为 .在每条轨迹方程
上任取三个点 、 、 ，且使得∠ ，∠ ，∠ 均为钝角( 为坐标原点).求证： ≤
21 2 3 √ 3
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】45
13.【答案】答案不唯一，满足 > √ 5或 < √ 5的复数 = 2 + 都符合
14.【答案】4，6，8；29
15.【答案】解：(1)当 = 2时， ( ) = 2 + 1，( > 0)
1 1 2
因此 ′( ) = 2 = ，

1
因此当0 < < 时， ′( ) > 0，函数单调递增，
2
1
当 > 时， ′( ) < 0，函数单调递减，
2
1 1 1 1
因此，在区间[ , 1]， ( )在[ , ]上递增，在( , 1]上递减，
2 2
1 2 1 1
由于 ( ) = ， (1) = 1， ( ) = ln = ln2，
2 2
因此 ( )的值域是[ 1, 2]．
ln +1
(2)由题意知ln + 1 < 0，即 > ，

ln +1 ln
令 ( ) = ，则 ′( ) = 2 ．
因此当 ∈ (0,1)时， ′( ) > 0,当 ∈ (1, +∞)时， ′( ) < 0,
所以 ( )在(0,1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减，
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所以 ( )max = (1) = 1，则 > 1．
所以 的取值范围为(1, +∞)．
10 + 10 = 0.3,
16.【答案】解：(1)由题意可知，{
10 × (0.045 + 0.020 + ) = 0.7,
= 0.005
解得{ ;
= 0.025
(2)由(1)可知每组的频率依次为0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
68
因为 = 0.34，故优秀成绩的最低分 ∈ [65,75)，
200
所以0.2 + 0.05 + (75 ) × 0.045 = 0.34，
可得 = 73，所以优秀成绩的最低分为73分;
(3)设第二组、第四组的平均数分别为 1， 2，方差分别为
2
1，
2
2，
且各组频率之比为：(0.005 × 10): (0.025 × 10): (0.045 × 10): (0.02 × 10): (0.005 × 10) = 1: 5: 9: 4: 1，
5 4
所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者 × 20 = 5人，第四组面试者 × 20 = 4人，
1+5+9+4+1 1+5+9+4+1
5×62+4×80
则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数 = = 70，
9
5 4
第二组、第四组面试者的面试成绩的方差 2 = [ 21 + (
2
1 ) ] + [
2 + ( )22 2 ] 9 9
5 4 1030
= × [30 + (62 70)2] + × [40 + (80 70)2] = ．
9 9 9
17.【答案】解：(1)选择条件 ① = ，
连接 ， ，
∵ = ， 是 中点，∴ ⊥ ，
又∵ = ，∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ， 、 面 ，
∴ ⊥面 ，
又∵ 面 ，
∴ ⊥ ．
选择条件 ②∠ = ∠ ，
连接 ， ，
∵ ∠ = ∠ ， = ， = ，
∴ ≌ ，
∴ = ，
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∵ 是 中点，
∴ ⊥ ．
(2)在三角形 中，∠ = 90 ， 是 中点，所以 = 1．
所以，当 ⊥面 时，点 到面 距离的最大，
连接 、 ，
∵ ⊥面 ， 面 ，
∴面 ⊥面 ，
∵ ⊥ ，面 ∩面 = ， 面 ，
∴ ⊥面 ，
建立以 为坐标原点， 、 、 分别 、 、 轴的空间直角坐标系 ，
在等腰直角三角形 中， = 1，
故相关点坐标如下： (0,0,0)， (0,0,1)， ( 1,0,0)， (1,0,0)， (0, √ 3, 0)，
= ( 1,0, 1), = (1, √ 3, 0),
设面 的法向量 1 = ( , , )，

则{ 1
= 0 = 0
，即{ ，
= 0 + √ 3 = 01
令 = 1
√ 3 √ 3
，则 = 1， = ，则
3 1
= ( 1, , 1)，
3
易得，面 的法向量 2 = (1,0,0)，
1· 1 √ 21
∴ cos < ， >=
2
2 = = 1 | 1|| 2| √ 7 7
，
3
∵二面角 是锐二面角，
∴二面角 的余弦值为√ 21．
7
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18【. 答案】解：(1)由题意可知， ， ∈ (0, )， + > ， > > > 0，所以sin > cos ， ,( ) = cos ，
2 2 2 2
所以 ( ) > ′( )
tan +tan
(2)由tan = tan( ( + )) = tan( + ) = ，得tan + tan + tan = tan tan tan
1 tan tan
记 = tan ， = tan ， = tan ，由条件得 + + ≤ [ ] + [ ] + [ ]，
因为[ ] ≤ ，所以[ ] + [ ] + [ ] ≤ + + ≤ [ ] + [ ] + [ ]所以 + + = [ ] + [ ] + [ ]，所以 ， ，
必为整数

由 ≤ ≤ ，得0 < ≤ ，所以tan ≤ √ 3，又tan ∈ ，所以tan = 1， = ，
3 4
3
3 3 3 2tan
所以 + = ，又 ≤ ，所以 ≤ ≤ ，tan( + ) = tan = 8 = 1，
4 4 8 4 3 1 tan2
8
3
解得tan = √ 2 + 1 ≈ 2.4
8
tan = 2，代入得tan = 3
即tan = 3，tan = 2，tan = 1，所以tan tan = 1
1 1 1
(3)因为 + + = 1，可得tan + tan + 1 = tan tan ，由(2)的结论得tan = 1，又 ∈ (0, )，
tan tan tan tan

所以 = ;
4

由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos ≥ 2 √ 2 ，当且仅当 = 时取等号，而 = 2，所以 ≤
4
4
= 2(2 + √ 2)，
2 √ 2
1 1 √ 2
所以 △ = sin ≤ × 2(2 + √ 2) × = 1 + √ 2 2 2 2
即该三角形的面积的最大值为1 + √ 2．
2 2
19.【答案】解：(1)由于椭圆 : 2 + 2 = 1的短轴长为2√ 3，所以有 = √ 3
√ 6 2 3
又由于椭圆过点 (√ 2, )，所以有 + = 1，所以有 = 2，
2 2 22
2 2
所以有椭圆 的方程为 + = 1;
4 3
(2)当过 1作两条直线与椭圆 相切的直线中有一条直线的斜率不存在时，点 1的坐标为(±2, ±√ 3)
当过 1作两条直线与椭圆 相切的直线中两条直线的斜率均存在时，可设这两条直线的斜率为 1， 2．
设点 1的坐标为( 0, 0)，则切线方程可设为 0 = 1( 0)与 0 = 2( 0)
= ( )
联立{ 2 2 ，可得(4
2
1 + 3)
2 + 8 ( 1)0 + 4(
2
0 1) 12 = 0由于相切，则 =
+ = 1
4 3
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(8 1( 0 0))
2 4(4 21 + 3)(4( 0
2
1 0) 12) = 0
则4 21 ( 0 1 0)
2 + 3 = 0，即(4 2) 20 + 2 0 0 1 + 3
2
0 = 0，
同理可得(4 2 2 20 ) 2 + 2 0 0 2 + 3 0 = 0
所以 1， 2可以看成是(4
2
0 )
2 + 2 0 0 + 3
2
0 = 0的两根，
3 2
由于这两条切线互相垂直，则 01 2 = = 1，所以有
2
0 +
2
4 0
= 7．
0
注意到，当过 1作两条直线与椭圆 相切的直线中有一条直线的斜率不存在时，点 1的坐标为(±2, ±√ 3)，
也满足 20 +
2
0 = 7，则点 1的轨迹方程 为
2 + 21 0 0 = 7，
(3)由于点 1的轨迹方程 为
2 2
1 0 + 0 = 7是一个圆，则过平面上一点 2作(2)中的轨迹 1的两条切线且这两条
切线互相垂直，点 2的轨迹方程 2也是一个圆，设轨迹方程 1的半径为 1 = √ 7，则点 2的轨迹方程 2的半
径为 2 = √ 21 = √ 14，依次类推，设轨迹方程 1的半径为 1，则点 的轨迹方程 的半径为 = √ 2 1，
1
不难发现{ }是以 1 = √ 7为首项，√ 2为公比的一个等比数列，则 = √ 7 √ 2 ，
由于 、 、 是轨迹方程 上任意三点，可设∠ = ，∠ = ，∠ = ，
由于∠ ，∠ ，∠ 均为钝角，则 + + = 2 ，
∵ = + +
1 1 1
∴ = +
+
2 2
+ 2
1 1 1 1 1 1 1 1
= √ 7 √ 2 √ 7 √ 2 + √ 7 √ 2 √ 7 √ 2 + √ 7 √ 2 √ 7
2 2 2
1
√ 2 = 7 2 2( + + )
方法一：注意到 ( ) = sin 在 ∈ (0, )上是上凸函数。
sin +sin +sin + + 2
由琴生不等式，可得 ≤ sin( ) = sin ，
3 3 3
2
当且仅当 = = = 时取等。
3
3√ 3
∴ 2 = 7 2 ( + + ) 7 2
2 = 21 2 3 √ 3；
2
方法二： 2 = 7 2 ( + + )
= 7 2 2(sin + sin sin ( + ))
= 7 2 2(sin + sin sin cos sin cos )
= 7 2 2(sin (1 cos ) cos sin + sin )47 2
2(√ 1 cos )2 + sin2 sin( ) + sin )
≤ 7 2 2(√ (1 cos )2 + sin2 + sin )
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= 7 2 2(2sin + sin )
2

( ) = 2sin + sin
2

′( ) = cos + cos = cos + 2cos2 1 = (2cos 1)(cos + 1) = 0
2 2 2 2 2
1 3√ 3
所以，当cos = 时， ( ) = 2sin + sin 取得最大值
2 2 2 2
3√ 3
∴ 2 2 3 = 7 2 ( + + ) 7 2 = 21 2 √ 3 2
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