浙江省2024年九年级（上）期末压轴题精选分类训练：二次函数（含解析）
文档属性
| 名称 | 浙江省2024年九年级（上）期末压轴题精选分类训练：二次函数（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 816.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-19 17:38:14 | ||
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文档简介
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浙江省2024年九年级（上）期末压轴题精选分类训练
二次函数
一．选择题
1．已知两个二次函数y1和y2，当x＝a（a＞0）时，y1取到最大值5，且y2＝25；又y2的最小值为﹣2，若，则二次函数．y1和y2两图象的对称轴相距（ ）个单位．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→C向点C运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C向点C运动，直到它们都到达点C为止．若△APQ的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s），则S与t的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，下列结论：
①点A，B的坐标分别是（﹣4，0）和（1，0）
②点P为（0，m），当∠APB＜90°时，m＜﹣2．
③抛物线上存在点E（除C外），使得△ABE的面积与△ABC面积相等的点E有3个．
④点F是抛物线对称轴上一点，当△ACF是直角三角形时，点F的纵坐标分别是．正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+mx交x轴的负半轴于点A，点B是y轴正半轴上一点，连结AB并延长交抛物线于点A'，过点A'作x轴的平行线交抛物线于另一点C．连结AC．若点A'的横坐标为1，且，则AC的长为（ ）
A． B． C．4 D．
5．如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点P是BC上方抛物线上一点，连结AP交BC于点D，连结AC，CP，记△ACD的面积为S1，△PCD的面积为S2，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
6．如图，已知点A（16，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P，O两点的二次函数y1和过P，A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B，C，射线OB与AC相交于点D，当OD＝AD＝10时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
7．已知A，B两点的坐标分别为（﹣2，﹣2），（1，2），线段AB上有一动点M（m，n），过点M作x轴的平行线交抛物线y＝﹣（x+1）2+b于点P（x1，y2），Q（x2，y2）两点（点P在Q的左侧）．若x1＜m≤x2恒成立，则b的取值范围为（ ）
A．b≤1 B．b≥6 C．﹣1＜b≤6 D．﹣2＜b≤5
8．小明为随机获取点P的坐标，采用掷两次骰子作为一次操作的方法获取：第一次掷出的骰子朝上的数字记为x，第二次掷出的骰子朝上的数字记为y（x与y分别取1，2，3，4，5，6中的一个数字），用x与y来确定点P（x，y）．那么小明进行一次操作所获取的点P（x，y）能落在二次函数y＝﹣x2+4x图象上的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（ ）
A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0
B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0
C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0
D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0
10．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象与一次函数y＝px+q（p≠0）的图象交于（x1，y1）和（x2，y2）两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若a＞0，p＜0，则x1+x2＞2h
B．若x1+x2＞2h，则a＞0，p＜0
C．若a＜0，p＜0，则x1+x2＞2h
D．若x1+x2＞2h，则a＜0，p＜0
11．二次函数y＝ax2+4x+1（a为实数，且a＜0），对于满足0≤x≤m的任意一个x的值，都有﹣2≤y≤2，则m的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
12．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0），当y≥t时，x≤m﹣1或x≥m+3．若该函数图象过点A（m，5）和B（m+4，q），则q的值可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题
13．如图，把函数yx2的图象经过平移后得到新的函数m的图象，新函数m的图象经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与函数yx2的图象交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ．
14．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且ab≠0）经过（1，0），（x1，0），一次函数y＝|a|x+c经过（x2，0），一次函数y＝|b|x+c经过（x3，0）．已知﹣5＜x1＜﹣4，m＜x2＜m+1，n＜x3＜n+1，其中m，n为整数，则m+n的值为 ．
15．已知关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实根x1，x2，且x1＜x2，现有下列说法：①当m＝0时，x1＝2，x2＝3；②当m＞0时，2＜x1＜x2＜3；③m；④二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）﹣m的图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（3，0）．其中正确的有 ．
16．已知自变量为x的二次函数y＝（ax+m）（x）经过（t，3）、（t﹣4，3）两点，若方程（ax+m）（x）＝0的一个根为x＝1，则其另一个根为 ．
三．解答题
17．设二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），求该二次函数的表达式．
（2）若函数y的表达式可以写成y＝﹣（x+h）2+3（h是常数）的形式，求c﹣b的最大值．
（3）设一次函数p＝x﹣m（m是常数），若二次函数的表达式还可以写成y＝﹣（x﹣m）（x﹣m+1）的形式，当函数q＝y﹣p的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．
18．在平面直角坐标系中，点（1，m），（2，n）在函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象上．
（1）若m＝2，n＝3，求该函数的表达式．
（2）若n＝3m，求证：该函数的图象经过点．
（3）已知点（3，0），（﹣1，y1），（4，y2）在该函数图象上，若m＞0，n＜0，试比较y1，y2的大小，并说明理由．
19．二次函数y＝x2﹣bx+c的图象经过（﹣2，y1），（1，y2）两点．
（1）当b＝1时，判断y1与y2的大小．
（2）当y1＜y2时，求b的取值范围．
（3）若此函数图象还经过点（m，y1），且1＜b＜2，求证：3＜m＜4．
20．下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务．
设计题SHEJITI 由例5可知，求方程x2+x﹣1＝0的解，就是求二次函数y＝x2+x﹣1的图象与x轴交点的横坐标．如图1﹣20．若取x的值为x1，x2，x1＜x2，使得函数值y1，y2满足y1 y2＜0，那么抛物线y＝x2+x﹣1与x轴的交点中至少有一个在（x1，0）与（x2，0）之间，也就是说，方程x2+x﹣1＝0至少有一个解在x1与x2之间，由此我们可以估计方程x2+x﹣1＝0的解．
【任务】
（1）在例5求解过程中，主要运用的数学思想是 .（从以下选项中选2个即可）
例5利用二次函数的图象方程x2+x﹣1＝0的解（或近似解）． 解设y＝x2+x﹣1，则方程x2+x﹣1＝0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数y＝x2+x﹣1的图象，得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标x1，x2就是方程的解．观察图1﹣20，得到点A的横坐标x1≈0.6，点B的横坐标x2≈﹣1.6．所以方程x2+x﹣1＝0的近似解为x1≈0.6，x2≈﹣1.6．
A．数形结合
B．分类讨论
C．统计思想
D．转化思想
（2）先完成下表，并判断：
方程3x2﹣x﹣1＝0的解x1，x2（x1＜x2）分别在哪两个相邻的整数之间．
x的值 ﹣2 ﹣1 0 1
3x2﹣x﹣1的值
（3）若抛物线y＝ax2+bx+2的开口向下，试判断方程ax2+bx＝﹣2根的情况．
21．已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）．
（1）求b，c的值；
（2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值．
22．已知二次函数y＝ax2﹣2（a+1）x+4（a≠0）．
（1）证明：二次函数的图象与x轴总有交点．
（2）若点P（，b）和点Q（n，b）在该二次函数图象上，求（b）2+n2的值．
（3）将该二次函数图象向下平移2个单位，令新函数图象与x轴的交点横坐标为x1，x2．证明：|x1﹣x2|＞2．
23．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣1与x轴的交点为A，B（点B在点A的右边），与y轴的交点为C，顶点为D．
（1）当m＝0时，判断△ABD的形状，并说明理由．
（2）当点A在x轴的负半轴上，点C在y轴正半轴上时，是否存在某个m值，使得△AOC是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
（3）当点B在x轴的正半轴上时，连结BC，若射线BO，BC，BD中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分，求出此时m的值．
24．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0），对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣3≤x≤0时，求y的最小值．
（3）当m﹣2≤x≤m时，y的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝3，求m的值．
25．在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上存在一对点P和P′，且它们关于坐标原点O对称，那么我们把点P和P'叫做这条抛物线的成对点．
（1）已知点P（﹣2，m）与P′是抛物线y＝x2﹣2x﹣4的成对点，求P'的坐标．
（2）如图，已知点A与C为抛物线y＝﹣x2﹣2x+c的成对点，且A为该抛物线的顶点．
①求c的值．
②若这条抛物线的对称轴与x轴交于点B，连结AC，BC，点D是射线AB上一点．如果∠ADC＝∠ACB，求点D的坐标．
26．如图1，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD∥BC，边长AB＝2，点A在x轴负半轴上，点D在x轴正半轴上．抛物线y＝﹣x2+3与x轴相交于F，G两点，P为抛物线的顶点．BC所在的直线恰好经过点P，边CD与抛物线相交于点E．
（1）求∠BAD的度数．
（2）如图2，连结BE，AE．
①已知：AE平分∠BAD，AD．求证：△BCE∽△EDA．
②是否存在以A，B，E为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
27．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，定义P（x1，y1），Q（x2，y2）两点之间的“直角距离”为d（P，O）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，二次函数y＝x2﹣3x+4的图象如图所示．
（1）点A为图象与y轴的交点，点B（﹣1，b）在该二次函数的图象上，求d（A，B）的值．
（2）点C是二次函数y＝x2﹣3x+4（x≥0）图象上的一点，记点C的横坐标为m．
①求d（O，C）的最小值及对应的点C的坐标．
②当t≤m≤t+1时，d（O，C）的最大值为p，最小值为q，若p﹣q，求t的值．
28．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值互为相反数：当x＜0时，它们对应的函数值相等，我们称这两个函数互为相关函数，例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为y＝
．
（1）已知点A（﹣1，3）在一次函数y＝ax﹣2的相关函数的图象上，求a的值；
（2）已知二次函数y＝﹣2x2+8x﹣3．
①当点B（m，﹣4）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；
②当﹣2≤x≤3时，求函数y＝﹣2x2+8x﹣3的相关函数的最大值和最小值．
29．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB是矩形，AB＝4，将线段OA绕点O按顺时针方向旋转90°，使点A落在OC边上的点E处，抛物线y＝ax2+bx+3过A，E，B三点．
（1）填空：a＝ ；b＝ ．
（2）若点M是抛物线对称轴上的一动点，当△MBE的周长最小时：
①求点M的坐标；
②求△MBE外接圆圆心F的坐标．
（3）在（2）的条件下，点P是x轴上一动点，当∠BPE＝∠MBE时，求点P的坐标．
30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c的图象交x轴于A（4，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，连接AC．
（1）填空：该抛物线的函数解析式为 ，其对称轴为直线 ；
（2）若P是抛物线在第一象限内图象上的一动点，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，试求线段PQ的最大值；
（3）在（2）的条件下，当线段PQ最大时，在x轴上有一点E（不与点O，A重合），且EQ＝EA，在x轴上是否存在点D，使得△ACD与△AEQ相似？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．【分析】根据题意可以设出y1的解析式，也就得出y2的解析式，根据题意列出方程，解方程从而求出y1和y2的解析式，再分别求出它们的对称轴即可解决问题．
【解答】解：设，则，
当x＝a时，y2＝25，
即：a2+16a+8＝2 5，
解得：a1＝1，a2＝﹣17（舍去）
∴，
∴
∵y2的最小值为﹣2
∴，
解得m＝﹣2，
检验：当m＝﹣2时，4（1﹣m）≠0，
∴a＝1，
∴，，
∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，
∴y1和y2两图象的对称轴距离为：1﹣（﹣2）＝3个单位，
故选：C．
2．【分析】分两种情况讨论：当0≤t≤2.5时，过Q作QD⊥AC交AC于点D，S△APQAP×QD；当2.5＜t≤4时，S△APQ＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△ABQ．
【解答】解：①当0≤t≤2.5时，点Q在AB上，
∴AQ＝2t，AP＝t，
过Q作QD⊥AC交AC于点D，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，
∴BC＝3cm，
∴，
∴QDt，
S△APQAP×QDttt2，
②当2.5＜t≤4时，点Q在BC上，
S△APQ＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△ABQ
3×4（4﹣t）×（8﹣2t）4×（2t﹣5）
＝﹣t2+4t
＝﹣（t﹣2）2+4，
综上所述，正确的图象是C．
故选：C．
3．【分析】①由题意得，即可求得点A，B的坐标；②由题意求得PA2、PB2和AB2，设∠APB＝90°时，求得m＝±2，结合∠APB＜90°，可得m＞2或m＜﹣2；③由点C（0，﹣2），可知点E的纵坐标为±2，解方程即可求得；④根据题意得对称轴为，设点，则AC2＝20、和，分AC2+AF2＝CF2、AC2+CF2＝AF2和AF2+CF2＝AC2，求解即可．
【解答】解：①由抛物线与x轴交于点A，B，则，
解得x1＝﹣4，x2＝1，则点A，B的坐标分别是（﹣4，0）和（1，0），故①正确；
②由点P（0，m），A（﹣4，0）和B（1，0），则PA2＝m2+16，PB2＝1+m2，AB2＝25，
当∠APB＝90°时，AP2+BP2＝AB2，则m2+16+1+m2＝25，
解得m＝±2，
∵∠APB＜90°，
∴m＞2或m＜﹣2，故②错误；
③由抛物线与y轴交于点C，则C（0，﹣2），
∴，
使得△ABE的面积与△ABC面积相等，则点E的纵坐标为±2，
当，
解得x1＝0，x2＝﹣3，
当，
解得，，
则除C外，还有3个点E使得△ABE的面积与△ABC面积相等；故③正确；
④由于抛物线的对称轴为，
设点，则AC2＝20，，，
当AC2+AF2＝CF2，则，
解得a＝5；
当AC2+CF2＝AF2，则，
解得a＝﹣5；
当AF2+CF2＝AC2，则，
解得；
故④正确；
故选：C．
4．【分析】根据平行线分线段成比例结合点A'的横坐标为1，求得AO＝3，解方程x2+mx＝0得A（﹣m，0），进而求出点A坐标，可求得抛物线解析式为y＝x2+3x，再计算自变量为1的函数值得到A'（1，4），接着利用C﹣y+1﹣m＝0点的纵坐标为4，求出C﹣y+1﹣m＝0点的横坐标，然后计算AC的长．
【解答】解：过点A'作A'D∥BO，则，
∵点A'的横坐标为1，即：OD＝1，
∴AO＝3，
当y＝0时，x2+mx＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣m，则m＞0，
则A（﹣m，0），
∵AO＝3，
∴m＝3，
∴抛物线解析式为y＝x2+3x，
当x＝1时，y＝x2+3x＝4，则A'（1，4），
当y＝4时，x2+3x＝4，
解得x1＝﹣4，x2＝1，
则C（﹣4，4），
∴AC的长为：．
故选：B．
5．【分析】求的最小值，即为求最小值，也就是求的最大值，作PF∥x轴，交BC的延长线于点F，利用待定系数法求得直线BC的解析式，设，则，证明△PFD∽△ABD，利用相似三角形的性质求得，再利用二次函数的性质即可求解．
【解答】解：△ACD和△PCD的底分别为AD和PD，高为h，
则，
∴求的最小值，即为求最小值，也就是求的最大值，
作PF∥x轴，交BC的延长线于点F，
设，则点F的纵坐标为，
对于，
令y＝0，则，解得x1＝﹣1，x2＝4，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），A（﹣1，0），B（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
代入B（4，0）得0＝4k+3，解得，
∴直线BC的解析式为，
令，则x＝m2﹣3m，
∴，
∴PF＝﹣m2+4m，AB＝4﹣（﹣1）＝5，
∵PF∥x轴，
∴△PFD∽△ABD，
∴，
∵，
∴有最大值为，
∴有最小值为．
故选：C．
6．【分析】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE＝OE＝8，DE＝6．设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF＝x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出，，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．
【解答】解：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM，
∵OD＝AD＝10，DE⊥OA，
∴OE＝EAOA＝8，
由勾股定理得：DE6．
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF＝x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴，，
∵AM＝PM（OA﹣OP）（16﹣2x）＝8﹣x，
即，，
解得：BFx，CM＝6x，
∴BF+CM＝6．
故选：C．
7．【分析】由题意可得，函数图象开口向下，先求得抛物线经过点B时a的取值，然后求得经过点A时a的取值，然后由x1＜m≤x2恒成立得知线段AB的位置，进而得到a的取值范围．
【解答】解：由题意可作如图，
当抛物线经过点B时，﹣（1+1）2+b＝2，
∴b＝6，
当抛物线经过点A时，﹣（﹣2+1）2+b＝﹣2，
∴b＝﹣1，
∵x1＜m≤x2恒成立，
∴b≥6，且b＞﹣1，
∴b≥6，
故选：B．
8．【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与点P（x，y）能落在二次函数y＝﹣x2+4x图象上的情况，再利用概率公式求得答案．
【解答】解：列表得：
第一次 第二次 1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）
5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
∵共有36种等可能的结果，点点P（x，y）能落在二次函数y＝﹣x2+4x图象上的有3种，
∴小明进行一次操作所获取的点P（x，y）能落在二次函数y＝﹣x2+4x图象上的概率为．
故选：B．
9．【分析】由二次函数的解析式求得对称轴为直线x，然后判断y1与y2的大小，即可判断每个选项正误．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0），
∴y＝0时，x1＝1﹣m，x2＝m，
∴二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）的对称轴为直线x，
当a＞0时，当x1+x2＜1时，
∴，
∴y1＞y2，
∴y1﹣y2＞0，
∴a（y1﹣y2）＞0；
当a＜0时，当x1+x2＞﹣1时，
∴，
∴当时，y1＜y2，
则a（y1﹣y2）＞0；
当时，y1＞y2，
则a（y1﹣y2）＜0；
故选：B．
10．【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线x＝h，由函数图象与系数的关系讨论（x1，y1）和（x2，y2）两点中x1+x2与2h的关系．
【解答】解：∵y＝a（x﹣h）2+k，
∴抛物线对称轴为直线x＝h，
∵a＜0，p＜0，
∴抛物线开口向下，一次函数中y随x增大而减小，
设x1＜x2，则y1＞y2，
∴h，
∴x1+x2＞2h．
故选：C．
11．【分析】由该二次函数解析式可知，该函数图象的开口方向向下，对称轴为，该函数的最大值为，由题意可解得a≤﹣4，根据函数图象可知a的值越小，其对称轴越靠左，满足y≥﹣2的x的值越小，故令a＝﹣4即可求得m的最大值．
【解答】解：∵函数，且a＜0，
∴该函数图象的开口方向向下，对称轴为，该函数有最大值，其最大值为，
若要满足0≤x≤m的任意一个x的值，都有﹣2≤y≤2，
则有，解得a≤﹣4，
对于该函数图象的对称轴，a的值越小，其对称轴越靠左，
a的值越小，满足y≥﹣2的x的值越小，
∴当取a的最大值，即a＝﹣4时，令y＝﹣4x2+4x+1＝﹣2，
解得，，
∴满足y≥﹣2的x的最大值为，
即m的最大值为．
故选：D．
12．【分析】根据二次函数的性质得出抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝m+1，然后根据两点到对称轴的距离判断即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0），当y≥t时，x≤m﹣1或x≥m+3，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线xm+1，
∵该函数图象过点A（m，5）和B（m+4，q），且m+1﹣m＜m+4﹣（m+1），
∴q＞5，
故选：D．
二．填空题
13．【分析】先根据A、O两点的坐标，求得新函数m的图象的对称轴，再求得Q的纵坐标，根据平移的性质得出阴影的面积＝矩形MQNO的面积即可求解．
【解答】解：∵新函数m的图象经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），
∴对称轴为直线x3，
把x＝﹣3代入yx2得，y，
∴阴影部分的面积为：3，
故答案为：．
14．【分析】根据题意，分别表示出x2和x3，再根据二次函数经过（1，0）和（x1，0）及x1的取值范围即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为二次函数经过（1，0），（x1，0），
所以a+b+c＝0，
又因为﹣5＜x1＜﹣4，
则当a＞0时，b＞0，
且，
将b＝﹣a﹣c代入不等式组，
解得，
所以．
因为一次函数y＝|a|x+c经过（x2，0），
所以ax2+c＝0，
则，
所以4＜x2＜5．
又因为m＜x2＜m+1，m为整数，
所以m＝4．
将a＝﹣b﹣c代入不等式组，
解得，
所以．
因为一次函数y＝|b|x+c经过（x3，0），
所以bx3+c＝0，
则，
所以．
又因为n＜x3＜n+1，且n为整数，
所以n＝1．
所以m+n＝4+1＝5．
当a＜0时，b＜0，
且，
将b＝﹣a﹣c代入不等式组，
解得．
因为一次函数y＝|a|x+c经过（x2，0），
所以﹣ax2+c＝0，
则，
所以﹣5＜x2＜﹣4．
又因为m＜x2＜m+1，m为整数，
所以m＝﹣5．
将a＝﹣b﹣c代入不等式组，
解得．
因为一次函数y＝|b|x+c经过（x3，0），
所以﹣bx3+c＝0，
则，
所以．
又因为n＜x3＜n+1，且n为整数，
所以n＝﹣2．
所以m+n＝﹣5+（﹣2）＝﹣7．
综上所述：m+n的值为5或﹣7．
故答案为：5或﹣7．
15．【分析】解一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝0，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【解答】解：①当m＝0时，一元二次方程为（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x1＝2，x2＝3，故①正确；
②当m＞0时，
∵一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实根x1，x2，且x1＜x2，
∴原方程转化为x2﹣5x+6﹣m＝0，
根据根与系数的关系得，，，
若2＜x1＜x2＜3，则|x2﹣x1|＜1，
∵，且m＞0，
∴|x2﹣x1|＜1错误，即2＜x1＜x2＜3错误，故②错误；
∴当m＞0时，x＜2或x＞3，故②错误；
③（x﹣2）（x﹣3）＝m转化为x2﹣5x+6﹣m＝0，有实根x1，x2，且x1＜x2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4（6﹣m）＞0，即1+4m＞0，
∴，故③正确；
④∵一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实根x1，x2，且x1＜x2，
∴原方程转化为x2﹣5x+6﹣m＝0，
根据根与系数的关系得，，，
∴，即y＝x2﹣5x+6﹣2m，
∴由二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）﹣m的图象与x轴的交点坐标不是（2，0）和（3，0），故④错误．
综上所述，正确的有①③，
故答案为：①③．
16．【分析】当x＝0时，y＝3，故二次函数y＝（ax+m）（x）必经过定点（0，3），则二次函数y＝（ax+m）（x）经过（0，3）、（4，3）两点或经过（﹣4，3）（0，3）两点，进而求解、
【解答】解：∵二次函数y＝（ax+m）（x），
∴当x＝0时，y＝3，
∴二次函数y＝（ax+m）（x）必经过定点（0，3），
∴二次函数y＝（ax+m）（x）经过（0，3）、（4，3）两点或经过（﹣4，3）（0，3）两点，
∴对称轴为：x（0+4）＝2或x（﹣4+0）＝﹣2，
∵方程y＝（ax+m）（x）＝0的一个根为x＝1，
∴另一个根为3或﹣5，
∴故答案为3或﹣5．
三．解答题
17．【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据等式的性质，构造以c﹣b为函数的二次函数，求函数最值即可；
（3）根据题意得出q＝﹣（x﹣m）（x﹣m+2），将点（x0，0）代入，根据一元二次方程的解即可求解．
【解答】解：（1）依题意，，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵函数y的表达式可以写成y＝﹣（x+h）2+3＝﹣x2+2hx﹣h2+3，
∴b＝2h，c＝﹣h2+3，
∴c﹣b＝﹣h2+3﹣2h＝﹣（h+1）2+4，
∴c﹣b的最大值为4；
（3）∵p＝x﹣m，y＝﹣（x﹣m）（x﹣m+1），
∴q＝y﹣p＝﹣（x﹣m）（x﹣m+1）﹣（x﹣m）＝﹣（x﹣m）（x﹣m+2），
∵函数q＝y﹣p的图象经过点（x0，0），
∴﹣（x0﹣m）（x0﹣m+2）＝0，
∴x0﹣m＝0或x0﹣m＝﹣2．
18．【分析】（1）把（1，2），（2，3）分别代入y＝x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）把（1，m），（2，3m）分别代入y＝x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，解方程组得到抛物线解析式为y＝x2+（2m﹣3）x+2﹣m，然后计算x时，y，从而可判断抛物线经过点（，）；
（3）如图，由于x＝1时，y＞0；x＝2时，y＜0，抛物线经过点（3，0），则可判断抛物线的对称轴在直线x＝2的右侧，在直线x＝3的左侧，然后利用点（﹣1，y1）到对称轴的距离大于点（4，y2）到对称轴的距离，从而得到y1＞y2．
【解答】（1）解：把（1，2），（2，3）分别代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x+3；
（2）证明：把（1，2），（2，3）分别代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2+（2m﹣3）x+2﹣m，
∵当x时，y（2m﹣3）+2﹣m，
∴抛物线经过点（，）；
（3）y1＞y2．
理由如下：
如图，
∵m＞0，n＜0，
∴x＝1时，y＞0；x＝2时，y＜0，
∵抛物线经过点（3，0），
∴抛物线的对称轴在直线x＝2的右侧，在直线x＝3的左侧，
∴点（﹣1，y1）到对称轴的距离大于点（4，y2）到对称轴的距离，
而抛物线开口向上，
∴y1＞y2．
19．【分析】（1）当b＝1时，分别把x＝﹣2，x＝1代入解析式，计算出y1，y2，比较即可；
（2）先求出y1＝4+2b+c，y2＝1﹣b+c，再根据y1＜y2，解不等式即可；
（3）先求出二次函数y＝x2﹣bx+c的对称轴为直线x，m得由1＜b＜2，计算可得答案．
【解答】解：（1）当b＝1时，
∴，
∵6+c＞c，
∴y1＞y2；
（2）∵y1＝4+2b+c，y2＝1﹣b+c，
又∵y1＜y2，
∴4+2b+c＜1﹣b+c，
∴b＜﹣1；
（3）二次函数y＝x2﹣bx+c的对称轴为直线，
∵二次函数经过（﹣2，y1），（m，y1）两点，
∴m得，即m＝2+b，
∵1＜b＜2，
∴3＜m＜4．
20．【分析】（1）结合解答过程即可得出答案；
（2）观察表格可知，y随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值由正到负，故可判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解﹣1＜x1＜0，0＜x2＜1．
（3）根据抛物线的开口向下，与y轴的交点为（0，2），即可判断抛物线与x轴有两个交点，从而判断方程有两个不相等的实数根，且x1＜0，x2＞0．
【解答】解：（1）在例5求解过程中，主要运用的数学思想是A，D．
故答案为：A，D；
（2）填表如下：
x的值 ﹣2 ﹣1 0 1
3x2﹣x﹣1的值 13 3 ﹣1 1
∴﹣1＜x1＜0，0＜x2＜1．
（3）∵y＝ax2+bx+2，
∴当x＝0时，y＝2，
又∵a＜0，
∴方程有两个不相等的实数根，且x1＜0，x2＞0．
21．【分析】（1）（0，3）是与y轴的交点，可得c＝3，再将（6，3）代入求值，可求得b的值；
（2）根据二次函数的解析式y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6；当0≤x≤4时，仅当x＝0时，y取得最大值；仅当x＝3时，y取得最小值；再计算y的最大值与最小值之差；
（3）分类讨论：①k﹣4≤x≤k≤3，k≤3；②当k﹣4≤3且k≥3时，即3≤k≤7；③当3≤k﹣4≤x≤k时，即k≥7；根据函数特点，计算求出符合题意k的值．
【解答】解：（1）∵函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3），
∴c＝3，y＝x2+bx+3，
将点（6，3）代入可得：3＝62+6b+3，解得：b＝﹣6，
∴b＝﹣6，c＝3；
（2）y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，
当0≤x≤4时，
①仅当x＝3时，y取得最小值，此时y＝（3﹣3）2﹣6＝﹣6；
②仅当x＝0时，y取得最大值，此时y＝（0﹣3）2﹣6＝3；
3﹣（﹣6）＝9，
∴当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差为9；
（3）当k﹣4≤x≤k时，y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，
①当k﹣4≤x≤k≤3时，即k≤3，
仅当x＝k，y取得最小值，此时y＝k2﹣6k+3；仅当x＝k﹣4，y取得最大值，此时y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3；
（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（k2﹣6k+3）＝8，解得：k＝4，
∵k≤3，
∴k＝4不符合题意；
②当k﹣4≤3且k≥3时，即3≤k≤7，此时最小值为y＝﹣6，
当x＝k﹣4取得最大值，即3﹣（k﹣4）≥k﹣3时，k≤5，此时y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3，
（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（﹣6）＝8，
解得：k＝7±2，
∵3≤k≤5，7+27，
∴k＝7+2不符合题意；
∴k＝7﹣2；
当x＝k取得最大值，即3﹣（k﹣4）≤k﹣3时，k≥5，此时y＝k2﹣6k+3，
k2﹣6k+3﹣（﹣6）＝8，解得：k＝3±2，
∵5≤k≤7，5＜3+27，3﹣25，
∴k＝3+2符合题意，k＝3﹣2不符合题意，
∴k＝3+2；
③当3≤k﹣4≤x≤k时，即k≥7，
仅当x＝k﹣4，y取得最小值，此时y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3；仅当x＝k，y取得最大值，此时y＝k2﹣6k+3；
k2﹣6k+3﹣[（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3]＝8，解得：k＝6，
∵k≥7，
∴k＝6不符合题意；
综上所述，k的值为7﹣2或3+2．
22．【分析】（1）计算出△，可以证明△大于等于0，即可说明图象与x轴总有交点；
（2）先求出抛物线对称轴，在根据P，Q关于对称轴对称求出n＝2，再把点P坐标代入抛物线求出b＝2，再求出（b）2+n2的值；
（3）求出平移后的新函数解析式，再由二次函数与方程的关系证明即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣2（a+1）]2﹣4a×4＝4a2+8a+4﹣16a＝4a2﹣8a+4＝4（a﹣1）2≥0，
∴二次函数的图象与x轴总有交点；
（2）解：∵y＝ax2﹣2（a+1）x+4（a≠0），
∴抛物线对称轴为直线x1，
∵点P（，b）和点Q（n，b）关于对称轴对称，
∴1，
∴n＝2，
把P（，b）代入函数解析式得：a2（a+1）4＝b，
解得b＝2，
∴（b）2+n2＝（2）2+22＝8；
（3）证明：∵将二次函数y＝ax2﹣2（a+1）x+4（a≠0）的图象向下平移2个单位，
平移后的解析式为y＝ax2﹣2（a+1）x+2，
∵平移后函数图象与x轴的交点横坐标为x1，x2，
∴ax2﹣2（a+1）x+2＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2，x1 x2，
∴|x1﹣x2|2．
23．【分析】（1）将将m＝0代入y＝（x﹣m）2﹣1中，得y＝x2﹣1，求出A、B、D三点的坐标，易得△ABD是等腰直角三角形；
（2）先求出A、B、C三点的坐标分别为A（m﹣1，0），B（m+1，0），C（0，m2﹣1）．根据题意得m﹣1＜0，m2﹣1＞0，由此得OA＝1﹣m，OC＝m2﹣1．当△AOC是等腰三角形
时，OA＝OC，则可得1﹣m＝m2﹣1，求出m的值即可．
（3）分两种情况讨论：①当A、B都在x轴正半轴上时，BA平分∠CBD，过D点作DE⊥x轴于E点，由B（m+1，0），D（m，﹣1）可得DE＝BE＝1，由此得∠OBD＝45°，因此∠CBO＝45°，进而可得OC＝OB，则m2﹣1＝m+1，求出m的值即可．②若A点在x轴负半轴上，B点在x轴正半轴上，若BD平分∠ABC，则∠ABC＝90°，此种情况不存在．③BC为角平分线时，根据∠OBD＝45°得到OB＝OF，再利用角平分线的性质定理建立方程求解即可．
【解答】she解：（1）
将m＝0代入y＝（x﹣m）2﹣1中，得y＝x2﹣1，
由y＝x2﹣1＝0得，
x1＝﹣1，x2＝1，
∴A（﹣1，0），B（1，0），
当x＝0时，y＝﹣1，
∴D（0，﹣1），
∴OA＝OD＝OB＝1，
∴∠OAD＝∠ODA＝45°，∠OBD＝∠ODB＝45°，
∴∠ADB＝90°，DA＝DB，
∴△ABD是等腰直角三角形．
（2）
由y＝（x﹣m）2﹣1＝0得（x﹣m）2＝1，
解得x1＝m﹣1，x2＝m+1，
∵点B在点A的右边，
∴A（m﹣1，0），B（m+1，0），
∵点A在x轴的负半轴上，
∴m﹣1＜0，
∴OA＝|m﹣1|＝1﹣m，
当x＝0时，y＝m2﹣1，
∴C（0，m2﹣1），
∵点C在y轴正半轴上，
∴m2﹣1＞0，
∴OC＝m2﹣1，
当△AOC是等腰三角形时，OA＝OC，
∴1﹣m＝m2﹣1，
整理得m2+m﹣2＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝1，
由m﹣1＜0得m＜1，
∴m＝﹣2，
故存在一个m值使△AOC是等腰三角形，此时m＝﹣2．
（3）①当A、B都在x轴正半轴上时，BO平分∠CBD，
由（2）知A（m﹣1，0），B（m+1，0），C（0，m2﹣1），D（m，﹣1），
过D点作DE⊥x轴于E点，
则DE＝1，BE＝m+1﹣m＝1，
∴DE＝BE，
∴∠OBD＝45°，
∴∠CBO＝45°，
∵∠COB＝90°，
∴∠OCB＝45°，
∴OC＝OB，
∴m2﹣1＝m+1，
整理得m2﹣m﹣2＝0，
解得m1＝2，m2＝﹣1，
因为A、B都在x轴正半轴，
∴m﹣1＞0，
∴m＞1，
∴m＝2．
②若A点在x轴负半轴上，B点在x轴正半轴上，
由①知∠OBD＝45°，
若BD平分∠ABC，
则∠ABC＝90°，
此种情况不存在，
③若BC为角平分线时，如图，延长BD交y轴于点F，
由①知∠OBD＝45°，
则OB＝OF＝m+1，
∵C（0，m2﹣1），
∴OC＝1﹣m2，
∴CF＝OF﹣OC＝m+1﹣（1﹣m2）＝m+m2，
∵BC是角平分线，
∴（角平分线性质定理），
∴CFOC，
m+m2（1﹣m2），
解得m＝2或m＝﹣1（舍），
∴m＝2，
综上，m＝2或2．
24．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先把二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质，结合﹣3≤x≤0得到当x＝﹣1时，y取得最小值；
（3）根据题意分3种情况讨论，分别根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴，
解得；
（2）由（1）知，y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∵1＞0，﹣3≤x≤0，
∴当x＝﹣1时，y有最小值﹣4；
（3）①当m＜﹣1时，
∵二次函数开口向上，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝m﹣2时，y取得最大值，即p＝（m﹣2）2+2（m﹣2）﹣3＝m2﹣2m﹣3，
当x＝m时，y取得最小值，即q＝m2+2m﹣3，
∵p﹣q＝3，
∴m2﹣2m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝3，
解得m1，不符合题意，舍去；
②当m﹣2≤﹣1≤m时，
当﹣1﹣（m﹣2）＞m﹣（﹣1）时，即﹣1≤m＜0，
∴当x＝m﹣2时，y取得最大值，当x＝﹣1时，y取得最小值﹣4，
∵p﹣q＝3，
∴（m﹣2）2+2（m﹣2）﹣3﹣（﹣4）＝3，
整理得：m2﹣2m﹣2＝0，
解得m＝1（舍去）或m＝1；
当﹣1﹣（m﹣2）＜m﹣（﹣1）时，即m＞0，
∴当x＝m时，y取得最大值，当x＝﹣1时，y取得最小值﹣4，
∴m2+2m﹣3﹣（﹣4）＝3，
解得m＝﹣1（舍去）或m＝﹣1；
③当m﹣2＞﹣1，即m＞1时，
∵二次函数开口向上，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∴当x＝m﹣2时，y取得最小值，即q＝（m﹣2）2+2（m﹣2）﹣3＝m2﹣2m﹣3，
当x＝m时，y取得最大值，即p＝m2+2m﹣3，
∵p﹣q＝3，
∴m2+2m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝3，
解得m1，不符合题意，舍去．
综上所述，m的值为1或﹣1．
25．【分析】（1）先将P代入抛物线求出m，再由新定义“成对点”的概念求出P'即可；
（2）①先求出抛物线顶点，再由新定义“成对点”的概念得C的坐标，再将C代入抛物线即可求得c；②根据∠ADC＝∠ACB证明出△ADC∽△ACB，再由相似三角形的性质即可求得D的坐标．
【解答】解：（1）∵点P（﹣2，m）在函数y＝x2﹣2x﹣4的图象上，
∴当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣4＝4，
∴点P（﹣2，4），
∵点P（﹣2，4）与P'是抛物线y＝x2﹣2x﹣4的成对点，
∴点P'（2，﹣4）；
（2）①y＝﹣x2﹣2x+c的顶点为A（﹣1，1+c），
∴C（1，﹣1﹣c），
∴﹣1﹣c＝﹣1﹣2+c，
解得c＝1；
②∵y＝﹣x2﹣2x+1，
∴函数的对称轴为x＝﹣1，
∴B（﹣1，0），A（﹣1，2），
设直线OA的解析式为y＝kx，
∴k＝﹣2，
∴y＝﹣2x，
令y＝﹣2x＝﹣x2﹣2x+1，
解得x＝1或x＝﹣1（舍），
∴C（1，﹣2），
∴CA，
∵D点在对称轴上，
设D（﹣1，t），
∵∠ADC＝∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴，
∴t＝﹣8，
∴D（﹣1，﹣8）．
26．【分析】（1）作BH⊥AD，交x轴于点H，求出BH＝PO＝3，求出sin∠BAD即可解答；
（2）①作BH⊥AD，交x轴于点H，求出DE，AH，证明四边形BCDH是矩形，求出，利用相似三角形的判定即可证明；
②分两种情况讨论，当∠ABE＝90°时，以A，B，E为顶点的三角形与△BCE相似，则∠BAE＝30°或∠BFA＝30°；当∠AEB＝90°，AB与CD不平行，
则∠ABE≠∠BEC，△AEB∽△ECB，求出DE即可解答．
【解答】（1）解：如图，作BH⊥AD，交x轴于点H，
∵P为抛物线y＝﹣x2+3的顶点，
∴点P的坐标为P（0，3），
∵BC所在直线经过点P，
∴BH＝PO＝3，
在Rt△BAH中，，
∴，
∴∠BAD＝60°．
（2）①证明：如图，作BH⊥AD，交x轴于点H，
∵∠BAD＝60°，AE平分∠BAD，
∴，
∵∠ADC＝90°，，
在Rt△ADE中，DE＝AD tan∠EAD，
又∵CD＝3，
∴，
∵∠BAD＝60°，BH＝3，
∴，
∴DH＝AD﹣AH，
∵BH⊥AD，∠ADC＝90°，AD∥BC，
∴四边形BCDH是矩形，
∴，
∵∠C＝∠ADE＝90°，，
∴△BCE∽△EDA．
②解：∵AD∥BC，∠BAD＝60°，∠ADC＝90°，
∴∠ABC＝180°＝∠BAD＝120°，∠BCE＝180°﹣∠ADC＝90°，
若以A，B，E为顶点的三角形与△BCE相似，则△ABE也为直角三角形，
∵∠BAE≤60°，
∴∠BAE≠90°，
此时可以分以下两种情况讨论，
即∠ABE＝90°或∠AEB＝90°，
当∠ABE＝90°时，∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝120°﹣90°＝30°，
∵以A，B，E为顶点的三角形与△BCE相似，
∴∠BAE＝30°或∠BEA＝30°，
若∠BAE＝30°，如图，∠BEA＝60°，
在Rt△ABE中，AB＝2，
∴BE2．
在Rt△BCE中，，
∴DE＝CD﹣CE＝3﹣1＝2．
∵E在抛物线y＝﹣x2+3上，且x＞0，
∴点E的坐标为E（1，2）；
若∠BEA＝30°，如图，∠BAE＝60°，点E与点G重合，
∴点E的坐标为；
当∠AEB＝90°时，
∵AB与CD不平行，
∴∠ABE≠∠BEC，
∴△AEB∽△ECB，
此时，
如图，在Rt△ABE中，，
∴．
在Rt△BCE中，CE＝BE sin∠CBE，
∴，
∵E在抛物线y＝﹣x2+3上，且x＞0，
∴点E的坐标为E．
综上，E（1，2），或．
27．【分析】（1）求出点A，B坐标，然后根据d（P，O）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|求解．
（2）①设点C坐标为（m，m2﹣3m+4），根据d（O，C）＝|m﹣0|+|m2﹣3m+4﹣0|求解．②分类讨论0＜t，t≤1，t＞1三种情况求解．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝x2﹣3x+4，得y＝4，
∴点A坐标为（0，4），
把（﹣1，b）代入y＝x2﹣3x+4，得b＝1+3+4＝8，
∴点B坐标为（﹣1，8），
∴d（A，B）＝|﹣1﹣0|+|8﹣4|＝5．
（2）①∵y＝x2﹣3x+4＝（x）2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（，），
∴y，
∵点C在抛物线上，
∴C（m，m2﹣3m+4），
∴d（O，C）＝|m﹣0|+|m2﹣3m+4﹣0|，
∵m≥0，m2﹣3m+4，
∴d（O，C）＝m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3，
∴当m＝1时，d（O，C）最小值为3，
此时点C坐标为（1，2）．
②∵d（O，C）＝（m﹣1）2+3，
∴当0≤m＜1时，d（O，C）随m增大而减小，当m≥1时，d（O，C）随m增大而增大，
把m＝t代入d（O，C）＝（m﹣1）2+3得d（O，C）＝（t﹣1）2+3，
把m＝t+1代入入d（O，C）＝（m﹣1）2+3得d（O，C）＝t2+3，
当t+1﹣1＝1﹣t时，t，
当0＜t时，d（O，C）的最小值q＝3，最大值p＝（t﹣1）2+3，
p﹣q＝（t﹣1）2，
解得t＝1（不符合题意，舍去），t＝1，
当t≤1时，d（O，C）的最小值q＝3，最大值p＝t2+3，
p﹣q＝t2，
解得t，t（不符合题意，舍去）．
当t＞1时，d（O，C）的最小值q＝（t﹣1）2+3，最大值p＝t2+3，
p﹣q＝t2﹣（t﹣1）2，
解得t（不符合题意，舍去），
综上所述，t＝1或．
28．【分析】（1）先求出y＝ax﹣2的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；
（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；
②当﹣2≤x＜0时，函数y＝﹣2x2+8x﹣3的相关函数是y＝﹣2x2+8x﹣3，抛物线的对称轴为直线x＝2，然后可求得此时的最小值，当0≤x≤3时，当0≤x≤3时，函数y＝﹣2x2+8x﹣3的相关函数是y＝2x2﹣8x+3，抛物线y＝2x2﹣8x+3的对称轴为x＝2，可求得此时的最大值和最小值，从而可得到当﹣2≤x≤3时的最大值和最小值．
【解答】解：（1）根据题意，
一次函数y＝ax﹣2的相关函数为y，
∴把点A（﹣1，3）代入y＝ax﹣2，则a×（﹣1）﹣2＝3，
∴a＝﹣5；
（2）根据题意，二次函数y＝﹣2x2+8x﹣3的相关函数为y，
①当m＜0时，将B（m，﹣4）代入y＝﹣2x2+8x﹣3得﹣2m2+8m﹣3＝﹣4，
解得：m（舍去）或m，
当m≥0时，将B（m，﹣4）代入y＝2x2﹣8x+3得2m2﹣8m+3＝﹣4，
解得：m或m，
综上所述：m或m或m；
②当﹣2≤x＜0时，函数y＝﹣2x2+8x﹣3的相关函数是y＝﹣2x2+8x﹣3，抛物线的对称轴为直线x＝2，此时y随x的增大而增大，
∴当x＝﹣2时，有最小值，最小值为y＝﹣2×（﹣2）2+8×（﹣2）﹣3＝﹣27，
∴此时y的最小值为﹣27，
当0≤x≤3时，函数y＝﹣2x2+8x﹣3的相关函数是y＝2x2﹣8x+3，抛物线y＝2x2﹣8x+3的对称轴为x＝2，
当x＝2时有最小值，最小值为﹣5，
当x＝0时，有最大值，最大值为y＝3，
综上所述，当﹣2≤x≤3时，函数y＝﹣2x2+8x﹣3的相关函数的最大值为3，最小值为﹣27．
29．【分析】（1）先利用二次函数解析式求出点A的坐标，进而求出E、B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出抛物线对称轴为直线x＝2，如图所示，连接AM，设抛物线对称轴与x轴交于T，再由A、B关于直线x＝2对称，得到AM＝BM，进一步推出当A、M、E三点共线时，BM+EM最小，即此时△MBE的周长最小，先求出∠AEO＝45°，进而证明∠TME＝45°＝∠TEM，得到MT＝OE﹣OT＝1，则M（2，1）；②利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明△BME时直角三角形，即∠BME＝90°，则△MBE外接圆圆心F即为BE的中点，据此求解即可；
（3）先由（2）得，再证明△BME∽△PCB，求出CP＝6，由此即可得到答案．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3，
∴A（0，3），
∴OA＝3，
由旋转的性质可得OE＝OA＝3，
∴E（3，0）；
∵四边形AOCB是矩形，AB＝4，
∴OC＝AB＝4，BC＝OA＝3，BC⊥OC，
∴B（4，3），
把E（3，0），B（4，3）代入到抛物线解析式中得：{9a+3b+3＝016a+4b+3＝3，
解得{a＝1b＝﹣4．
故答案为：1，﹣4；
（2）①由（1）得抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
如图所示，连接AE交对称轴于点M，设抛物线对称轴与x轴交于T，
∵A（0，3），B（4，3），
∴A、B关于直线x＝2对称，
∴AM＝BM，
∴△MBE的周长＝BM+ME+BE＝AM+ME+BE，
∵B、E都是定点，即BE是定值，
∴当A、M、E三点共线时，BM+EM最小，即此时△MBE的周长最小，
∵OA＝OE＝3，∠AOE＝90°，
∴∠AEO＝45°，
∴∠TME＝45°＝∠TEM，
∴MT＝OE﹣OT＝1，
∴M（2，1）；
②∵M（2，1），E（3，0），B（4，3），
∴ME2＝（3﹣2）2+（0﹣1）2＝2，MB2＝（4﹣2）2+（3﹣1）2＝8，BE2＝（4﹣3）2+（3﹣0）2＝10，
∴ME2+MB2＝BE2，
∴△BME时直角三角形，即∠BME＝90°，
∴△MBE外接圆圆心F即为BE的中点，
∴△MBE外接圆圆心F的坐标为．
（3）由（2）得，
∵点P在x轴上，
∴∠BCP＝90°＝∠BME，
又∵∠BPE＝∠MBE，
∴△BME∽△PCB，
∴，即，
∴CP＝6．
∵C（4，0），
∴P1（﹣2，0）或P2（10，0）．
30．【分析】（1）把A（4，0），B（﹣1，0）代入抛物线yx2+bx+c中列方程组，解出可得b和c的值，可得抛物线的解析式，配方成顶点式可得对称轴；
（2）先利用待定系数法求直线AC的解析式，再设点P的坐标，并表示点Q的坐标，根据铅直高度表示PQ的长，并配方可得PQ的最大值；
（3）分两种情况：①当D在线段OA上时，如图1，根据△AEQ∽△ADC，由EQ＝EA，得CD＝AD，利用勾股定理解决问题；②当D在点B的左侧时，如图2根据三角形相似，由EQ＝EA可得OA＝OD，可得D的坐标．
【解答】解：（1）把A（4，0），B（﹣1，0）代入抛物线yx2+bx+c中得：
，
解得：，
∴yx2x+3（x）2；
∴抛物线的函数解析式为：yx2x+3，其对称轴为直线：x；
故答案为：yx2x+3；x；
（2）∵A（4，0），C（0，3），
∴直线AC的解析式为：yx+3；
设P（x，x2x+3），则Q（x，x+3），
∴PQ＝（x2x+3）﹣（x+3）3x（x﹣2）2+3，
∵P是抛物线在第一象限内图象上的一动点，
∴0＜x＜4，
∴当x＝2时，PQ的最大值为3；
（3）分两种情况：
①当D在线段OA上时，如图1，△AEQ∽△ADC，
∵EQ＝EA，
∴CD＝AD，
设CD＝a，则AD＝a，OD＝4﹣a，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：32+（4﹣a）2＝a2，
a，
∴AD＝CD，
∴OD＝4，
∴D（，0），
②当D在点B的左侧时，如图2，△AEQ∽△ACD，
∵EQ＝EA，
∴CD＝AC，
∵OC⊥AD，
∴OD＝OA＝4，
∴D（﹣4，0），
综上所述，当△ACD与△AEQ相似时，点D的坐标为（，0）或（﹣4，0）．
浙江省2024年九年级（上）期末压轴题精选分类训练
二次函数
一．选择题
1．已知两个二次函数y1和y2，当x＝a（a＞0）时，y1取到最大值5，且y2＝25；又y2的最小值为﹣2，若，则二次函数．y1和y2两图象的对称轴相距（ ）个单位．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿A→C向点C运动，同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C向点C运动，直到它们都到达点C为止．若△APQ的面积为S（cm2），点P的运动时间为t（s），则S与t的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，下列结论：
①点A，B的坐标分别是（﹣4，0）和（1，0）
②点P为（0，m），当∠APB＜90°时，m＜﹣2．
③抛物线上存在点E（除C外），使得△ABE的面积与△ABC面积相等的点E有3个．
④点F是抛物线对称轴上一点，当△ACF是直角三角形时，点F的纵坐标分别是．正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+mx交x轴的负半轴于点A，点B是y轴正半轴上一点，连结AB并延长交抛物线于点A'，过点A'作x轴的平行线交抛物线于另一点C．连结AC．若点A'的横坐标为1，且，则AC的长为（ ）
A． B． C．4 D．
5．如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点P是BC上方抛物线上一点，连结AP交BC于点D，连结AC，CP，记△ACD的面积为S1，△PCD的面积为S2，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
6．如图，已知点A（16，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P，O两点的二次函数y1和过P，A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B，C，射线OB与AC相交于点D，当OD＝AD＝10时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
7．已知A，B两点的坐标分别为（﹣2，﹣2），（1，2），线段AB上有一动点M（m，n），过点M作x轴的平行线交抛物线y＝﹣（x+1）2+b于点P（x1，y2），Q（x2，y2）两点（点P在Q的左侧）．若x1＜m≤x2恒成立，则b的取值范围为（ ）
A．b≤1 B．b≥6 C．﹣1＜b≤6 D．﹣2＜b≤5
8．小明为随机获取点P的坐标，采用掷两次骰子作为一次操作的方法获取：第一次掷出的骰子朝上的数字记为x，第二次掷出的骰子朝上的数字记为y（x与y分别取1，2，3，4，5，6中的一个数字），用x与y来确定点P（x，y）．那么小明进行一次操作所获取的点P（x，y）能落在二次函数y＝﹣x2+4x图象上的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（ ）
A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0
B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0
C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0
D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0
10．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象与一次函数y＝px+q（p≠0）的图象交于（x1，y1）和（x2，y2）两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若a＞0，p＜0，则x1+x2＞2h
B．若x1+x2＞2h，则a＞0，p＜0
C．若a＜0，p＜0，则x1+x2＞2h
D．若x1+x2＞2h，则a＜0，p＜0
11．二次函数y＝ax2+4x+1（a为实数，且a＜0），对于满足0≤x≤m的任意一个x的值，都有﹣2≤y≤2，则m的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
12．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0），当y≥t时，x≤m﹣1或x≥m+3．若该函数图象过点A（m，5）和B（m+4，q），则q的值可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题
13．如图，把函数yx2的图象经过平移后得到新的函数m的图象，新函数m的图象经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与函数yx2的图象交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ．
14．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且ab≠0）经过（1，0），（x1，0），一次函数y＝|a|x+c经过（x2，0），一次函数y＝|b|x+c经过（x3，0）．已知﹣5＜x1＜﹣4，m＜x2＜m+1，n＜x3＜n+1，其中m，n为整数，则m+n的值为 ．
15．已知关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实根x1，x2，且x1＜x2，现有下列说法：①当m＝0时，x1＝2，x2＝3；②当m＞0时，2＜x1＜x2＜3；③m；④二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）﹣m的图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（3，0）．其中正确的有 ．
16．已知自变量为x的二次函数y＝（ax+m）（x）经过（t，3）、（t﹣4，3）两点，若方程（ax+m）（x）＝0的一个根为x＝1，则其另一个根为 ．
三．解答题
17．设二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），求该二次函数的表达式．
（2）若函数y的表达式可以写成y＝﹣（x+h）2+3（h是常数）的形式，求c﹣b的最大值．
（3）设一次函数p＝x﹣m（m是常数），若二次函数的表达式还可以写成y＝﹣（x﹣m）（x﹣m+1）的形式，当函数q＝y﹣p的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．
18．在平面直角坐标系中，点（1，m），（2，n）在函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象上．
（1）若m＝2，n＝3，求该函数的表达式．
（2）若n＝3m，求证：该函数的图象经过点．
（3）已知点（3，0），（﹣1，y1），（4，y2）在该函数图象上，若m＞0，n＜0，试比较y1，y2的大小，并说明理由．
19．二次函数y＝x2﹣bx+c的图象经过（﹣2，y1），（1，y2）两点．
（1）当b＝1时，判断y1与y2的大小．
（2）当y1＜y2时，求b的取值范围．
（3）若此函数图象还经过点（m，y1），且1＜b＜2，求证：3＜m＜4．
20．下面是数学教材中的有关内容，请认真阅读，完成相应任务．
设计题SHEJITI 由例5可知，求方程x2+x﹣1＝0的解，就是求二次函数y＝x2+x﹣1的图象与x轴交点的横坐标．如图1﹣20．若取x的值为x1，x2，x1＜x2，使得函数值y1，y2满足y1 y2＜0，那么抛物线y＝x2+x﹣1与x轴的交点中至少有一个在（x1，0）与（x2，0）之间，也就是说，方程x2+x﹣1＝0至少有一个解在x1与x2之间，由此我们可以估计方程x2+x﹣1＝0的解．
【任务】
（1）在例5求解过程中，主要运用的数学思想是 .（从以下选项中选2个即可）
例5利用二次函数的图象方程x2+x﹣1＝0的解（或近似解）． 解设y＝x2+x﹣1，则方程x2+x﹣1＝0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标．在直角坐标系中画出函数y＝x2+x﹣1的图象，得到与x轴的交点为A，B，则点A，B的横坐标x1，x2就是方程的解．观察图1﹣20，得到点A的横坐标x1≈0.6，点B的横坐标x2≈﹣1.6．所以方程x2+x﹣1＝0的近似解为x1≈0.6，x2≈﹣1.6．
A．数形结合
B．分类讨论
C．统计思想
D．转化思想
（2）先完成下表，并判断：
方程3x2﹣x﹣1＝0的解x1，x2（x1＜x2）分别在哪两个相邻的整数之间．
x的值 ﹣2 ﹣1 0 1
3x2﹣x﹣1的值
（3）若抛物线y＝ax2+bx+2的开口向下，试判断方程ax2+bx＝﹣2根的情况．
21．已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）．
（1）求b，c的值；
（2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值．
22．已知二次函数y＝ax2﹣2（a+1）x+4（a≠0）．
（1）证明：二次函数的图象与x轴总有交点．
（2）若点P（，b）和点Q（n，b）在该二次函数图象上，求（b）2+n2的值．
（3）将该二次函数图象向下平移2个单位，令新函数图象与x轴的交点横坐标为x1，x2．证明：|x1﹣x2|＞2．
23．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣1与x轴的交点为A，B（点B在点A的右边），与y轴的交点为C，顶点为D．
（1）当m＝0时，判断△ABD的形状，并说明理由．
（2）当点A在x轴的负半轴上，点C在y轴正半轴上时，是否存在某个m值，使得△AOC是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
（3）当点B在x轴的正半轴上时，连结BC，若射线BO，BC，BD中的两条射线组成的角恰好被第三条射线平分，求出此时m的值．
24．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0），对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣3≤x≤0时，求y的最小值．
（3）当m﹣2≤x≤m时，y的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝3，求m的值．
25．在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上存在一对点P和P′，且它们关于坐标原点O对称，那么我们把点P和P'叫做这条抛物线的成对点．
（1）已知点P（﹣2，m）与P′是抛物线y＝x2﹣2x﹣4的成对点，求P'的坐标．
（2）如图，已知点A与C为抛物线y＝﹣x2﹣2x+c的成对点，且A为该抛物线的顶点．
①求c的值．
②若这条抛物线的对称轴与x轴交于点B，连结AC，BC，点D是射线AB上一点．如果∠ADC＝∠ACB，求点D的坐标．
26．如图1，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD∥BC，边长AB＝2，点A在x轴负半轴上，点D在x轴正半轴上．抛物线y＝﹣x2+3与x轴相交于F，G两点，P为抛物线的顶点．BC所在的直线恰好经过点P，边CD与抛物线相交于点E．
（1）求∠BAD的度数．
（2）如图2，连结BE，AE．
①已知：AE平分∠BAD，AD．求证：△BCE∽△EDA．
②是否存在以A，B，E为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
27．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，定义P（x1，y1），Q（x2，y2）两点之间的“直角距离”为d（P，O）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，二次函数y＝x2﹣3x+4的图象如图所示．
（1）点A为图象与y轴的交点，点B（﹣1，b）在该二次函数的图象上，求d（A，B）的值．
（2）点C是二次函数y＝x2﹣3x+4（x≥0）图象上的一点，记点C的横坐标为m．
①求d（O，C）的最小值及对应的点C的坐标．
②当t≤m≤t+1时，d（O，C）的最大值为p，最小值为q，若p﹣q，求t的值．
28．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值互为相反数：当x＜0时，它们对应的函数值相等，我们称这两个函数互为相关函数，例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为y＝
．
（1）已知点A（﹣1，3）在一次函数y＝ax﹣2的相关函数的图象上，求a的值；
（2）已知二次函数y＝﹣2x2+8x﹣3．
①当点B（m，﹣4）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；
②当﹣2≤x≤3时，求函数y＝﹣2x2+8x﹣3的相关函数的最大值和最小值．
29．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB是矩形，AB＝4，将线段OA绕点O按顺时针方向旋转90°，使点A落在OC边上的点E处，抛物线y＝ax2+bx+3过A，E，B三点．
（1）填空：a＝ ；b＝ ．
（2）若点M是抛物线对称轴上的一动点，当△MBE的周长最小时：
①求点M的坐标；
②求△MBE外接圆圆心F的坐标．
（3）在（2）的条件下，点P是x轴上一动点，当∠BPE＝∠MBE时，求点P的坐标．
30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c的图象交x轴于A（4，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，连接AC．
（1）填空：该抛物线的函数解析式为 ，其对称轴为直线 ；
（2）若P是抛物线在第一象限内图象上的一动点，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，试求线段PQ的最大值；
（3）在（2）的条件下，当线段PQ最大时，在x轴上有一点E（不与点O，A重合），且EQ＝EA，在x轴上是否存在点D，使得△ACD与△AEQ相似？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．【分析】根据题意可以设出y1的解析式，也就得出y2的解析式，根据题意列出方程，解方程从而求出y1和y2的解析式，再分别求出它们的对称轴即可解决问题．
【解答】解：设，则，
当x＝a时，y2＝25，
即：a2+16a+8＝2 5，
解得：a1＝1，a2＝﹣17（舍去）
∴，
∴
∵y2的最小值为﹣2
∴，
解得m＝﹣2，
检验：当m＝﹣2时，4（1﹣m）≠0，
∴a＝1，
∴，，
∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线，
∴y1和y2两图象的对称轴距离为：1﹣（﹣2）＝3个单位，
故选：C．
2．【分析】分两种情况讨论：当0≤t≤2.5时，过Q作QD⊥AC交AC于点D，S△APQAP×QD；当2.5＜t≤4时，S△APQ＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△ABQ．
【解答】解：①当0≤t≤2.5时，点Q在AB上，
∴AQ＝2t，AP＝t，
过Q作QD⊥AC交AC于点D，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，
∴BC＝3cm，
∴，
∴QDt，
S△APQAP×QDttt2，
②当2.5＜t≤4时，点Q在BC上，
S△APQ＝S△ABC﹣S△CPQ﹣S△ABQ
3×4（4﹣t）×（8﹣2t）4×（2t﹣5）
＝﹣t2+4t
＝﹣（t﹣2）2+4，
综上所述，正确的图象是C．
故选：C．
3．【分析】①由题意得，即可求得点A，B的坐标；②由题意求得PA2、PB2和AB2，设∠APB＝90°时，求得m＝±2，结合∠APB＜90°，可得m＞2或m＜﹣2；③由点C（0，﹣2），可知点E的纵坐标为±2，解方程即可求得；④根据题意得对称轴为，设点，则AC2＝20、和，分AC2+AF2＝CF2、AC2+CF2＝AF2和AF2+CF2＝AC2，求解即可．
【解答】解：①由抛物线与x轴交于点A，B，则，
解得x1＝﹣4，x2＝1，则点A，B的坐标分别是（﹣4，0）和（1，0），故①正确；
②由点P（0，m），A（﹣4，0）和B（1，0），则PA2＝m2+16，PB2＝1+m2，AB2＝25，
当∠APB＝90°时，AP2+BP2＝AB2，则m2+16+1+m2＝25，
解得m＝±2，
∵∠APB＜90°，
∴m＞2或m＜﹣2，故②错误；
③由抛物线与y轴交于点C，则C（0，﹣2），
∴，
使得△ABE的面积与△ABC面积相等，则点E的纵坐标为±2，
当，
解得x1＝0，x2＝﹣3，
当，
解得，，
则除C外，还有3个点E使得△ABE的面积与△ABC面积相等；故③正确；
④由于抛物线的对称轴为，
设点，则AC2＝20，，，
当AC2+AF2＝CF2，则，
解得a＝5；
当AC2+CF2＝AF2，则，
解得a＝﹣5；
当AF2+CF2＝AC2，则，
解得；
故④正确；
故选：C．
4．【分析】根据平行线分线段成比例结合点A'的横坐标为1，求得AO＝3，解方程x2+mx＝0得A（﹣m，0），进而求出点A坐标，可求得抛物线解析式为y＝x2+3x，再计算自变量为1的函数值得到A'（1，4），接着利用C﹣y+1﹣m＝0点的纵坐标为4，求出C﹣y+1﹣m＝0点的横坐标，然后计算AC的长．
【解答】解：过点A'作A'D∥BO，则，
∵点A'的横坐标为1，即：OD＝1，
∴AO＝3，
当y＝0时，x2+mx＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣m，则m＞0，
则A（﹣m，0），
∵AO＝3，
∴m＝3，
∴抛物线解析式为y＝x2+3x，
当x＝1时，y＝x2+3x＝4，则A'（1，4），
当y＝4时，x2+3x＝4，
解得x1＝﹣4，x2＝1，
则C（﹣4，4），
∴AC的长为：．
故选：B．
5．【分析】求的最小值，即为求最小值，也就是求的最大值，作PF∥x轴，交BC的延长线于点F，利用待定系数法求得直线BC的解析式，设，则，证明△PFD∽△ABD，利用相似三角形的性质求得，再利用二次函数的性质即可求解．
【解答】解：△ACD和△PCD的底分别为AD和PD，高为h，
则，
∴求的最小值，即为求最小值，也就是求的最大值，
作PF∥x轴，交BC的延长线于点F，
设，则点F的纵坐标为，
对于，
令y＝0，则，解得x1＝﹣1，x2＝4，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），A（﹣1，0），B（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
代入B（4，0）得0＝4k+3，解得，
∴直线BC的解析式为，
令，则x＝m2﹣3m，
∴，
∴PF＝﹣m2+4m，AB＝4﹣（﹣1）＝5，
∵PF∥x轴，
∴△PFD∽△ABD，
∴，
∵，
∴有最大值为，
∴有最小值为．
故选：C．
6．【分析】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE＝OE＝8，DE＝6．设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF＝x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出，，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．
【解答】解：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM，
∵OD＝AD＝10，DE⊥OA，
∴OE＝EAOA＝8，
由勾股定理得：DE6．
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF＝x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴，，
∵AM＝PM（OA﹣OP）（16﹣2x）＝8﹣x，
即，，
解得：BFx，CM＝6x，
∴BF+CM＝6．
故选：C．
7．【分析】由题意可得，函数图象开口向下，先求得抛物线经过点B时a的取值，然后求得经过点A时a的取值，然后由x1＜m≤x2恒成立得知线段AB的位置，进而得到a的取值范围．
【解答】解：由题意可作如图，
当抛物线经过点B时，﹣（1+1）2+b＝2，
∴b＝6，
当抛物线经过点A时，﹣（﹣2+1）2+b＝﹣2，
∴b＝﹣1，
∵x1＜m≤x2恒成立，
∴b≥6，且b＞﹣1，
∴b≥6，
故选：B．
8．【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与点P（x，y）能落在二次函数y＝﹣x2+4x图象上的情况，再利用概率公式求得答案．
【解答】解：列表得：
第一次 第二次 1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）
5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
∵共有36种等可能的结果，点点P（x，y）能落在二次函数y＝﹣x2+4x图象上的有3种，
∴小明进行一次操作所获取的点P（x，y）能落在二次函数y＝﹣x2+4x图象上的概率为．
故选：B．
9．【分析】由二次函数的解析式求得对称轴为直线x，然后判断y1与y2的大小，即可判断每个选项正误．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0），
∴y＝0时，x1＝1﹣m，x2＝m，
∴二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）的对称轴为直线x，
当a＞0时，当x1+x2＜1时，
∴，
∴y1＞y2，
∴y1﹣y2＞0，
∴a（y1﹣y2）＞0；
当a＜0时，当x1+x2＞﹣1时，
∴，
∴当时，y1＜y2，
则a（y1﹣y2）＞0；
当时，y1＞y2，
则a（y1﹣y2）＜0；
故选：B．
10．【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线x＝h，由函数图象与系数的关系讨论（x1，y1）和（x2，y2）两点中x1+x2与2h的关系．
【解答】解：∵y＝a（x﹣h）2+k，
∴抛物线对称轴为直线x＝h，
∵a＜0，p＜0，
∴抛物线开口向下，一次函数中y随x增大而减小，
设x1＜x2，则y1＞y2，
∴h，
∴x1+x2＞2h．
故选：C．
11．【分析】由该二次函数解析式可知，该函数图象的开口方向向下，对称轴为，该函数的最大值为，由题意可解得a≤﹣4，根据函数图象可知a的值越小，其对称轴越靠左，满足y≥﹣2的x的值越小，故令a＝﹣4即可求得m的最大值．
【解答】解：∵函数，且a＜0，
∴该函数图象的开口方向向下，对称轴为，该函数有最大值，其最大值为，
若要满足0≤x≤m的任意一个x的值，都有﹣2≤y≤2，
则有，解得a≤﹣4，
对于该函数图象的对称轴，a的值越小，其对称轴越靠左，
a的值越小，满足y≥﹣2的x的值越小，
∴当取a的最大值，即a＝﹣4时，令y＝﹣4x2+4x+1＝﹣2，
解得，，
∴满足y≥﹣2的x的最大值为，
即m的最大值为．
故选：D．
12．【分析】根据二次函数的性质得出抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝m+1，然后根据两点到对称轴的距离判断即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0），当y≥t时，x≤m﹣1或x≥m+3，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线xm+1，
∵该函数图象过点A（m，5）和B（m+4，q），且m+1﹣m＜m+4﹣（m+1），
∴q＞5，
故选：D．
二．填空题
13．【分析】先根据A、O两点的坐标，求得新函数m的图象的对称轴，再求得Q的纵坐标，根据平移的性质得出阴影的面积＝矩形MQNO的面积即可求解．
【解答】解：∵新函数m的图象经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），
∴对称轴为直线x3，
把x＝﹣3代入yx2得，y，
∴阴影部分的面积为：3，
故答案为：．
14．【分析】根据题意，分别表示出x2和x3，再根据二次函数经过（1，0）和（x1，0）及x1的取值范围即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为二次函数经过（1，0），（x1，0），
所以a+b+c＝0，
又因为﹣5＜x1＜﹣4，
则当a＞0时，b＞0，
且，
将b＝﹣a﹣c代入不等式组，
解得，
所以．
因为一次函数y＝|a|x+c经过（x2，0），
所以ax2+c＝0，
则，
所以4＜x2＜5．
又因为m＜x2＜m+1，m为整数，
所以m＝4．
将a＝﹣b﹣c代入不等式组，
解得，
所以．
因为一次函数y＝|b|x+c经过（x3，0），
所以bx3+c＝0，
则，
所以．
又因为n＜x3＜n+1，且n为整数，
所以n＝1．
所以m+n＝4+1＝5．
当a＜0时，b＜0，
且，
将b＝﹣a﹣c代入不等式组，
解得．
因为一次函数y＝|a|x+c经过（x2，0），
所以﹣ax2+c＝0，
则，
所以﹣5＜x2＜﹣4．
又因为m＜x2＜m+1，m为整数，
所以m＝﹣5．
将a＝﹣b﹣c代入不等式组，
解得．
因为一次函数y＝|b|x+c经过（x3，0），
所以﹣bx3+c＝0，
则，
所以．
又因为n＜x3＜n+1，且n为整数，
所以n＝﹣2．
所以m+n＝﹣5+（﹣2）＝﹣7．
综上所述：m+n的值为5或﹣7．
故答案为：5或﹣7．
15．【分析】解一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝0，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【解答】解：①当m＝0时，一元二次方程为（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x1＝2，x2＝3，故①正确；
②当m＞0时，
∵一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实根x1，x2，且x1＜x2，
∴原方程转化为x2﹣5x+6﹣m＝0，
根据根与系数的关系得，，，
若2＜x1＜x2＜3，则|x2﹣x1|＜1，
∵，且m＞0，
∴|x2﹣x1|＜1错误，即2＜x1＜x2＜3错误，故②错误；
∴当m＞0时，x＜2或x＞3，故②错误；
③（x﹣2）（x﹣3）＝m转化为x2﹣5x+6﹣m＝0，有实根x1，x2，且x1＜x2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4（6﹣m）＞0，即1+4m＞0，
∴，故③正确；
④∵一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实根x1，x2，且x1＜x2，
∴原方程转化为x2﹣5x+6﹣m＝0，
根据根与系数的关系得，，，
∴，即y＝x2﹣5x+6﹣2m，
∴由二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）﹣m的图象与x轴的交点坐标不是（2，0）和（3，0），故④错误．
综上所述，正确的有①③，
故答案为：①③．
16．【分析】当x＝0时，y＝3，故二次函数y＝（ax+m）（x）必经过定点（0，3），则二次函数y＝（ax+m）（x）经过（0，3）、（4，3）两点或经过（﹣4，3）（0，3）两点，进而求解、
【解答】解：∵二次函数y＝（ax+m）（x），
∴当x＝0时，y＝3，
∴二次函数y＝（ax+m）（x）必经过定点（0，3），
∴二次函数y＝（ax+m）（x）经过（0，3）、（4，3）两点或经过（﹣4，3）（0，3）两点，
∴对称轴为：x（0+4）＝2或x（﹣4+0）＝﹣2，
∵方程y＝（ax+m）（x）＝0的一个根为x＝1，
∴另一个根为3或﹣5，
∴故答案为3或﹣5．
三．解答题
17．【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据等式的性质，构造以c﹣b为函数的二次函数，求函数最值即可；
（3）根据题意得出q＝﹣（x﹣m）（x﹣m+2），将点（x0，0）代入，根据一元二次方程的解即可求解．
【解答】解：（1）依题意，，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵函数y的表达式可以写成y＝﹣（x+h）2+3＝﹣x2+2hx﹣h2+3，
∴b＝2h，c＝﹣h2+3，
∴c﹣b＝﹣h2+3﹣2h＝﹣（h+1）2+4，
∴c﹣b的最大值为4；
（3）∵p＝x﹣m，y＝﹣（x﹣m）（x﹣m+1），
∴q＝y﹣p＝﹣（x﹣m）（x﹣m+1）﹣（x﹣m）＝﹣（x﹣m）（x﹣m+2），
∵函数q＝y﹣p的图象经过点（x0，0），
∴﹣（x0﹣m）（x0﹣m+2）＝0，
∴x0﹣m＝0或x0﹣m＝﹣2．
18．【分析】（1）把（1，2），（2，3）分别代入y＝x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）把（1，m），（2，3m）分别代入y＝x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，解方程组得到抛物线解析式为y＝x2+（2m﹣3）x+2﹣m，然后计算x时，y，从而可判断抛物线经过点（，）；
（3）如图，由于x＝1时，y＞0；x＝2时，y＜0，抛物线经过点（3，0），则可判断抛物线的对称轴在直线x＝2的右侧，在直线x＝3的左侧，然后利用点（﹣1，y1）到对称轴的距离大于点（4，y2）到对称轴的距离，从而得到y1＞y2．
【解答】（1）解：把（1，2），（2，3）分别代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x+3；
（2）证明：把（1，2），（2，3）分别代入y＝x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2+（2m﹣3）x+2﹣m，
∵当x时，y（2m﹣3）+2﹣m，
∴抛物线经过点（，）；
（3）y1＞y2．
理由如下：
如图，
∵m＞0，n＜0，
∴x＝1时，y＞0；x＝2时，y＜0，
∵抛物线经过点（3，0），
∴抛物线的对称轴在直线x＝2的右侧，在直线x＝3的左侧，
∴点（﹣1，y1）到对称轴的距离大于点（4，y2）到对称轴的距离，
而抛物线开口向上，
∴y1＞y2．
19．【分析】（1）当b＝1时，分别把x＝﹣2，x＝1代入解析式，计算出y1，y2，比较即可；
（2）先求出y1＝4+2b+c，y2＝1﹣b+c，再根据y1＜y2，解不等式即可；
（3）先求出二次函数y＝x2﹣bx+c的对称轴为直线x，m得由1＜b＜2，计算可得答案．
【解答】解：（1）当b＝1时，
∴，
∵6+c＞c，
∴y1＞y2；
（2）∵y1＝4+2b+c，y2＝1﹣b+c，
又∵y1＜y2，
∴4+2b+c＜1﹣b+c，
∴b＜﹣1；
（3）二次函数y＝x2﹣bx+c的对称轴为直线，
∵二次函数经过（﹣2，y1），（m，y1）两点，
∴m得，即m＝2+b，
∵1＜b＜2，
∴3＜m＜4．
20．【分析】（1）结合解答过程即可得出答案；
（2）观察表格可知，y随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值由正到负，故可判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解﹣1＜x1＜0，0＜x2＜1．
（3）根据抛物线的开口向下，与y轴的交点为（0，2），即可判断抛物线与x轴有两个交点，从而判断方程有两个不相等的实数根，且x1＜0，x2＞0．
【解答】解：（1）在例5求解过程中，主要运用的数学思想是A，D．
故答案为：A，D；
（2）填表如下：
x的值 ﹣2 ﹣1 0 1
3x2﹣x﹣1的值 13 3 ﹣1 1
∴﹣1＜x1＜0，0＜x2＜1．
（3）∵y＝ax2+bx+2，
∴当x＝0时，y＝2，
又∵a＜0，
∴方程有两个不相等的实数根，且x1＜0，x2＞0．
21．【分析】（1）（0，3）是与y轴的交点，可得c＝3，再将（6，3）代入求值，可求得b的值；
（2）根据二次函数的解析式y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6；当0≤x≤4时，仅当x＝0时，y取得最大值；仅当x＝3时，y取得最小值；再计算y的最大值与最小值之差；
（3）分类讨论：①k﹣4≤x≤k≤3，k≤3；②当k﹣4≤3且k≥3时，即3≤k≤7；③当3≤k﹣4≤x≤k时，即k≥7；根据函数特点，计算求出符合题意k的值．
【解答】解：（1）∵函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3），
∴c＝3，y＝x2+bx+3，
将点（6，3）代入可得：3＝62+6b+3，解得：b＝﹣6，
∴b＝﹣6，c＝3；
（2）y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，
当0≤x≤4时，
①仅当x＝3时，y取得最小值，此时y＝（3﹣3）2﹣6＝﹣6；
②仅当x＝0时，y取得最大值，此时y＝（0﹣3）2﹣6＝3；
3﹣（﹣6）＝9，
∴当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差为9；
（3）当k﹣4≤x≤k时，y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，
①当k﹣4≤x≤k≤3时，即k≤3，
仅当x＝k，y取得最小值，此时y＝k2﹣6k+3；仅当x＝k﹣4，y取得最大值，此时y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3；
（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（k2﹣6k+3）＝8，解得：k＝4，
∵k≤3，
∴k＝4不符合题意；
②当k﹣4≤3且k≥3时，即3≤k≤7，此时最小值为y＝﹣6，
当x＝k﹣4取得最大值，即3﹣（k﹣4）≥k﹣3时，k≤5，此时y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3，
（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（﹣6）＝8，
解得：k＝7±2，
∵3≤k≤5，7+27，
∴k＝7+2不符合题意；
∴k＝7﹣2；
当x＝k取得最大值，即3﹣（k﹣4）≤k﹣3时，k≥5，此时y＝k2﹣6k+3，
k2﹣6k+3﹣（﹣6）＝8，解得：k＝3±2，
∵5≤k≤7，5＜3+27，3﹣25，
∴k＝3+2符合题意，k＝3﹣2不符合题意，
∴k＝3+2；
③当3≤k﹣4≤x≤k时，即k≥7，
仅当x＝k﹣4，y取得最小值，此时y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3；仅当x＝k，y取得最大值，此时y＝k2﹣6k+3；
k2﹣6k+3﹣[（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3]＝8，解得：k＝6，
∵k≥7，
∴k＝6不符合题意；
综上所述，k的值为7﹣2或3+2．
22．【分析】（1）计算出△，可以证明△大于等于0，即可说明图象与x轴总有交点；
（2）先求出抛物线对称轴，在根据P，Q关于对称轴对称求出n＝2，再把点P坐标代入抛物线求出b＝2，再求出（b）2+n2的值；
（3）求出平移后的新函数解析式，再由二次函数与方程的关系证明即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣2（a+1）]2﹣4a×4＝4a2+8a+4﹣16a＝4a2﹣8a+4＝4（a﹣1）2≥0，
∴二次函数的图象与x轴总有交点；
（2）解：∵y＝ax2﹣2（a+1）x+4（a≠0），
∴抛物线对称轴为直线x1，
∵点P（，b）和点Q（n，b）关于对称轴对称，
∴1，
∴n＝2，
把P（，b）代入函数解析式得：a2（a+1）4＝b，
解得b＝2，
∴（b）2+n2＝（2）2+22＝8；
（3）证明：∵将二次函数y＝ax2﹣2（a+1）x+4（a≠0）的图象向下平移2个单位，
平移后的解析式为y＝ax2﹣2（a+1）x+2，
∵平移后函数图象与x轴的交点横坐标为x1，x2，
∴ax2﹣2（a+1）x+2＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2，x1 x2，
∴|x1﹣x2|2．
23．【分析】（1）将将m＝0代入y＝（x﹣m）2﹣1中，得y＝x2﹣1，求出A、B、D三点的坐标，易得△ABD是等腰直角三角形；
（2）先求出A、B、C三点的坐标分别为A（m﹣1，0），B（m+1，0），C（0，m2﹣1）．根据题意得m﹣1＜0，m2﹣1＞0，由此得OA＝1﹣m，OC＝m2﹣1．当△AOC是等腰三角形
时，OA＝OC，则可得1﹣m＝m2﹣1，求出m的值即可．
（3）分两种情况讨论：①当A、B都在x轴正半轴上时，BA平分∠CBD，过D点作DE⊥x轴于E点，由B（m+1，0），D（m，﹣1）可得DE＝BE＝1，由此得∠OBD＝45°，因此∠CBO＝45°，进而可得OC＝OB，则m2﹣1＝m+1，求出m的值即可．②若A点在x轴负半轴上，B点在x轴正半轴上，若BD平分∠ABC，则∠ABC＝90°，此种情况不存在．③BC为角平分线时，根据∠OBD＝45°得到OB＝OF，再利用角平分线的性质定理建立方程求解即可．
【解答】she解：（1）
将m＝0代入y＝（x﹣m）2﹣1中，得y＝x2﹣1，
由y＝x2﹣1＝0得，
x1＝﹣1，x2＝1，
∴A（﹣1，0），B（1，0），
当x＝0时，y＝﹣1，
∴D（0，﹣1），
∴OA＝OD＝OB＝1，
∴∠OAD＝∠ODA＝45°，∠OBD＝∠ODB＝45°，
∴∠ADB＝90°，DA＝DB，
∴△ABD是等腰直角三角形．
（2）
由y＝（x﹣m）2﹣1＝0得（x﹣m）2＝1，
解得x1＝m﹣1，x2＝m+1，
∵点B在点A的右边，
∴A（m﹣1，0），B（m+1，0），
∵点A在x轴的负半轴上，
∴m﹣1＜0，
∴OA＝|m﹣1|＝1﹣m，
当x＝0时，y＝m2﹣1，
∴C（0，m2﹣1），
∵点C在y轴正半轴上，
∴m2﹣1＞0，
∴OC＝m2﹣1，
当△AOC是等腰三角形时，OA＝OC，
∴1﹣m＝m2﹣1，
整理得m2+m﹣2＝0，
解得m1＝﹣2，m2＝1，
由m﹣1＜0得m＜1，
∴m＝﹣2，
故存在一个m值使△AOC是等腰三角形，此时m＝﹣2．
（3）①当A、B都在x轴正半轴上时，BO平分∠CBD，
由（2）知A（m﹣1，0），B（m+1，0），C（0，m2﹣1），D（m，﹣1），
过D点作DE⊥x轴于E点，
则DE＝1，BE＝m+1﹣m＝1，
∴DE＝BE，
∴∠OBD＝45°，
∴∠CBO＝45°，
∵∠COB＝90°，
∴∠OCB＝45°，
∴OC＝OB，
∴m2﹣1＝m+1，
整理得m2﹣m﹣2＝0，
解得m1＝2，m2＝﹣1，
因为A、B都在x轴正半轴，
∴m﹣1＞0，
∴m＞1，
∴m＝2．
②若A点在x轴负半轴上，B点在x轴正半轴上，
由①知∠OBD＝45°，
若BD平分∠ABC，
则∠ABC＝90°，
此种情况不存在，
③若BC为角平分线时，如图，延长BD交y轴于点F，
由①知∠OBD＝45°，
则OB＝OF＝m+1，
∵C（0，m2﹣1），
∴OC＝1﹣m2，
∴CF＝OF﹣OC＝m+1﹣（1﹣m2）＝m+m2，
∵BC是角平分线，
∴（角平分线性质定理），
∴CFOC，
m+m2（1﹣m2），
解得m＝2或m＝﹣1（舍），
∴m＝2，
综上，m＝2或2．
24．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先把二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质，结合﹣3≤x≤0得到当x＝﹣1时，y取得最小值；
（3）根据题意分3种情况讨论，分别根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴，
解得；
（2）由（1）知，y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∵1＞0，﹣3≤x≤0，
∴当x＝﹣1时，y有最小值﹣4；
（3）①当m＜﹣1时，
∵二次函数开口向上，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝m﹣2时，y取得最大值，即p＝（m﹣2）2+2（m﹣2）﹣3＝m2﹣2m﹣3，
当x＝m时，y取得最小值，即q＝m2+2m﹣3，
∵p﹣q＝3，
∴m2﹣2m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝3，
解得m1，不符合题意，舍去；
②当m﹣2≤﹣1≤m时，
当﹣1﹣（m﹣2）＞m﹣（﹣1）时，即﹣1≤m＜0，
∴当x＝m﹣2时，y取得最大值，当x＝﹣1时，y取得最小值﹣4，
∵p﹣q＝3，
∴（m﹣2）2+2（m﹣2）﹣3﹣（﹣4）＝3，
整理得：m2﹣2m﹣2＝0，
解得m＝1（舍去）或m＝1；
当﹣1﹣（m﹣2）＜m﹣（﹣1）时，即m＞0，
∴当x＝m时，y取得最大值，当x＝﹣1时，y取得最小值﹣4，
∴m2+2m﹣3﹣（﹣4）＝3，
解得m＝﹣1（舍去）或m＝﹣1；
③当m﹣2＞﹣1，即m＞1时，
∵二次函数开口向上，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∴当x＝m﹣2时，y取得最小值，即q＝（m﹣2）2+2（m﹣2）﹣3＝m2﹣2m﹣3，
当x＝m时，y取得最大值，即p＝m2+2m﹣3，
∵p﹣q＝3，
∴m2+2m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝3，
解得m1，不符合题意，舍去．
综上所述，m的值为1或﹣1．
25．【分析】（1）先将P代入抛物线求出m，再由新定义“成对点”的概念求出P'即可；
（2）①先求出抛物线顶点，再由新定义“成对点”的概念得C的坐标，再将C代入抛物线即可求得c；②根据∠ADC＝∠ACB证明出△ADC∽△ACB，再由相似三角形的性质即可求得D的坐标．
【解答】解：（1）∵点P（﹣2，m）在函数y＝x2﹣2x﹣4的图象上，
∴当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）﹣4＝4，
∴点P（﹣2，4），
∵点P（﹣2，4）与P'是抛物线y＝x2﹣2x﹣4的成对点，
∴点P'（2，﹣4）；
（2）①y＝﹣x2﹣2x+c的顶点为A（﹣1，1+c），
∴C（1，﹣1﹣c），
∴﹣1﹣c＝﹣1﹣2+c，
解得c＝1；
②∵y＝﹣x2﹣2x+1，
∴函数的对称轴为x＝﹣1，
∴B（﹣1，0），A（﹣1，2），
设直线OA的解析式为y＝kx，
∴k＝﹣2，
∴y＝﹣2x，
令y＝﹣2x＝﹣x2﹣2x+1，
解得x＝1或x＝﹣1（舍），
∴C（1，﹣2），
∴CA，
∵D点在对称轴上，
设D（﹣1，t），
∵∠ADC＝∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴，
∴t＝﹣8，
∴D（﹣1，﹣8）．
26．【分析】（1）作BH⊥AD，交x轴于点H，求出BH＝PO＝3，求出sin∠BAD即可解答；
（2）①作BH⊥AD，交x轴于点H，求出DE，AH，证明四边形BCDH是矩形，求出，利用相似三角形的判定即可证明；
②分两种情况讨论，当∠ABE＝90°时，以A，B，E为顶点的三角形与△BCE相似，则∠BAE＝30°或∠BFA＝30°；当∠AEB＝90°，AB与CD不平行，
则∠ABE≠∠BEC，△AEB∽△ECB，求出DE即可解答．
【解答】（1）解：如图，作BH⊥AD，交x轴于点H，
∵P为抛物线y＝﹣x2+3的顶点，
∴点P的坐标为P（0，3），
∵BC所在直线经过点P，
∴BH＝PO＝3，
在Rt△BAH中，，
∴，
∴∠BAD＝60°．
（2）①证明：如图，作BH⊥AD，交x轴于点H，
∵∠BAD＝60°，AE平分∠BAD，
∴，
∵∠ADC＝90°，，
在Rt△ADE中，DE＝AD tan∠EAD，
又∵CD＝3，
∴，
∵∠BAD＝60°，BH＝3，
∴，
∴DH＝AD﹣AH，
∵BH⊥AD，∠ADC＝90°，AD∥BC，
∴四边形BCDH是矩形，
∴，
∵∠C＝∠ADE＝90°，，
∴△BCE∽△EDA．
②解：∵AD∥BC，∠BAD＝60°，∠ADC＝90°，
∴∠ABC＝180°＝∠BAD＝120°，∠BCE＝180°﹣∠ADC＝90°，
若以A，B，E为顶点的三角形与△BCE相似，则△ABE也为直角三角形，
∵∠BAE≤60°，
∴∠BAE≠90°，
此时可以分以下两种情况讨论，
即∠ABE＝90°或∠AEB＝90°，
当∠ABE＝90°时，∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝120°﹣90°＝30°，
∵以A，B，E为顶点的三角形与△BCE相似，
∴∠BAE＝30°或∠BEA＝30°，
若∠BAE＝30°，如图，∠BEA＝60°，
在Rt△ABE中，AB＝2，
∴BE2．
在Rt△BCE中，，
∴DE＝CD﹣CE＝3﹣1＝2．
∵E在抛物线y＝﹣x2+3上，且x＞0，
∴点E的坐标为E（1，2）；
若∠BEA＝30°，如图，∠BAE＝60°，点E与点G重合，
∴点E的坐标为；
当∠AEB＝90°时，
∵AB与CD不平行，
∴∠ABE≠∠BEC，
∴△AEB∽△ECB，
此时，
如图，在Rt△ABE中，，
∴．
在Rt△BCE中，CE＝BE sin∠CBE，
∴，
∵E在抛物线y＝﹣x2+3上，且x＞0，
∴点E的坐标为E．
综上，E（1，2），或．
27．【分析】（1）求出点A，B坐标，然后根据d（P，O）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|求解．
（2）①设点C坐标为（m，m2﹣3m+4），根据d（O，C）＝|m﹣0|+|m2﹣3m+4﹣0|求解．②分类讨论0＜t，t≤1，t＞1三种情况求解．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝x2﹣3x+4，得y＝4，
∴点A坐标为（0，4），
把（﹣1，b）代入y＝x2﹣3x+4，得b＝1+3+4＝8，
∴点B坐标为（﹣1，8），
∴d（A，B）＝|﹣1﹣0|+|8﹣4|＝5．
（2）①∵y＝x2﹣3x+4＝（x）2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（，），
∴y，
∵点C在抛物线上，
∴C（m，m2﹣3m+4），
∴d（O，C）＝|m﹣0|+|m2﹣3m+4﹣0|，
∵m≥0，m2﹣3m+4，
∴d（O，C）＝m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3，
∴当m＝1时，d（O，C）最小值为3，
此时点C坐标为（1，2）．
②∵d（O，C）＝（m﹣1）2+3，
∴当0≤m＜1时，d（O，C）随m增大而减小，当m≥1时，d（O，C）随m增大而增大，
把m＝t代入d（O，C）＝（m﹣1）2+3得d（O，C）＝（t﹣1）2+3，
把m＝t+1代入入d（O，C）＝（m﹣1）2+3得d（O，C）＝t2+3，
当t+1﹣1＝1﹣t时，t，
当0＜t时，d（O，C）的最小值q＝3，最大值p＝（t﹣1）2+3，
p﹣q＝（t﹣1）2，
解得t＝1（不符合题意，舍去），t＝1，
当t≤1时，d（O，C）的最小值q＝3，最大值p＝t2+3，
p﹣q＝t2，
解得t，t（不符合题意，舍去）．
当t＞1时，d（O，C）的最小值q＝（t﹣1）2+3，最大值p＝t2+3，
p﹣q＝t2﹣（t﹣1）2，
解得t（不符合题意，舍去），
综上所述，t＝1或．
28．【分析】（1）先求出y＝ax﹣2的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；
（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；
②当﹣2≤x＜0时，函数y＝﹣2x2+8x﹣3的相关函数是y＝﹣2x2+8x﹣3，抛物线的对称轴为直线x＝2，然后可求得此时的最小值，当0≤x≤3时，当0≤x≤3时，函数y＝﹣2x2+8x﹣3的相关函数是y＝2x2﹣8x+3，抛物线y＝2x2﹣8x+3的对称轴为x＝2，可求得此时的最大值和最小值，从而可得到当﹣2≤x≤3时的最大值和最小值．
【解答】解：（1）根据题意，
一次函数y＝ax﹣2的相关函数为y，
∴把点A（﹣1，3）代入y＝ax﹣2，则a×（﹣1）﹣2＝3，
∴a＝﹣5；
（2）根据题意，二次函数y＝﹣2x2+8x﹣3的相关函数为y，
①当m＜0时，将B（m，﹣4）代入y＝﹣2x2+8x﹣3得﹣2m2+8m﹣3＝﹣4，
解得：m（舍去）或m，
当m≥0时，将B（m，﹣4）代入y＝2x2﹣8x+3得2m2﹣8m+3＝﹣4，
解得：m或m，
综上所述：m或m或m；
②当﹣2≤x＜0时，函数y＝﹣2x2+8x﹣3的相关函数是y＝﹣2x2+8x﹣3，抛物线的对称轴为直线x＝2，此时y随x的增大而增大，
∴当x＝﹣2时，有最小值，最小值为y＝﹣2×（﹣2）2+8×（﹣2）﹣3＝﹣27，
∴此时y的最小值为﹣27，
当0≤x≤3时，函数y＝﹣2x2+8x﹣3的相关函数是y＝2x2﹣8x+3，抛物线y＝2x2﹣8x+3的对称轴为x＝2，
当x＝2时有最小值，最小值为﹣5，
当x＝0时，有最大值，最大值为y＝3，
综上所述，当﹣2≤x≤3时，函数y＝﹣2x2+8x﹣3的相关函数的最大值为3，最小值为﹣27．
29．【分析】（1）先利用二次函数解析式求出点A的坐标，进而求出E、B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出抛物线对称轴为直线x＝2，如图所示，连接AM，设抛物线对称轴与x轴交于T，再由A、B关于直线x＝2对称，得到AM＝BM，进一步推出当A、M、E三点共线时，BM+EM最小，即此时△MBE的周长最小，先求出∠AEO＝45°，进而证明∠TME＝45°＝∠TEM，得到MT＝OE﹣OT＝1，则M（2，1）；②利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明△BME时直角三角形，即∠BME＝90°，则△MBE外接圆圆心F即为BE的中点，据此求解即可；
（3）先由（2）得，再证明△BME∽△PCB，求出CP＝6，由此即可得到答案．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3，
∴A（0，3），
∴OA＝3，
由旋转的性质可得OE＝OA＝3，
∴E（3，0）；
∵四边形AOCB是矩形，AB＝4，
∴OC＝AB＝4，BC＝OA＝3，BC⊥OC，
∴B（4，3），
把E（3，0），B（4，3）代入到抛物线解析式中得：{9a+3b+3＝016a+4b+3＝3，
解得{a＝1b＝﹣4．
故答案为：1，﹣4；
（2）①由（1）得抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
如图所示，连接AE交对称轴于点M，设抛物线对称轴与x轴交于T，
∵A（0，3），B（4，3），
∴A、B关于直线x＝2对称，
∴AM＝BM，
∴△MBE的周长＝BM+ME+BE＝AM+ME+BE，
∵B、E都是定点，即BE是定值，
∴当A、M、E三点共线时，BM+EM最小，即此时△MBE的周长最小，
∵OA＝OE＝3，∠AOE＝90°，
∴∠AEO＝45°，
∴∠TME＝45°＝∠TEM，
∴MT＝OE﹣OT＝1，
∴M（2，1）；
②∵M（2，1），E（3，0），B（4，3），
∴ME2＝（3﹣2）2+（0﹣1）2＝2，MB2＝（4﹣2）2+（3﹣1）2＝8，BE2＝（4﹣3）2+（3﹣0）2＝10，
∴ME2+MB2＝BE2，
∴△BME时直角三角形，即∠BME＝90°，
∴△MBE外接圆圆心F即为BE的中点，
∴△MBE外接圆圆心F的坐标为．
（3）由（2）得，
∵点P在x轴上，
∴∠BCP＝90°＝∠BME，
又∵∠BPE＝∠MBE，
∴△BME∽△PCB，
∴，即，
∴CP＝6．
∵C（4，0），
∴P1（﹣2，0）或P2（10，0）．
30．【分析】（1）把A（4，0），B（﹣1，0）代入抛物线yx2+bx+c中列方程组，解出可得b和c的值，可得抛物线的解析式，配方成顶点式可得对称轴；
（2）先利用待定系数法求直线AC的解析式，再设点P的坐标，并表示点Q的坐标，根据铅直高度表示PQ的长，并配方可得PQ的最大值；
（3）分两种情况：①当D在线段OA上时，如图1，根据△AEQ∽△ADC，由EQ＝EA，得CD＝AD，利用勾股定理解决问题；②当D在点B的左侧时，如图2根据三角形相似，由EQ＝EA可得OA＝OD，可得D的坐标．
【解答】解：（1）把A（4，0），B（﹣1，0）代入抛物线yx2+bx+c中得：
，
解得：，
∴yx2x+3（x）2；
∴抛物线的函数解析式为：yx2x+3，其对称轴为直线：x；
故答案为：yx2x+3；x；
（2）∵A（4，0），C（0，3），
∴直线AC的解析式为：yx+3；
设P（x，x2x+3），则Q（x，x+3），
∴PQ＝（x2x+3）﹣（x+3）3x（x﹣2）2+3，
∵P是抛物线在第一象限内图象上的一动点，
∴0＜x＜4，
∴当x＝2时，PQ的最大值为3；
（3）分两种情况：
①当D在线段OA上时，如图1，△AEQ∽△ADC，
∵EQ＝EA，
∴CD＝AD，
设CD＝a，则AD＝a，OD＝4﹣a，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：32+（4﹣a）2＝a2，
a，
∴AD＝CD，
∴OD＝4，
∴D（，0），
②当D在点B的左侧时，如图2，△AEQ∽△ACD，
∵EQ＝EA，
∴CD＝AC，
∵OC⊥AD，
∴OD＝OA＝4，
∴D（﹣4，0），
综上所述，当△ACD与△AEQ相似时，点D的坐标为（，0）或（﹣4，0）．
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