河北省沧州市三校联考2025届高三第一学期期中考试数学试卷（含答案）

河北省沧州市三校联考 2025 届高三第一学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1 1
1.已知集合 = { ∈ | < < }， = { || | < 7}，则 ∩ =( )
9 4
A. {5} B. {5,6} C. {4,5,6} D. {5,6,7}
1
2.已知 = 2 ，则 =( )
+3
A. 2 2 B. 2+ 2 C. 5 + 2 D. 5 2
3.在△ 中， ， 分别是边 ， 的中点，点 满足 = 2 ，则 =( )
1 1 1 1 1 1 1 1
A. + B. C. + D.
3 6 3 6 6 3 6 3
4.已知sin( ) = ，tan = 4tan ，则sin( + ) =( )
5 2 3 3
A. B. C. D.
3 3 2 4
5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，体积相等，且它们的侧面积之比为1: 3，则圆锥的高与底面半径之比为
( )
√ 3 1 √ 3 2√ 3
A. B. C. D.
9 3 3 3
2 + 2 6, 1
6.若函数 ( ) = { 在 上是增函数，则 的取值范围为( )
ln + 5, > 1
A. [1,+∞) B. [1,6]
C. ( ∞, 1] ∪ [6,+∞) D. (0,1] ∪ [6,+∞)

7.函数 ( ) = 3sin(2 ) sin3 在区间[0,3 ]上的零点个数为( )
4
A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
8.已知函数 ( )的定义域为 ， ( + 2)为偶函数， ( ) 1为奇函数，且 ( )在区间[6,8]上是增函数.记 =
( 33)， = (19)， = (88)，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量 (单位：克)服从正态分布 (600, 2)，则( )
1
A. ( > 600) =
2
B. 越小， (599 < < 601)越大
C. ( < 595) = ( > 605)
D. (592 < < 598) < (602 < < 606)
第 1 页，共 11 页
10.已知 = 2是函数 ( ) = ( + 2)2( + )的极小值点，则( )
A. = 4
B. ( )在区间[ 3,1]上的值域为[ 27,0]
C. 不等式 ( 2 + 4 + 8) > ( 2 + 4)的解集为(1,+∞)
D. 当 < 2时， ( 4 ) > ( )
11.已知曲线 上的点满足：到定点 (0,1)的距离与到定直线 : = 3的距离之和为4，则( )
A. 恰好经过4个整点(横、纵坐标均为整数的点)
B. 当点( 0, 0)在 上时， 4√ 3 ≤ 0 ≤ 4√ 3
C. 上的点到直线√ 3 15 = 0的距离的最大值为12
D. 上的点与点 的距离的取值范围为[1,4]
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2
12.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2， ， 是 上关于原点对称的两点，
且| | = | 1 2| = 10，| 1| = 3| 2|，则 的离心率为 ．
13.若直线 = 2 是曲线 ( ) = 1的切线，也是曲线 ( ) = ln( 2) + 的切线，则 = ．
14.某盒子中有12个大小相同的球，分别标号为1，2， ，12，从盒中任取3个球，取出的3个球的标号之和
“能被4整除的概率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)

记△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 + = 2 cos( ).
3
(1)求 ;
9
(2)若△ 的面积为3√ 3，sin sin = ，求△ 的周长．
64
16.(本小题15分)
2 2 √ 5 3
已知椭圆 ： + = 1( > > 0)的离心率为 ，点(√ 3, )在 上．
2 2 3 2
(1)求 的方程；
(2)记 的上顶点和右顶点分别为 ， ，过原点的直线 与 交于点 ， ，与直线 交于点 ，且点 ， 均
在第四象限，问是否存在直线 ，使得△ 的面积是△ (其中 为原点)面积的4倍？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．
第 2 页，共 11 页
17.(本小题15分)
如图，在多面体 1 1 1中， 1 = 3， 1// 1，四边形 1 1 是边长为2的菱形， 为棱 1 1上一
点．
(1)若 1 = 2 1 ，证明： 1 //平面 1;
6√ 85
(2)若 1 ⊥平面 ， = 2， 1 = 2√ 3，直线 1 1与平面 1 所成角的正弦值为 ，求 85 1 的长．
18.(本小题17分)
1
已知函数 ( ) = 1 ， ( ) = 2 ln .

(1)求 ( )的最值;
(2)若 ( )在定义域内单调递增，求 的取值范围;
1
(3)当 > 1时， ( ) > 1，求 的取值范围．
19.(本小题17分)
1
记数列{ }的前 项和为 ，若对任意 ∈
， ≤ +1 ≤ 4 ，则称{ }是“ 数列”． 4
3 2+5
(1)若 = ，判断{ }是否是“ 数列”，并说明理由； 2
(2)若{ }是首项为1，公比为 的等比数列，且数列{ }和{ }均是“ 数列”．
( )求 的取值范围；
( )当 ∈ 时，若在所有数列{ }中随机抽取一个数列，求在 > 1的条件下， 恰为偶数的概率．
(3)若等差数列{ }是首项为1的“ 数列”，且 1 + 2 + 3 + + = 501 ，求正整数 的最小值，以及
取最小值时相应数列{ }的公差．
第 3 页，共 11 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
√ 10
12.【答案】
2
13.【答案】3
1
14.【答案】
4

15.【答案】解：(1)因为 + = 2 cos( )，
3
1 √ 3
所以由正弦定理得sin + sin = 2sin ( cos + sin )，
2 2
即sin + sin( + ) = sin cos + √ 3sin sin ，
即sin + sin cos + cos sin = sin cos + √ 3sin sin ，
所以sin + cos sin = √ 3sin sin ，
又 ∈ (0, )，所以sin ≠ 0，
1
所以√ 3sin cos = 1，即sin( ) = ，
6 2
5
因为 ∈ (0, )，所以 ∈ ( , )，
6 6 6

所以 = ，则 = ．
6 6 3

(2)因为△ 的面积为3√ 3， = ，
3
1 1 √ 3
所以 sin = × = 3√ 3，解得 = 12．
2 2 2
第 4 页，共 11 页
2√ 3
由正弦定理得 = = = ，
sin sin sin 3
2√ 3 2√ 3
所以 = sin ， = sin ，
3 3
9
因为sin sin = ， = 12，
64
4 4 9
所以 2sin sin = 2 × = 12，解得 = 8，
3 3 64
则由余弦定理得64 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 ，
即64 = ( + )2 3 = ( + )2 36，解得 + = 10，
所以 + + = 18，所以△ 的周长为18．
√ 5=
3
16.【答案】解：(1)由题意 9 3+ = 1 ，解得 = 3, = 2, = √ 5， 4 2 2

{ 2 = 2 + 2
2 2所以椭圆 的方程为 + = 1;
9 4
(2)存在，
如图：
由(1)知 (0,3)， (2,0)，
所以直线 的方程为3 + 2 6 = 0，
设直线 : = ， < 0，
2 2 6
{ + = 1
2
联立 ( )
2 = ±
9 4 ，消去 可得 + = 1，解得 ， √ 2
= 9 4 4 +9
6
则 = ± ，
√ 2 4 +9
6 6 6 6
所以 ( , ) ( , )
√ 2
， ，
4 +9 √
2
4 +9 √
2 2
4 +9 √ 4 +9
第 5 页，共 11 页
3 + 2 6 = 0 6 6
由{ 得 ( , )，
= 2 +3 2 +3
若 △ = 4 △ ，则| | = 4| |，
由椭圆的对称性可得| | = | |，
所以| | = 4| |，即| | = 5| |，
2 2
所以 6 2 6 √ ( ) + ( )2 = 5√
6 6
( ) + ( ) ，
2 +3 2 +3
√ 2 2 4 +9 √ 4 +9
9
化简整理可得8 2 + 25 + 18 = 0，解得 = 2或 ，
8
9
此时直线 的方程为 = 2 或 = .
8
1
17.【答案】解：(1)在棱 1上取一点 ，使得 1 = 3 1 ，
连接 1 ， ，则 = 2 1 ，
因为 1 = 2 1 ，所以 // 1，
因为 平面 1， 1 平面 1，
所以 //平面 1．
由 1 = 3，得 = 2，又 1 = 2，且 1// 1，
所以四边形 1 为平行四边形，所以 1 // ，
因为 1 平面 1， 平面 1，所以 1 //平面 1．
又 1 ∩ = ， 1 ， 平面 1 ，
所以平面 1 //平面 1，
又 1 平面 1 ，所以 1 //平面 1．
(2)因为 1 ⊥平面 ， 1// 1，所以 1 ⊥平面 ，
第 6 页，共 11 页
又 平面 ，所以 1 ⊥ ，因为 1 = 2√ 3， 1 = 2，
所以 = 2√ 2，又 = = 2，所以 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
所以 ， ， 1两两垂直，
以 为原点， ， ， 1所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 1(0,2,3)， 1(0,0,2)， (0,2,0)， 1(2,0,2)，
所以 1 1 = (2, 2, 1)， 1 1 = (0, 2, 1)， 1 = (0, 2,2)，
设 1 = 1 1，0 < ≤ 1，则 (2 , 2 2 , 3 )，所以 = (2 , 2 , 3 ).
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，
1 = 0 2 + 2 = 0则{ ，即{ ,
= 0 2 2 + (3 ) = 0
3 3 3 3
取 = 1，则 = 1， = ，所以 = ( , 1,1)，
2 2
设直线 1 1与平面 1 所成的角为 ，
| 3 6√ 85
则sin = |cos < ， 1 1 > | =
1 1 = =
| | | 1 1| 3 3 2 85
，
√ ( ) +2 √ 5
2
3 3 9 1
整理得( )2 = ，解得 = ，
2 4 2
因为
3
1 1 = (2, 2, 1)，所以| 1 1| = 3，所以 1 = ． 2
18.【答案】解：(1)因为 ( ) = 1 ，
所以 ′( ) = 1 1，
令 ′( ) > 0，得 > 1，令 ′( ) < 0，得 < 1，
所以 ( )在( ∞, 1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以 ( )的最小值为 (1) = 0，无最大值；
1 1 2 3 +1
(2)由题得 ′( ) = 2 + 2 = ， > 0， 2
第 7 页，共 11 页
因为 ( )在定义域内单调递增，
所以 ′( ) ≥ 0在(0,+∞)上恒成立，
即2 3 + 1 ≥ 0在(0,+∞)上恒成立，
1
即2 ≥ 3 在(0,+∞)上恒成立，
1
所以2 ≥ ( 3 )max， > 0，
1 3 2
令 ( ) = ， > 0，则 ′( ) = ，
3 4
3 3
令 ′( ) > 0，得0 < < ，令 ′( ) < 0，得 > ，
2 2
3 3
所以 ( )在(0, )上单调递增，在( , +∞)上单调递减，
2 2
3 4
所以 ( )max = ( ) = ， 2 27
4 2
所以2 ≥ ，即 ≥ ，
27 27
2
所以 的取值范围为：[ , +∞)；
27
1 1
(3)由 2 ln >
1
，
1 1
得 2 ln >
1
，
1 1
由(1)可得当 > 1时， 1 > 0，
当 ≤ 0， > 1时， ( 2 1) ln < 0，
不符合题意，舍去，
当 > 0时，
1
令 ( ) = 2 ln + ， > 1，

则对 ∈ (1,+∞)， ( ) > 0恒成立，且 (1) = 0，
1 1
因为 ′( ) = 2 +
2
，

所以 ′(1) = 2 1 + 1 = 2 1，

1
当2 1 < 0，即0 < < 时， ′(1) < 0，
2
则存在 0 > 1，使得 ′( ) < 0在(1, 0)上成立，
所以 ( )在(1, 0)上单调递减，
此时 ( ) < (1) = 0，不符合题意；
第 8 页，共 11 页
1
当2 1 ≥ 0，即 ≥ 时，
2
1 1 1 1
′( ) = 2 + ≥ +
1
2 2
2
1 1 1 3 2 +1 2 2 +1 ( 1)
> +
2
= >
2 2
= 2 > 0，
所以 ( )在(1,+∞)上单调递增，所以 ( ) > (1) = 0．
1
综上， 的取值范围为：[ , +∞).
2
19.【答案】解：(1){ }是“ 数列”，理由如下：
3 2+5 1, = 1 4, = 1因 = ，则 = { = { ． 2 2, ≥ 2 3 + 1, ≥ 2
又 1 = 3 × 1 + 1 = 4，则 = 3 + 1，故 +1 = 3 + 4，
+1 3 +4 1 = > 1 > ，且 +1
3 +4
= < 4，
3 +1 4 3 +1
1
则{ }满足 ≤ +1 ≤ 4 ，即{ }是“ 数列”； 4
(2)若{ }是首项为1，公比为 的等比数列，且数列{ }和{ }均是“ 数列”．
1
≤ +1 ≤ 4
( )因数列{ }和{ }均是“ 数列”，则{
4 ，
1
≤
4 +1
≤ 4
当 = 1时，显然满足条件；
1 1
当 ≠ 1时， ≤ ≤ 4 1 1
4 +1
≤ ≤ 4 ，
4
1 1
若 < 0，且 1为奇数时，则4 ≤ ≤ ，矛盾； 1为偶数时， ≤ ≤ 4，矛盾．
4 4
1
故 > 0，则 ≤ < 1或1 < ≤ 4；
4
1 1 1 1 +1 1
此时， ≤ ≤ ( ) ≤ ≤ 4( )
4 +1 4 1 1 1
1 1
+1 4 + 3 ≥ 0
若 ≤ < 1，则 (1 ) ≤ 1 +1 ≤ 4(1 ) {
4 4 +1 1 3 ≤ 0
4 4
( 4) + 3 ≥ 0
{ 1 3 恒成立．
( ) ≤ 0
4 4
1 15 1
当 = 时，函数 ( ) = ( 4) + 3 = ( ) + 3, ∈ 单调递增，要使
4 4 4
15 ( 4) + 3 ≥ 0恒成立，则 ( ) = (1) = 3 > 0， 16
1 3 3 1
此时 ( ) = < 0，则 = 满足条件；
4 4 4 4
第 9 页，共 11 页
1
当 < < 1时，
4
1 3
函数 ( ) = ( 4) + 3， ∈ 单调递增， ( ) = ( ) , ∈ 单调递减，
4 4
( 4) + 3 ≥ 0 ( ) = (1) = ( 3)( 1) ≥ 0
则要使{

1 3 恒成立，需满足{ 3 ，
( ) ≤ 0 ( ) = (1) = ( 1)( + ) ≤ 04 4 4
3 1
解得： ≤ ≤ 1，则 < < 1满足条件；
4 4
+11 4
+ 3 ≤ 0
若1 < ≤ 4，则4(1 ) ≤ 1 +1 ≤ (1 ) { +1 1 3 4 ≥ 0
4 4
( 4) + 3 ≤ 0
{ 1 3 恒成立． ( ) ≥ 0
4 4
当 = 4时，注意到 ( 4) + 3 = 3 > 0，则 = 4不满足条件；
当1 < < 4时，
1 3
函数 ( ) = ( 4) + 3， ∈ 单调递减， ( ) = ( ) , ∈ 单调递增，
4 4
( 4) + 3 ≤ 0 ( ) = (1) = ( 3)( 1) ≤ 0
则要使{ 1 3 恒成立，需满足{ 3 ， ( ) ≥ 0 ( ) = (1) = ( 1)( + ) ≥ 04 4 4
1
解得1 < ≤ 3.综上可知，为使数列{ }和{ }均是“ 数列”， ≤ ≤ 3； 4
1
( )由( )可知， ∈ 且 > 1时， 的取值只有2，3两种可能，则 恰为偶数的概率为 ；
2
(3)设等差数列{ }公差为 ，又 1 = 1，
则 = 1+ ( 1) = + 1 .因等差数列{ }是“ 数列”，
1 1
则 ≤ +1 ≤ 4 ( + 1 ) ≤ + 1 ≤ 4( + 1 ) 4 4
3 3
{ + + ≥ 04 4 4 恒成立．
3 + 3 4 ≥ 0
因 1 + 2 + 3 + + = 501 ，则 ≠ 0．
3 3
若 < 0，则函数 ( ) = + + , ( ) = 3 + 3 4 均在 ∈ 上递减，
4 4 4
3 3
则当 趋近无穷大时，{ + + ≥ 04 4 4 不成立；
3 + 3 4 ≥ 0
3 3
若 > 0，则函数 ( ) = + + , ( ) = 3 + 3 4 均在 ∈ 上递增，
4 4 4
3 3 3 ( ) = (1) = + ≥ 0
则为使{ + + ≥ 04 4 4 恒成立，则{ 4 ，
3 + 3 4 ≥ 0 ( ) = (1) = 3 ≥ 0
第 10 页，共 11 页
解得0 < ≤ 3．
综上可知：0 < ≤ 3．
( 1) 1000
由 1 + 2 + 3 + + = 501 ，可得 + = 501 = + 1， 2
1000
则要使 最小，且为正整数，则取 为大于( + 1)的最小整数，即335，
3
1000 1000 500
此时335 = + 1 = = ．
334 167
第 11 页，共 11 页