河北省2025届高三上学期11月调研数学试卷（二）（PDF版，含答案）

河北省 2025 届高三上学期 11 月调研数学试卷（二）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = ∪ = { ∈ | 2 10 ≤ 0}， ∩ ( ) = {1,3,5,7}，则集合 =( )
A. {2,4,6,8} B. {2,4,6,8,9,10}
C. {0,2,4,6,8,10} D. {0,2,4,6,8,9,10}
2.函数 = √ lg( 1)的定义域为( )
A. { | > 1} B. { | ≥ 2} C. { | > 10} D. { | ≥ 11}
3.若事件 ， 发生的概率分别为 ( )， ( )，( ( ) > 0, ( ) > 0)，则“ ( | ) = ( )”是“ ( | ) =
( )”的( )条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分且必要 D. 既不充分又不必要
4.球 是棱长为1的正方体的外接球，则球 的内接正四面体体积为( )
1 √ 6 1 √ 6
A. B. C. D.
2 6 3 4
5.某同学掷一枚正方体骰子5次，记录每次骰子出现的点数，统计出结果的平均数为2，方差为0.4，可判断
这组数据的众数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
1 1
6.已知 > 1， > 0，且 + = 1，则4 + 的最小值为( )
1
15+5√ 5
A. 13 B. C. 14 D. 9 + √ 65
2
7.已知函数 ( )的定义域为 ，且 (2 + 1)为奇函数， (2 + 4) = (2 )，则一定正确的是( )
A. ( )的周期为2 B. ( )图象关于直线 = 1对称
C. ( + 1)为偶函数 D. ( + 3)为奇函数

8.已知函数 ( ) = 2 ( )( > 0)在区间( , )上有且仅有一个零点，当 最大时 ( )在区间
3 3
[ 100 , 100 ]上的零点个数为( )
A. 466 B. 467 C. 932 D. 933
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若(2 1)8 = 8
8 + 7 67 + 6 + +
2
2 + 1 + 0，则( )
A. 0 = 1
B. 3 = 8
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C. 1 + 2 + 3 + + 7 + 8 = 0
D. 1 2 + 3 4 + + 7 8 = 6561
10.已知平面内点 ( 1,0)， (1,0)，点 为该平面内一动点，则( )
A. | | + | | = 4，点 的轨迹为椭圆
B. | | | | = 1，点 的轨迹为双曲线
C. | | | | = 1，点 的轨迹为抛物线
| |
D. = 2，点 的轨迹为圆
| |
11.如图，圆锥 的底面直径和母线长均为6，其轴截面为△ ， 为底面半圆弧 上一点，且 = 2 ，
= ， = (0 < < 1,0 < < 1)，则( )
1 √ 10
A. 当 = 时，直线 与 所成角的余弦值为
2 20
1 27√ 3
B. 当 = = 时，四面体 的体积为
2 16
2 1
C. 当 = 且 //面 时， =
3 2
4
D. 当 ⊥ 时， =
7
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2
12.双曲线 ：
2
2 = 1( > 0, > 0)的左焦点为 ，右顶点为 ，点 到渐近线的距离是点 到渐近线距离

的2倍，则 的离心率为______．
13.已知数列{ }满足 = ( 1) (2 1)，其前100项中某项正负号写错，得前100项和为 50，则写错的
是数列中第______项.
14.如图所示，△ 中， ， 是线段 的三等分点， 是线段 的中点，
与 ， 分别交于 ， ，则平面向量 用向量 ， 表示为______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且2 2 2 2 = 2 ．
(1)求角 的大小；
3√ 3
(2)若 + = 5，△ 的面积为 ，求△ 的周长．
2
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， // ， ⊥ ， = = 2 ，△ 为等
边三角形且垂直于底面 ．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求平面 与平面 夹角的正弦值．
17.(本小题15分)
1
已知函数 ( ) = + + ( ∈ )．

(1)当 = 1时，求 ( )的图象在点(1,2)处的切线方程；
(2)当 = 0时，求 ( )的单调区间；

(3)若函数 ( ) = [ ( ) ] + 2 单调递增，求实数 的取值范围．
2
18.(本小题17分)
2 2 √ 2
椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)左右顶点分别为 ， ，且| | = 4，离心率 = ． 2
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与抛物线 2 = 4 相切，且与 相交于 、 两点，求△ 面积的最大值．
19.(本小题17分)
(1)在复数范围内解方程 3 = 1；
| |
(2)设 1 ∈ ， 2 ∈ 且 2 ≠ 0，证明：|
1 | = 1 ；
2 | 2|
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(3)设复数数列{ }满足：| | = 1，且对任意正整数 ，均有4 2 2 1 +1 + 2 +1 + = 0.证明：对任意正偶数
2√ 3
，均有| 1 + 2 + + | < ． 3
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】38
3 3
14.【答案】
20 10
15.【答案】解：(1)根据题干已知2 2 2 2 = 2 ，
根据余弦定理可得 2 + 2 2 = 2 ，
因此2( 2 2) = 2 + 2 2 ，所以 2 + 2 2 = ，
2
+ 2 2 1
所以 = = ．
2 2

又因为 ∈ (0, )，所以 = ．
3
3√ 3 1 1 3√ 3
(2)由于三角形 的面积为 ，所以 = × × × sin = ，
2 2 2 3 2
所以 = 6．
根据余弦定理得 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2 = ( + )2 3 = 25 18 = 7．
所以 = √ 7．
因此三角形 周长为5 + √ 7．
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16.【答案】解：(1)证明：如图所示，取 中点 ，△ 为等边三角形，所以 ⊥ ，
又因为面 垂直于底面 ，交线为 ，
得 ⊥面 ，
又 面 ⊥ ．
底面 为直角梯形， // ， = = 2 ，
= ， = ，∠ = ∠ = 90°，
所以△ ≌△ ，∠ = ∠ ，∠ + ∠ = 90°，
所以∠ + ∠ = 90°，得 ⊥ ，
又 ∩ = ，得 ⊥面 ， 面 ，
所以 ⊥ ；
(2)由(1)知 ⊥面 ，
不妨设 = = 2 = 2，则 = √ 3，
以 为坐标原点，过点 与 平行的直线为 轴，分别以 、 所在直线为 轴和 轴建立如图所示的空间
直角坐标系，
得 (0,0,√ 3)， (1,0,0)， (1,1,0)， ( 1,2,0)，
= (1,0, √ 3)， = (1,1, √ 3)， = ( 1,2, √ 3)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
则{
= 0 √ 3 = 0，{ ，
= 0 + √ 3 = 0
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可取 = (3,0,√ 3)，
设平面 的一个法向量为 = ( 1, 1, 1)，
则{ = 0
+ √ 3 = 0
，即{ 1 1 1 ，
= 0 1 + 2 1 √ 3 1 = 0
可取 = (1,2, √ 3)，
设平面 与平面 夹角为 ，
3×1+√ 3×√ 3 √ 6
则 = |cos < , > | = | | = = ，
| |×| | √ 9+3 √ 1+4+3 4
所以平面 与平面 夹角的正弦值为√ 10．
4
1
17.【答案】解：(1)当 = 1时， ( ) = + + ( > 0)，

1
得导函数 ′( ) = + 2 2，所以 ′(1) = 1，
因此函数 ( )的图象在点(1,2)处的切线方程为 = + 1．
1
(2)由于当 = 0时，函数 ( ) = + ( > 0)，

1 1 2
导函数 ′( ) = + 1 2， ″( ) = + 3 > 0．
1
因此导函数 ′( ) = + 1 2在(0,+∞)上单调递增，又因为 ′(1) = 0，
所以当 ∈ (1,+∞)时，导函数 ′( ) > 0，函数 ( )单调递增，
当 ∈ (0,1)时，导函数 ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
综上所述：函数 ( )单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1)．
1
(3)根据函数 ( ) = + + ，且函数 ( ) = [ ( ) ] + 2 ，
2
1 2
得函数 ( ) = [ + + ] + 2 = 2 + 2 + 2 + 1单调递增，
2 2
因此导函数 ′( ) ≥ 0在(0,+∞)上恒成立，
2 2
又因为导函数 ′( ) = 2 + + 2 + = 2 + 2 +

2
根据题意 ′( ) ≥ 0恒成立，所以2 + 2 + ≥ 0，

1 1 1
所以 + + ≥ 0恒成立，所以 ≥ ≥
2
恒成立，
1 1 2 2 2
设函数 ( ) = ，得导函数 ′( ) = + = ，
2 3 3
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(0,√ 2) √ 2 (√ 2,+∞)
′( ) + 0
1
( ) ↗ 极大值 ln√ 2 ↘
2
1
因此当 = √ 2时，函数 ( )最大为 ln√ 2 ．
2
1 1
因此 ≥ 2恒成立，可得 ≥ ln√ 2 ． 2
1
综上所述，如果 ( ) = [ ( ) ] + 2 单调递增，那么实数 的取值范围为[ ln√ 2 ,+∞)．
2 2
18.【答案】解：(1)因为| | = 4，
所以2 = 4，
解得 = 2，
√ 2
因为椭圆 的离心率为 ，
2
√ 2
所以 = ，
2
解得 = √ 2，
又 2 = 2 2 = 4 2 = 2，
2 2
则椭圆 的方程为 + = 1；
4 2
(2)直线 斜率不存在时，直线 方程为 = 0，
此时| | = 2√ 2，
1
则 △ = × 2√ 2 × 2 = 2√ 2； 2
当直线 斜率存在时，
设直线 的方程为 = + ，
= +
联立{ 2 ，消去 并整理得
2 2 + (2 4) + 2 = 0，
= 4
此时 = (2 4)2 4 2 2 = 0，
解得 = 1，
= +
联立{ 2 2 2 2 ，消去 并整理得(1 + 2 ) + 4 + 2 2 4 = 0，
+ = 1
4 2
因为 = 1，
所以(1 + 2 2) 2 + 4 + 2 2 4 = 0，
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此时 > 0，
√ 5 1
解得 2 > ，
4
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
4 2 2 4
由韦达定理得 1 + 2 = 2， 1 2 = 2，
1+2 1+2
2
4 2 2 4 16 4(2 2 4)(1+2 )
所以| | = √ 1 + 2√ ( 2)
2 4 = √ 1 + 22 √ 2 2
1+2 1+2 (1+2 )
2 2
2 16 8
2+32 2 2+4
= √ 1 + √ 22 2 = 2√ 2√ 1 + √ 2 2 ，
(1+2 ) (1+2 )
|2 + |
又点 到直线 的距离 = ，
√ 2 1+
2 2 2
1 2 2
2+4 |2 + | (2 2+4 )(2 + )
所以 △ = × 2√ 2√ 1 + √ 2 2 = √ 2√ 2 2 2
(1+2 ) √ 2 (1+2 ) 1+
2 2 2 4
(2 2+4 )(4 +4+ 2) 24 +8 2 2 4+16
= √ 2√ 2 2 = √ 2√ 2 2
(1+2 ) (1+2 )
2 2
4 2 2 +1 2 2 2 +1
8(2 +3 +1) 8(2 +1)( +1)
= √ 2√
4 √ 4
2 2 = √ 2 2 2
(1+2 ) (1+2 )
2 1
8( +1) 4 6 4 6 4√ 8 +8 1 √ 8 +8 1= √ 2 2 = √ 2√ 4 2 = √ 2 6 4
1+2 (1+2 ) 2 +
6 4 4 4 2 2
8 +4 +4 1 4 1 (2 +1)(2 1)
= √ 2√ √6 4 = √ 2 4 + 6 4 = √ 2√ 4 + 4 2
2 + 2 + (2 +1)
1 2
= √ 2√ 4 +
2
+ 4，

1 1 2
易知当 2 = 1时，√ 2√ 4 + 2 + 4取得最大值，最大值为√ 10．

综上所述，△ 的面积的最大值为√ 10．
19.【答案】解：(1)由 3 = 1得 3 1 = 0，即( 1)( 2 + + 1) = 0，
由 1 = 0解得 = 1，
2 1±√ 3 1±√ 3 由 + + 1 = 0，利用二次方程求根公式得 = ，即 = ，
2 2
3 1+√ 3 1 √ 3 ∴ = 1的根为 1 = 1， 2 = ， 2 3 = ． 2
(2)证明：由 1 ∈ ， 2 ∈ ，
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可设 1 = 1 + 1 ， 2 = 2 + 2 ，( 1, 1, 2, 2 ∈ )．
+ ( + ) ( )
∴ | 1 | = | 1 1 | = | 1 1 2 2 | = | 1 2
+ 1 2+( 2 1 1 2) |
2 2+ 2 ( 2+ 2 ) ( 2 2 ) 2
2
2+ 2
√ 2 2 2 2 2 ( √ 2 2 2 21 2+ 1 2) +( 2 1 1 2) 1 2+ 1 2+ 2 1+ 1
2
2
= 2 =2 2 2 ； 2+ 2 2+ 2
2 2 2 2 2 2
| | + √ + 1 √ + 1√ + 2 √
2
1 1 2 1
2 2
2+ 1
2
2+
2
2
2+12 2
1 1 2= | 1 1 | = =
| | + 2 2 2
= 2 ，
2 2 2 √ 2+ 2+
2+
2 2
2 2 2
1 | 1|故| | = ．
2 | 2|
(3)证明：由于| 1| = 1，且对任意正整数 ，均有4
2
+1 + 2 +1 +
2
= 0，故 ≠ 0( ∈ +)，

整理得4( +1)2 + 2( +1) + 1 = 0( ∈
+
)，

+1 1±√ 3 解得 = ( ∈ +)． 4
| +1| +1 1±√ 3 1 1 1∴ = | | = | | = ，故| | = | | =| | 4 2 1 2 1 2 1
( ∈ +)

| |
进而由| 1 | = 1 得，
2 | 2|
1 3±√ 3 √ 3
| + +1| = | (1 +
+1
)| = | | |1 +
+1 | = 1 | | = ( ∈ +)①， 2 4 2
∵ 为偶数，| 1 + 2 + + | = |( 1 + 2) + ( 3 + 4) + + ( 1 + )|，
又|( 1 + 2) + ( 3 + 4) + + ( 1 + )| ≤ | 1 + 2| + | 3 + 4| + + | 1 + |，
利用①得| 1 + 2| + | 3 + 4| + + | 1 + |，
√ 3 1 √ 3
√ 3 √ 3 √ 3 √ 3 [1 ( )2 ] 2√ 3
= + 3 + 5 + + =
2 4 < 2 = ，
2 2 2 2 1 1 31 3
4 4
2√ 3
∴对任意正偶数 ，均有| 1 + 2 + + | < ． 3
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