黑龙江省哈尔滨市德强高级中学2025届高三上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

黑龙江省哈尔滨市德强高级中学 2025届高三上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知 = 1，则| | =( )

A. 0 B. 1 C. √ 2 D. 2
2.已知命题 ；命题 ，则( )
A. 和 都是真命题 B. 的否定和 都是真命题
C. 和 的否定都是真命题 D. 的否定和 的否定都是真命题
3.已知平面向量 , 满足| | = 1, | | = 2, ( ) ⊥ ，则| + | =( )
A. 3 B. √ 3 C. √ 7 D. 1
4.以下命题中真命题的是( )
A. 各侧面都是矩形的棱柱是长方体 B. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C. 体对角线都相等的平行六面体是长方体 D. 各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱
1
5. ， ∈ ，函数 ( , ) = √ ( 1)2 + ( 4)2 + |3 + 4 5|的最小值为( )
5
12 14 16
A. 2 B. C. D.
5 5 5
6.已知函数 ( ) = 3 +3 + 1，若关于 的方程 (sin )+ ( + cos ) = 2有实数解，则 的取值范围为( )
A. [ 1,√ 2] B. [ 1,1] C. [0,1] D. [ √ 2, √ 2]
7.已知正三棱台 1 1 1的侧面积为6， = 3 1 1， 1 = √ 2，则 1与平面 所成角的余弦值
为( )
√ 6 2√ 2 √ 6 √ 10
A. B. C. D.
3 3 4 4
8.如图，在长方体 1 1 1 1中， = 3， = 1 = 2，点 在矩形
1 1内运动(包括边界)， ， 分别为 ， 1的中点，若 1 //平面 ，
当 1 取得最小值时，∠ 1 的余弦值为( )
√ 5 2√ 5 √ 10 3√ 10
A. B. C. D.
5 5 10 10
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1
9.已知0 < < < ，且sin( ) = ，tan = 5tan ，则( )
4 3
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5 1
A. sin cos = B. sin cos =
6 12
5
C. sin2 sin2 = D. + =
36 6
2 +1
10.已知等差数列{ }和{ }的前 项和分别为
+
和 ，且 = ， ∈ ，则下列结论正确的有( ) +1
61
A. 数列{ }是递增数列 7B. =
5 20
1 2 3C. 使 为整数的正整数 的个数为0 D. 的最小值为
1 2 2
11.已知定义在实数集 上的函数 ( )，其导函数为 ′( )，且满足 ( + ) = ( ) + ( ) + 2 ， (1) = 1，
′(1) = 2，则( )
A. (0) = 0 B. ( 2) = 4 C. ′(0) = 1 D. ′(2) = 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12.已知集合 = { | ≤ 0}， = { ∈ ‖ | ≤ 2}，则 ∩ = ______．
+2
13.已知正三棱柱 1 1 1的体积与以△ 的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的
侧面积的比值为 ．
14.将两个观赏球体封闭在一个正方体容器内，设正方体棱长为1，则两个球体体积之和的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
√ 39
在锐角 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ． = √ 13，sin2 = cos ．
13
(1)求 ；
2√ 39
(2)若sin = ，求 的周长．
13
16.(本小题15分)
1
已知函数 ( ) = + ．

(1)当 = 1时，求 ( )在(1, (1))处的切线方程；
(2)若 ( )存在最大值，且最大值小于0，求 的取值范围．
17.(本小题15分)
2 , 是偶数
已知数列{ }满足 1 = 3，且 +1 = { ．
1, 是奇数
(1)设 = 2 + 2 1，证明：{ 3}是等比数列；
(2)求数列{ }的通项公式．
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18.(本小题17分)
如图，菱形 的边长为4，∠ = 60°， 为 的中点.将△ 沿 折起，使 到达 ′，连接 ′ ， ′ ，
得到四棱锥 ′ ．
(1)证明： ⊥ ′ ；
3
(2)当二面角 ′ 的平面角在[ , ]内变化时，求直线 ′ 与平面 ′ 所成角的正弦值的最大值．
4 4
19.(本小题17分)
当 1 , 2 , , ∈
，且 1 < 2 < < 时，我们把 , , , 叫做数列{ }的 阶子数列，若1 2
, , , 成等差(等比)数列，则称 , 1 2 1 , … , 为数列{ }的 阶等差(等比)子数列.已知项数为 ( ≥2
4，且 ∈ )的等差数列{ }的首项 1 = √ 2，公差 = 2．
(1)写出数列 1， 2， ， 6的所有3阶等差子数列；
(2)数列{ }中是否存在3阶等比子数列，若存在，请至少写出一个；若不存在，请说明理由；
(3)记数列{ }的3阶和4阶等差子数列个数分别为 ， ，求证： ≤ 2 ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】{0,1}
13.【答案】2
(9 5√ 3)
14.【答案】
2
√ 39
15.【答案】解(1)因为 sin2 = 2sin cos = cos ，
13
( 2√ 39由 ∈ 0, ) ， cos ≠ 0 ，所以 = ．
2 sin 3
√ 3
由正弦定理 = ，所以 sin = = ．
sin sin 2
sin

因为 为锐角，所以 = ．
3
sin
(2)由正弦定理得 = = 4 ．
sin

在锐角 中， 2 = 2 + 2 2 cos ，即 13 = 16 + 2 2 × 4 cos ，
3
解得 = 1 或 = 3 ．
2 2
2
+
当 = 1 时， cos = < 0 ， 为钝角，不符合题意．
2
当 = 3 时，经验证，符合题意．
故 的周长为 + + = 7 +√ 13 ．
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16.【答案】解：(1)当 = 1时， ( ) = + 1，函数定义域为(0,+∞)，
1
可得 ′( ) = 1 + ，

此时 ′(1) = 2，
又 (1) = 0，
所以 ( )在(1, (1))处的切线方程为 = 2( 1) = 2 2，
即2 2 = 0；
1
(2)易知 ′( ) = + ，

当 ≥ 0时， ′( ) > 0对任意 ∈ (0,+∞)恒成立，
所以 ( )在(0,+∞)上单调递增，无极值，不符合题意；
当 < 0时，
1
当0 < < 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；

1
当 > 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，

1 1 1
所以当 = 时， ( )取得极大值，极大值 ( ) = 1 ln( ) ，无极小值，

1 1
此时 ( ) = 1 ln( ) < 0，

1
即1 + ln( ) + > 0，

1
设 ( ) = 1 + ln( ) + ( < 0)，

1 1
可得 ′( ) = 2 < 0，
所以 ( )在( ∞,0)上单调递减，
又 ( 1) = 0，
1
此时不等式1 + ln( ) + > 0等价于 ( ) > ( 1)，

解得 < 1．
综上所述， 的取值范围为( ∞, 1)．
2 , 是偶数
17.【答案】解：(1)证明：∵数列{ }满足 1 = 3，且 +1 = {
．
1, 是奇数
∴ 2 = (2 1)+1 = 2 1 1，
∵ = 2 + 2 1，∴ +1 = 2 2 +1 1， = 2 2 +1，
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+1
∴ +12 +1 = ,2 2 = 1， 2
+1
∵ 2 +1 = 2 ，∴
+1
2 = 1，∴ +1 3 = 2( 3)， 2
∵ 1 3 = 1 + 2 3 = 2 = 2 ≠ 0，∴ 3 ≠ 0，

∴ +1
3
= 2，
3
∴数列{ 3}是以2为首项，2为公比的等比数列．
(2) ∵数列{ 3}是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴ 3 = 2 2 1 = 2 ，即 = 2 +3，
∵ = 2
1
2 + 1，∴ 2 = 1+ 2 ，
∵ = 1 2 + 2 1 = 2 2 1 1，∴ 2 1 = 2 + 2 ，

1+ 2 12 , 为偶数
∴ = { 1 ．
2+ 2 2 , 为奇数
18.【答案】解：(1)证明：在菱形 中， 为 的中点，∠ = 60°，
∴ ⊥ ，
在翻折过程中，恒有 ⊥ ′ ， ⊥ ，
又 ′ ∩ = ， ′ 平面 ′ ， 平面 ′ ，
∴ ⊥平面 ′ ，
又 ′ 平面 ′ ，
∴ ⊥ ′ ；
(2) (1) 3 由题意及 得，∠ ′ 为二面角 ′ 的平面角，记其为 ，则 ∈ [ , ]，
4 4
以 的方向为 轴的正方向， 的方向为 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0), ′(2 , 0,2 ), (0,2√ 3,0), (4,2√ 3,0)，
∴ ′ = (2 , 0,2 ), = (0,2√ 3, 0)，
设平面 ′ 的法向量 = ( , , )，
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′ = 0 2 + 2 = 0则{ ，即{ ，
= 0 2√ 3 = 0
则可取 = ( , 0, ), ′ = (4 2 , 2√ 3, 2 )，

′
4 1
则cos < ′ , >= = = =| ′ || | √ 32 16 √ 2 2 ， √
1 cos2
1 1
3 cos <
′ , >= = =
令 = 2 , ∈ [ , ]，得 √ 2 √ 2 ∈ [2 , 2 + ]，

√ 1
4 4 2 2 3+4 2 √ 3 ( + )+4

√ 3 ( + ) + 4 ≤ √ 3 1，

当且仅当 = √ 3时，等号成立，
设直线 ′ 与平面 ′ 所成角为 ，
则 = |cos < ′ , > |，
√ 2 √ 2
∵ √ 3 ∈ [2 , 2 + ]，
2 2
∴直线 ′ 与平面 ′ 所成角的正弦值的最大值为√ 3 1．
19.【答案】解：(1)所求三阶等差子数列为 1， 2， 3； 2， 3， 4； 3， 4， 5； 4， 5， 6； 1， 3， 5； 2，
4， 6．
(2)由题意得等差数列{ }的通项为 = √ 2 + 2( 1)，
假设存在三阶等比子数列 +1， +1， +1(0 ≤ < < ≤ 1)，
则 2 +1 = +1 +1，
即(√ 2 + 2 )2 = (√ 2 + 2 )(2√ 2+ )，
化简得2√ 2(2 ) + 4( 2 ) = 0，
2 = + ,
所以{
2 = ,
+
消 得( )2 = ，
2
即( )2 = 0，
所以 = 与0 ≤ < < ≤ 1矛盾，故假设不成立，
因此数列{ }不存在三阶等比子数列．
(3)先求 的值，
1
( 1) 2
2 ( 1)当 为奇数时， = ( 2) + ( 4) + +3 + 1 = = ；
2 4
2
× ( 2)
当 为偶数时， = ( 2) + ( 4) + +4 + 2 = 2 = ，
2 4
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2
( 1)
, = 2
4 1
+ 1,
所以 = { ( ∈ )．
( 2) 1
, = 2 1+ 2,4
再求 的值，
3
× ( 3)
当 = 3 2( 2 ∈ )时， = ( 3)+ ( 6)+ + 3 =
3 = ，
2 6
1
( 2) ( 1)( 2)
当 = 3 2+ 1时， = ( 3) + ( 6) + +4 + 1 =
3 = ，
2 6
2
( 1) ( 1)( 2)
当 = 3 2+ 2时， = ( 3) + ( 6) + +5 + 2 =
3 = ，
2 6
( 3)
, = 3 2,
6
( 1)( 2)
所以 = , = 3
6 2
+1, ( 2 ∈ ),
( 1)( 2)
{ , = 3 2 +2,6
( 3)
6 2 3 2 1所以当 = 6 ( ∈ )时， = ( 2) = = (1 + )， 3 2 3 2
4
2 1
因为 ( ) = (1 + )在(1,+∞)上单调递增，所以 ( ) ≥ (1)，
3 2
2×3 1
即此时 ≥ = ，即 ≤ 2 成立；
3×4 2
2 2 2×5 5 1
同理当 = 6 + 1时， = ≥ = > ，即 ≤ 2 成立；
3 1 3×6 9 2
2 1 2×7 7 1
当 = 6 + 2时， = ≥ = > ，即 ≤ 2 成立；
3 3×8 12 2
2 ( 3)
当 = 6 + 3时， = 2，要证 ≤ 2 成立，只需证明4(
2 3 ) ≥ 3( 2 2 +1)
3 ( 1)
2 6 3 ≥ 0，因为 = 6 +3( ∈ )，
故 2 6 3 ≥ 24 > 0，即 ≤ 2 成立；
2 1 2×3 1 1
当 = 6 2时， = ≥ = ≥ ，即 ≤ 2 成立；
3 3×4 2 2
2 2 2×3 1 1
当 = 6 1时， = ≥ = ≥ ，即 ≤ 2 成立，
3 1 3×4 2 2
综上 ≤ 2 成立．
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