山东省济宁市兖州区实验高级中学2025届高三上学期质检数学试卷（PDF版，含答案）

山东省济宁市兖州区实验高级中学 2025 届高三上学期质检数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | ≤ 3或 > 2}， = { | ≤ 1}，若 ∪ = ，则实数 的取值范围是( )
A. ( 4, +∞) B. [ 4, +∞) C. (3, +∞) D. [3, +∞)
2
2.“ = 1或 = 4”是“幂函数 ( ) = ( 2 3 3) + 3在(0, +∞)上是减函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
( 5) 2, ≥ 2 ( ) ( )
3.函数 ( ) = { 2 ，若对任意 1， 2 ∈ ( 1 ≠ 2)，都有
1 2 < 0成立，则实
+ 2( 1) 3 , < 2 1 2
数 的取值范围为( )
A. [ 4, 1] B. [ 4, 2] C. ( 5, 1] D. [ 5, 4]

sin( ) 2
4.已知 = 2，则 4 =( )
sin( + )
4
1 7 1 7
A. B. C. D.
5 3 5 3
1
5.函数 = lg 的大致图象为( )
| +1|
A. B.
C. D.

6.当 = 1时，函数 ( ) = + 取得最大值 2，则 ′(2) =( )

1 1
A. 1 B. C. D. 1
2 2
7.已知函数 ( ) =
+1
( 1)，则使 ( )有零点的一个充分条件是( )

A. < 1 B. 1 < < 0 C. 0 < < 1 D. > 1
2 3 18.已知函数 ( ) = 2 ， = (ln√ 2)， = ( )， = ( )，则( )
3
A. < < B. < < C. < < D. < <
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数 ( ) = 2 3 3 2 + 1，则( )
A. 当 > 1时， ( )有三个零点
B. 当 < 0时， = 0是 ( )的极大值点
C. 存在 ， 使得 = 为曲线 = ( )的对称轴
D. 存在 使得点(1, (1))为曲线 = ( )的对称中心
10.若正实数 ， 满足 + = 1，则下列说法错误的是( )
1
A. 有最小值 B. 8√ + 8√ 有最大值8√ 2
4
1 1 √ 2
C. + 有最小值4 D. 2 + 2有最小值
2
+1
, < 0
11.函数 ( ) = { ，关于 的方程 2( ) | ( )| = 0( ∈ )，则下列正确的是( )
3

, ≥ 0
A. 函数 ( )的值域为
B. 函数 ( )的单调减区间为( ∞, 0)，[1, +∞)
1
C. 当 = 时，则方程有4个不相等的实数根
2
3
D. 若方程有3个不相等的实数根，则 的取值范围是( , +∞)

三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
3
12.设正实数 ， 满足 = 10，lg lg = ，则lg = ．
4
13.已知函数 ( )的定义域为 ，且 ( + 2) 2为奇函数， (3 + 1)为偶函数， (1) = 0，则∑2024 =1 ( ) =
______．
3 , 0 ≤ ≤ 1,
14.已知函数 ( ) = { 若存在实数 1, 2满足0 1 < 2，且 ( 1) = ( 2)，则 2 6 1的取值ln , > 1,
范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
函数 ( ) = lg( 2 2 3)的定义域为集合 ，函数 ( ) = 2 ( ≤ 2)的值域为集合 ．
(1)求集合 ， ；
(2)若集合 ， 满足 ∩ = ，求实数 的取值范围．
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16.(本小题15分)
2 4
已知 = 3， ∈ (0, )．
2 4 +1 2
(1)求 和 2 的值；

(2)若 = 2 ( + )， ∈ (0, )，求 + 的大小．
2 2
17.(本小题15分)
已知函数 ( ) = 3．
(1)当 = 1时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)若 ( )有极小值，且极小值小于0，求 的取值范围．
18.(本小题17分)
2
如图，在扇形 中，∠ = ，半径 = 2.在弧 上取一点 ，向半径 、 分别作垂线，与线段 、
3
分别相交于 、 ，得到一个四边形 ．
(1)设∠ = ，将四边形 的面积 表示成 的函数；
(2)求四边形 的面积 的最大值．
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = ．
(1)当 = 1时，讨论 ( )的单调性；
(2)当 > 0时， ( ) < 1，求 的取值范围；
1 1 1(3)设 ∈ ，证明： + + + > ln( + 1)．
√ √
2+
12+1 √ 22+2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】±2
13.【答案】4048
14.【答案】[2 2ln2, 3 6]
15.【答案】解：(1) = { | 2 2 3 > 0} = { |( 3)( + 1) > 0} = { | < 1，或 > 3}，
= { | = 2 , ≤ 2} = { | < ≤ 4 }．
(2) ∵ ∩ = ，∴ ，∴ 4 < 1或 ≥ 3，
∴ ≤ 3或 > 5，
即 的取值范围是( ∞, 3] ∪ (5，+∞)．
2 4 2 4 2 ( 2) 2
16.【答案】解：(1) = = = = 3， 2 = =
2 4 +1 2 2 4 2 (cos 2) sin2 +cos2
2 3
= ；
tan2 +1 5
+
(2) = 2 ( + ) = 2 = 2，tan( + ) = = 1，
2 1 tan tan
∵ + ∈ (0, )，
3
∴ + = ．
4
17.【答案】解：(1)当 = 1时， ( ) = 1，则 ′( ) = 1，
则 ′(1) = 1， (1) = 2，
故曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程 + 2 = ( 1)( 1)，
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即为 = ( 1) 1;
(2) ′( ) = ，
当 0时， ′( ) > 0恒成立， ( )无极值;
当 > 0时，当 > 时， ′( ) > 0，此时 ( )单调递增；
当 < 时， ′( ) < 0，此时 ( )单调递减，
故 ( )在 = 处取极小值，
则 (ln ) = ln 3 < 0，
即 2 + ln 1 > 0，
令 ( ) = 2 + ln 1，
1
则 ′( ) = 2 + > 0恒成立，

故 ( )在(0, +∞)上单调递增，又 (1) = 0，
由 ( ) > 0，得 > 1，
故 的取值范围是(1, +∞)．
18.【答案】解：(1) = △ + △
1 1 2 2
= × 2 × 2 + × 2 ( ) × 2 ( )
2 2 3 3
4
= 2 + sin( 2 )，
3

要得到四边形 ，则 ∈ ( , ).
6 2
4
故 = 2 + sin( 2 )， ∈ ( , ).
3 6 2
4 √ 3 1 3 √ 3
(2) = 2 + sin( 2 ) = 2 + ( 2 + 2 ) = 2 2 = √ 3sin(2 )，
3 2 2 2 2 6
5
由于 ∈ ( , )，可得2 ∈ ( , )，
6 2 6 6 6

可得当2 = ，即 = 时，四边形 的面积 的最大值为√ 3．
6 2 3
19.【答案】解：(1)当 = 1时， ( ) = = ( 1)，
′( ) = ( 1) + = ，
∵ > 0，
∴当 ∈ (0, +∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增；当 ∈ ( ∞, 0)时， ′( ) < 0， ( )单调递减．
(2)令 ( ) = ( ) + 1 = + 1( > 0)，
∵ ( ) < 1， ( ) + 1 < 0，
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∴ ( ) < (0) = 0在 > 0上恒成立，
又 ′( ) = + ，
令 ( ) = ′( )，则 ′( ) = + ( + ) = (2 + ) ，
∴ ′(0) = 2 1，
1 ′( ) ′(0) ′( )
①当2 1 > 0，即 > ， ′(0) = → 0 + = → 0 + > 0，
2 0
′( )
∴ 0 > 0，使得当 ∈ (0, 0)，有 > 0，∴ ′( ) > 0，
所以 ( )单调递增， ( 0) > (0) = 0，矛盾；
1
①当2 1 ≤ 0，即 ≤ ，
2
1 1 1 1
′( ) = + = +ln(1+ ) ≤ +ln(1+ )2 2 ≤ + 2 2 = 0，
所以 ( )在[0, +∞)上单调递减， ( ) ≤ (0) = 0，符合题意．
1
综上所述，实数 的取值范围是 ≤ ．
2
1
(3)求导易得 > 2 ( > 1)，

1
令 = √ 1 + ，

1
1 1 1 1
√ 1 + > 2 √ 1 + ，可得 > ln(1 + )，

√ 1
1
1+ √ 1+

1 +1 1 +1 2 3 +1
> ln( )，∑ =1 > ∑

=1 ln ( ) = ln( × ×. . .× ) = ln( + 1)， √ 2+ 2 1 2 √ +
1 1 1
即 + +. . . + > ln( + 1)．
√ 12
√ 2
+1 √
+
22+2
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