16.1二次根式 课件(共34张PPT)2024-2025学年人教版初中数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 16.1二次根式 课件(共34张PPT)2024-2025学年人教版初中数学八年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 14.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-19 18:51:29 | ||
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文档简介
(共34张PPT)
16.1二次根式
第十六章 二次根式
4.探究二次根式的性质，理解其意义，并会运用二次根式的性质进行化简计算；
素养目标
1.理解二次根式的概念；
2.探究二次根式有意义的条件；
3.理解二次根式的双重非负性；
重点
重点
5.在探究、讨论的过程中学会由特殊到一般地归纳方法.
重难点
知识回顾
1.什么是一个数的平方根？如何表示？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫作a的平方根，用 （a ≥ 0）表示.
2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根． a 的算术平方根记作 （a≥0） ．
新知导入
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1)面积为3的正方形的边长为 ，面积为S的正方形的边长为 .
(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为 m.
S
130
新知导入
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位:s）与开始落下时离地面的高度 h（单位：m）满足关系 h = 5t2．如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为_______．
h = 5t2
你发现这些结果有哪些共同特征？
探究新知
上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ．
【问题1】这些式子分别表示什么意义？
分别表示65，S，3， 的算术平方根．
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
【问题2 】这些式子有什么共同特征？
归纳总结
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数 a ≥ 0
【注意】1．被开方数 a 可以是非负的数或单项式、多项式、分式等；
2．“ ”中一般把根指数 2 省略，写成“ ”．
根号a
二次根号
被开方数
练一练
C
探究新知
不存在，因为实数范围内，负数没有算术平方根.
【问题1】是否存在 ，为什么呢？
【问题2】当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
解：由 x-2 ≥ 0，得 x ≥ 2.
当x ≥ 2时， 在实数范围内有意义.
归纳总结
只有在满足条件 a ≥ 0 时才叫二次根式．即 a ≥ 0 是 为二次根式的前提条件．
1．二次根式有意义的条件是被开方数（式）为非负数，反之也成立，即：
有意义 a ≥ 0．
2．二次根式无意义的条件是被开方数（式）为负数，反之也成立，即：
无意义 a＜0．
二次根式有意义的条件
练一练
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：（1）由题意得 x - 1＞0，
∴x＞1.
解：（2）由 3+x ≥ 0，得，x ≥ -3.
∵分母不能等于零， ∴ x-1 ≠ 0，∴ x ≠ 1.
∴ x ≥ -3 且 x ≠ 1.
归纳总结
【总结】要使二次根式在实数范围内有意义，
即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.
若式子为分式，应同时考虑分母不为零.
探究新知
【问题1】当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
解：由 x2 ≥ 0，得 x 是任意实数，
∴ 当 x 为任意实数时， 都有意义.
由 x3 ≥ 0，得 x ≥ 0，
∴ 当 x ≥ 0 时， 有意义.
探究新知
【问题2】二次根式 的被开方数 a 的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
当 a>0 的时候， 表示 a 的算术平方根，则 >0；
当 a=0 的时候， 表示 0 的算术平方根，则 = 0；
当a≥0时， 是非负数，即 ≥ 0.
归纳总结
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知 a ≥ 0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥ 0.
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
二次根式的双重非负性
02 = 0
探究新知
根据算术平方根及平方的意义填空，你发现了什么？
...
...
算术平方根
平方运算
4
2
0
...
a(a≥0)
观察两者有什么关系？
22 = 4
归纳总结
一般地，
注意：不要忽略 a ≥ 0 这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.a 可以是数，也可以是式.
例题练习
计算：
(ab)2 = a2b2
探究新知
填一填，你能发现什么？
...
平方运算
算术平方根
2
0.1
0
...
a(a≥0)
...
a2
4
0.01
0
2
0.1
0
观察两者有什么关系？
归纳总结
一般地，根据算数平方根的意义，
即任意一个非负数的平方的算术平方根等于它本身.
例题练习
化简：
归纳总结
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
先开方，后平方
先平方，后开方
a ≥ 0
a 取任何实数
a
| a |
意义
表示一个非负数 a 的算术平方根的平方
表示一个实数 a 的平方的算术平方根
D
C
C
A
B
C
D
1
小结
二次根式
概念
含有二次根号
被开方数为非负数
有意义的条件
被开方数（式子）为非负数， 中 a≥0
二次根式的双重非负性
性质
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
谢谢同学们的聆听
16.1二次根式
第十六章 二次根式
4.探究二次根式的性质，理解其意义，并会运用二次根式的性质进行化简计算；
素养目标
1.理解二次根式的概念；
2.探究二次根式有意义的条件；
3.理解二次根式的双重非负性；
重点
重点
5.在探究、讨论的过程中学会由特殊到一般地归纳方法.
重难点
知识回顾
1.什么是一个数的平方根？如何表示？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫作a的平方根，用 （a ≥ 0）表示.
2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根． a 的算术平方根记作 （a≥0） ．
新知导入
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1)面积为3的正方形的边长为 ，面积为S的正方形的边长为 .
(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为 m.
S
130
新知导入
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位:s）与开始落下时离地面的高度 h（单位：m）满足关系 h = 5t2．如果用含有 h 的式子表示 t ，那么 t 为_______．
h = 5t2
你发现这些结果有哪些共同特征？
探究新知
上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ．
【问题1】这些式子分别表示什么意义？
分别表示65，S，3， 的算术平方根．
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
【问题2 】这些式子有什么共同特征？
归纳总结
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数 a ≥ 0
【注意】1．被开方数 a 可以是非负的数或单项式、多项式、分式等；
2．“ ”中一般把根指数 2 省略，写成“ ”．
根号a
二次根号
被开方数
练一练
C
探究新知
不存在，因为实数范围内，负数没有算术平方根.
【问题1】是否存在 ，为什么呢？
【问题2】当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
解：由 x-2 ≥ 0，得 x ≥ 2.
当x ≥ 2时， 在实数范围内有意义.
归纳总结
只有在满足条件 a ≥ 0 时才叫二次根式．即 a ≥ 0 是 为二次根式的前提条件．
1．二次根式有意义的条件是被开方数（式）为非负数，反之也成立，即：
有意义 a ≥ 0．
2．二次根式无意义的条件是被开方数（式）为负数，反之也成立，即：
无意义 a＜0．
二次根式有意义的条件
练一练
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：（1）由题意得 x - 1＞0，
∴x＞1.
解：（2）由 3+x ≥ 0，得，x ≥ -3.
∵分母不能等于零， ∴ x-1 ≠ 0，∴ x ≠ 1.
∴ x ≥ -3 且 x ≠ 1.
归纳总结
【总结】要使二次根式在实数范围内有意义，
即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.
若式子为分式，应同时考虑分母不为零.
探究新知
【问题1】当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
解：由 x2 ≥ 0，得 x 是任意实数，
∴ 当 x 为任意实数时， 都有意义.
由 x3 ≥ 0，得 x ≥ 0，
∴ 当 x ≥ 0 时， 有意义.
探究新知
【问题2】二次根式 的被开方数 a 的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
当 a>0 的时候， 表示 a 的算术平方根，则 >0；
当 a=0 的时候， 表示 0 的算术平方根，则 = 0；
当a≥0时， 是非负数，即 ≥ 0.
归纳总结
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知 a ≥ 0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥ 0.
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
二次根式的双重非负性
02 = 0
探究新知
根据算术平方根及平方的意义填空，你发现了什么？
...
...
算术平方根
平方运算
4
2
0
...
a(a≥0)
观察两者有什么关系？
22 = 4
归纳总结
一般地，
注意：不要忽略 a ≥ 0 这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.a 可以是数，也可以是式.
例题练习
计算：
(ab)2 = a2b2
探究新知
填一填，你能发现什么？
...
平方运算
算术平方根
2
0.1
0
...
a(a≥0)
...
a2
4
0.01
0
2
0.1
0
观察两者有什么关系？
归纳总结
一般地，根据算数平方根的意义，
即任意一个非负数的平方的算术平方根等于它本身.
例题练习
化简：
归纳总结
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
先开方，后平方
先平方，后开方
a ≥ 0
a 取任何实数
a
| a |
意义
表示一个非负数 a 的算术平方根的平方
表示一个实数 a 的平方的算术平方根
D
C
C
A
B
C
D
1
小结
二次根式
概念
含有二次根号
被开方数为非负数
有意义的条件
被开方数（式子）为非负数， 中 a≥0
二次根式的双重非负性
性质
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
谢谢同学们的聆听