17.2勾股定理的逆定理 课件(共43张PPT) 2024-2025学年人教版初中数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 17.2勾股定理的逆定理 课件(共43张PPT) 2024-2025学年人教版初中数学八年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 14.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-20 15:46:13 | ||
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文档简介
(共43张PPT)
17.2勾股定理的逆定理
第十七章 勾股定理
素养目标
1.了解互逆命题、互逆定理之间的联系和区别，并能写出一个命题的逆命题；
2.掌握勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形；
3.了解勾股数，会判断三个数是不是勾股数；
重难点
重点
4.经历勾股定理的逆定理的探索过程，体验用全等三角形证明勾股定理的逆定理的过程.
重点
知识回顾
1. 直角三角形有哪些性质
(1)有一个角是直角；
(2)两个锐角互余；
(3)两直角边的平方和等于斜边的平方；
(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半.
勾股定理
a
b
c
A
B
C
知识回顾
a
b
c
A
B
C
2.一个三角形，满足什么条件是直角三角形
(1)有一个角是直角；
(2)有两个角的和是90°.
上面两种方法都是用角度判断的，能用三角形三边的关系来判断是否为直角三角形吗
新知导入
前面我们学习了勾股定理，同学们能说出它的题设和结论吗
勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2.
结论：a2 + b2 = c2.
题设(条件)：直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c.
a
b
c
新知导入
反过来，如果一个三角形的三边长 a，b， c， 满足 a2 + b2 = c2. 那么这个三角形的题设和结论是怎样的
结论：这个三角形是直角三角形.
题设(条件)：三角形的三边长 a，b， c， 满足 a2 + b2 = c2.
结论能成立吗？
探究新知
据说，古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距的 13 个结，然后以 3 个结间距，4 个结间距，5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
3
4
5
上述三角形的三边满足什么数量关系？
32 + 42 = 52
这种做法真的可以得到一个直角三角形吗？
探究新知
（1）2.5，6，6.5； （2） 4，7.5，8.5.
以下面各组数为边长画三角形，所画三角形是直角三角形吗？(单位：cm)
2.5
6
6.5
4
7.5
8.5
探究新知
每组中较小两个数的平方和与较大数的平方之间有什么关系
每组中较小两个数的平方和 = 较大数的平方
即，2.52 62 6.52； 7.52 42 8.52；
2.5
6
6.5
4
7.5
8.5
探究新知
用量角器分别测量三角形中最大角的度数，为多少度
2.5
6
6.5
4
7.5
8.5
90°
猜想：如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
探究新知
A
B
C
a
b
c
已知：如图，△ABC的三边长 a，b，c，满足 a2+b2 = c2．
求证：△ABC 是直角三角形．
△ABC≌△A′B′C′
∠C 是直角
△ABC 是直角三角形
构造两直角边分别为a，b 的Rt△A′B′C′
分析：
探究新知
已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2.
求证：△ABC是直角三角形.
A
B
C
a
b
c
证明：如图，作△A'B'C'，使∠C' = 90°，
B'C'= a，A'C'= b.
由勾股定理可得A'B'2 = a2+b2.
∵a2+b2 = c2，∴A'B'2 = c2.
A'
B'
C'
a
b
在△ABC和△A'B'C'中，
∵AB=A'B'=c，BC=B'C'=a，AC=A'C'=b.
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).
∴∠C'=∠C=90°(全等三角形的对应角相等).
即△ABC是直角三角形.
归纳总结
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a 、b 、c 满足
a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
归纳总结
思维轴
1
找
2
算
3
判
最长边
算出两短边的平方和与最长边的平方
判断等量关系
最长边为斜边，其所对应的角为直角
利用边的关系判断直角三角形：
探究新知
命题 1 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2=c2．
命题 2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
这两个命题有什么不同？
题设
结论
题设
结论
命题 1 与命题 2 的题设、结论正好相反．
归纳总结
我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
题设A
结论B
①
题设B
结论A
②
原命题
逆命题
互逆命题
探究新知
命题 1 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2 = c2．
命题 2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形．
真命题
真命题
原命题成立时，它的逆命题一定成立吗？
探究新知
原命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.
真命题
假命题
原命题：如果两直线平行，那么同位角相等.
逆命题：如果同位角相等，那么两直线平行.
真命题
真命题
结论：原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.
归纳总结
一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.
命题2：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
真命题
真命题
互逆命题
勾股定理
勾股定理的逆定理
互逆定理
例题练习
判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a 15，b 8，c 17； (2) a 13，b 14，c 15.
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方.
(2)∵132 142 169 196 365，152 225
∴132 142 152
∴根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形.
解：(1)∵152 82 225 64 289，172 289
∴152 82 172
∴根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
归纳总结
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数.
例如15，8，17这样能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，为勾股数.
归纳总结
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26 等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数 k ( k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
如：3，4，5
6，8，10
扩大 2 倍
勾股数
勾股数
例题练习
如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
思考1：题目已知了哪些信息？
“远航”、“海天”号的速度，运行时间，
QR 30，
“远航”号的航向.
思考2：由题目信息，可以得出什么？
PQ，PR， QR的长度，
1 45°.
1
2
N
E
P
Q
R
例题练习
1
2
N
E
P
Q
R
实际问题：“海天”号沿哪个方向航行？
16×1.5=24
12×1.5=18
30
24
18
30
“远航”号沿东北方向
∠1 = 45°
抽象成数学问题
解决实际问题
1
2
N
E
P
Q
R
几何问题：
知______________，
求______________
PQ,PR,QR 的长
∠2 的度数
利用勾股定理逆定理求度数
例题练习
解：根据题意，
PQ = 16×1.5 = 24，
PR = 12×1.5 = 18，QR = 30.
因为 242 + 182 = 302，
即 PQ2 + PR2 = QR2，所以∠QPR = 90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1 = 45°. 因此∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行.
2
1
E
P
N
R
Q
归纳总结
解决实际问题的步骤：
1.标注有用信息，明确已知和所求；
2.构建几何模型——从整体到局部；
3.应用数学知识求解.
B
C
D
北偏西55°
小结
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
互逆命题：两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个命题的结论， 而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.
谢谢同学们的聆听
17.2勾股定理的逆定理
第十七章 勾股定理
素养目标
1.了解互逆命题、互逆定理之间的联系和区别，并能写出一个命题的逆命题；
2.掌握勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形；
3.了解勾股数，会判断三个数是不是勾股数；
重难点
重点
4.经历勾股定理的逆定理的探索过程，体验用全等三角形证明勾股定理的逆定理的过程.
重点
知识回顾
1. 直角三角形有哪些性质
(1)有一个角是直角；
(2)两个锐角互余；
(3)两直角边的平方和等于斜边的平方；
(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半.
勾股定理
a
b
c
A
B
C
知识回顾
a
b
c
A
B
C
2.一个三角形，满足什么条件是直角三角形
(1)有一个角是直角；
(2)有两个角的和是90°.
上面两种方法都是用角度判断的，能用三角形三边的关系来判断是否为直角三角形吗
新知导入
前面我们学习了勾股定理，同学们能说出它的题设和结论吗
勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2.
结论：a2 + b2 = c2.
题设(条件)：直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c.
a
b
c
新知导入
反过来，如果一个三角形的三边长 a，b， c， 满足 a2 + b2 = c2. 那么这个三角形的题设和结论是怎样的
结论：这个三角形是直角三角形.
题设(条件)：三角形的三边长 a，b， c， 满足 a2 + b2 = c2.
结论能成立吗？
探究新知
据说，古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距的 13 个结，然后以 3 个结间距，4 个结间距，5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
3
4
5
上述三角形的三边满足什么数量关系？
32 + 42 = 52
这种做法真的可以得到一个直角三角形吗？
探究新知
（1）2.5，6，6.5； （2） 4，7.5，8.5.
以下面各组数为边长画三角形，所画三角形是直角三角形吗？(单位：cm)
2.5
6
6.5
4
7.5
8.5
探究新知
每组中较小两个数的平方和与较大数的平方之间有什么关系
每组中较小两个数的平方和 = 较大数的平方
即，2.52 62 6.52； 7.52 42 8.52；
2.5
6
6.5
4
7.5
8.5
探究新知
用量角器分别测量三角形中最大角的度数，为多少度
2.5
6
6.5
4
7.5
8.5
90°
猜想：如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
探究新知
A
B
C
a
b
c
已知：如图，△ABC的三边长 a，b，c，满足 a2+b2 = c2．
求证：△ABC 是直角三角形．
△ABC≌△A′B′C′
∠C 是直角
△ABC 是直角三角形
构造两直角边分别为a，b 的Rt△A′B′C′
分析：
探究新知
已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2.
求证：△ABC是直角三角形.
A
B
C
a
b
c
证明：如图，作△A'B'C'，使∠C' = 90°，
B'C'= a，A'C'= b.
由勾股定理可得A'B'2 = a2+b2.
∵a2+b2 = c2，∴A'B'2 = c2.
A'
B'
C'
a
b
在△ABC和△A'B'C'中，
∵AB=A'B'=c，BC=B'C'=a，AC=A'C'=b.
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS).
∴∠C'=∠C=90°(全等三角形的对应角相等).
即△ABC是直角三角形.
归纳总结
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a 、b 、c 满足
a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
归纳总结
思维轴
1
找
2
算
3
判
最长边
算出两短边的平方和与最长边的平方
判断等量关系
最长边为斜边，其所对应的角为直角
利用边的关系判断直角三角形：
探究新知
命题 1 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2=c2．
命题 2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
这两个命题有什么不同？
题设
结论
题设
结论
命题 1 与命题 2 的题设、结论正好相反．
归纳总结
我们把像这样，题设和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
题设A
结论B
①
题设B
结论A
②
原命题
逆命题
互逆命题
探究新知
命题 1 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2 = c2．
命题 2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形．
真命题
真命题
原命题成立时，它的逆命题一定成立吗？
探究新知
原命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.
真命题
假命题
原命题：如果两直线平行，那么同位角相等.
逆命题：如果同位角相等，那么两直线平行.
真命题
真命题
结论：原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立.
归纳总结
一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.
命题2：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
真命题
真命题
互逆命题
勾股定理
勾股定理的逆定理
互逆定理
例题练习
判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a 15，b 8，c 17； (2) a 13，b 14，c 15.
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方.
(2)∵132 142 169 196 365，152 225
∴132 142 152
∴根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形.
解：(1)∵152 82 225 64 289，172 289
∴152 82 172
∴根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
归纳总结
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数.
例如15，8，17这样能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，为勾股数.
归纳总结
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26 等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数 k ( k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
如：3，4，5
6，8，10
扩大 2 倍
勾股数
勾股数
例题练习
如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
思考1：题目已知了哪些信息？
“远航”、“海天”号的速度，运行时间，
QR 30，
“远航”号的航向.
思考2：由题目信息，可以得出什么？
PQ，PR， QR的长度，
1 45°.
1
2
N
E
P
Q
R
例题练习
1
2
N
E
P
Q
R
实际问题：“海天”号沿哪个方向航行？
16×1.5=24
12×1.5=18
30
24
18
30
“远航”号沿东北方向
∠1 = 45°
抽象成数学问题
解决实际问题
1
2
N
E
P
Q
R
几何问题：
知______________，
求______________
PQ,PR,QR 的长
∠2 的度数
利用勾股定理逆定理求度数
例题练习
解：根据题意，
PQ = 16×1.5 = 24，
PR = 12×1.5 = 18，QR = 30.
因为 242 + 182 = 302，
即 PQ2 + PR2 = QR2，所以∠QPR = 90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1 = 45°. 因此∠2 = 45°，即“海天”号沿西北方向航行.
2
1
E
P
N
R
Q
归纳总结
解决实际问题的步骤：
1.标注有用信息，明确已知和所求；
2.构建几何模型——从整体到局部；
3.应用数学知识求解.
B
C
D
北偏西55°
小结
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
互逆命题：两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个命题的结论， 而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.
谢谢同学们的聆听