(共31张PPT)
18.1.1平行四边形的性质
（课时2）
第十八章 平行四边形
素养目标
1.了解两条平行线之间的距离的意义，能度量两条平行线间的距离；
2.理解并掌握平行四边形的对角线互相平分的性质；
重难点
3.能够运用平行四边形的性质进行简单的计算和证明.
重点
知识回顾
平行四边形的性质
几 何 语 言
边
角
文字叙述
对边平行
对边相等
对角相等
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC ，AB∥DC.
∴ AD=BC ，AB=DC.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A=∠C，∠ B=∠D.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
A
B
C
D
新知导入
距离是几何中的重要度量之一，前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离，在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，介绍两条平行线间的距离.
下面开始本节课的学习与探究.
探究新知
C
B
F
E
A
D
若m // n，作 AB // CD // EF，分别交 m 于A、C、E，交 n于B、D、F.
由平行四边形对边相等的性质得AB = CD = EF.
【总结】两条平行线之间的任何两条平行线段都相等.
m
n
由平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）易知四边形ABDC，CDFE均为平行四边形.
探究新知
若 m // n，AB、CD、EF 垂直于 n，交 n 于B、D、F，交 m 于A、C、E.
∴根据两条平行线之间的任何两条平行线段都相等，得 AB=CD=EF．
∴AB∥CD∥EF．
∵AB⊥n，CD⊥n， EF⊥n
∵ m // n ，
B
F
E
A
n
m
C
D
垂直于同一条直线的两条直线平行
点到直线的距离
【总结】如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等．
归纳总结
如图，a∥b，A 是 a 上的任意一点，AB⊥b，B 是垂足，线段 AB 的长就是 a，b 之间的距离．
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．两条平行线之间的距离处处相等．
B
A
b
a
探究新知
两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？
联系：点与点之间的距离是定义点到直线的距离、两条平行线之间距离的基础，它们本质上都是点与点之间的距离．
区别：（1）两点之间的距离就是两点连线的线段长；
（2）直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离；
（3）两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离．
探究新知
很久以前，一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
你认为老人这样分合理吗？为什么？
老大
老二
老三
老四
探究新知
如图，在 ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O，OA与OC，OB与OD有什么关系？
A
B
C
O
【猜想】平行四边形的对角线互相平分.
你能证明这个猜想吗？
OA = OC，OB = OD
AC与BD互相平分
D
探究新知
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB = CD.
∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
在△OAB 和△OCD 中，
∴△OAB ≌△OCD （ASA）.
∴OA = OC，OB = OD.
∠1 = ∠2，
AB = CD，
∠3 = ∠4.
A
B
C
D
O
1
2
4
3
已知：如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
求证：OA=OC，OB=OD．
归纳总结
平行四边形的性质：
平行四边形的对角线互相平分．
符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
OA=OC，
OB=OD．
∴
A
D
B
C
O
归纳总结
研究对象 研究结果 几何表示
对边
对角
邻角
对角线
平行四边形的性质：
平行
且相等
相等
互补
∠BAD =∠BCD，∠ABC =∠ADC
AB∥CD，AD∥BC；
例如，∠BAD+∠ABC =180°
互相平分
AO=CO，BO=DO
O
B
A
C
D
AB=CD，AD=BC
探究新知
【总结】平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形，都等于平行四边形面积的四分之一．
所以S△ABO=S△ADO．同理S△ABO=S△ADO=S△CBO=S△CDO ．
老人分地合理吗？
老人分地合理
理由：过点A作AE⊥BD于点E，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以BO=DO．
S△ABO=
S△ADO=
所以
老大
老二
老三
老四
A
B
C
O
E
D
探究新知
A
B
C
D
O
1
3
2
4
想一想 △ABD 的面积与 △CDB 的面积有什么关系？
△ABC 的面积与△CDA 的面积呢？
因为 S△ABD = S△ABO + S△DAO ，
S△CDB = S△BCO + S△CDO ，
所以 S△ABD = S△CDB .
同理可得，S△ABC = S△CDA .
发现：任意相邻两个小三角形组成的大三角形的面积也相等.
例题练习
如图，在 ABCD 中， AB = 10，AD = 8，AC⊥BC.
求 BC，CD，AC，OA 的长，以及 ABCD 的面积.
A
B
C
D
O
【分析】
平行四边形对边相等
BC，CD 的长
运用勾股定理
AC 的长
面积公式
ABCD 的面积
例题练习
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ BC = AD = 8， CD = AB = 10.
∵ AC ⊥ BC，
∴ △ABC 是直角三角形.
根据勾股定理，
又 OA = OC，
∴ OA = AC = 3，
A
B
C
D
O
S□ ABCD = BC · AC = 8×6 = 48.
9
4
8
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
22
小结
研究对象 研究结果 几何表示
对边
对角
邻角
对角线
平行四边形的性质：
平行
且相等
相等
互补
∠BAD =∠BCD，∠ABC =∠ADC
AB∥CD，AD∥BC；
例如，∠BAD+∠ABC =180°
互相平分
AO=CO，BO=DO
O
B
A
C
D
AB=CD，AD=BC
谢谢同学们的聆听(共31张PPT)
18.1.1平行四边形的性质
（课时1）
第十八章 平行四边形
素养目标
1.理解平行四边形的概念；
2.掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质定理；
重难点
3.根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明.
重点
情境导入
观察下列图片，从中能否找到平行四边形的形象？
你知道什么样的图形叫做平行四边形吗？
探究新知
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
A
B
C
D
平行四边形用“ ”表示，
如图，平行四边形 ABCD 记作“ ABCD”．
注意：表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序．
探究新知
双重 含义 1.∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD 是平行四边形；
2.∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
平行四边形的定义可以看作是判定，也可以看作是性质
A
B
C
D
探究新知
平行四边形的基本元素:
如图，_______________________________________________是
ABCD 的四组邻边．
对边
邻边
有公共顶点的边
没有公共顶点的边
边
_____________________是 ABCD 的两组对边．
AB 和 AD，AD 和 CD，CD 和 BC，BC 和 AB
AB 和 CD，AD 和 BC
A
B
C
D
探究新知
如图，_______________________________________________是 ABCD 的四组邻角．
对角
邻角
有公共边的角
没有公共边的角
角
______________________是 ABCD 的两组对角．
平行四边形的基本元素：
∠B 和∠A，∠A 和∠D，∠D 和∠C，∠C 和∠B
∠B 和∠D，∠A 和∠C
A
B
C
D
探究新知
由平行四边形的定义，我们知道平行四边形的两组对边分别平行．除此之外，平行四边形还有什么性质呢？
A
B
C
D
探究新知
平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点.
O
步骤：①画一个平行四边形，将它剪下；
②再画一个与其相同的平行四边形，剪下后与其叠放；
③在它们的中心 O 处订一个图钉，将叠放在上面的平行四边形绕点 O 旋转 180°.
你发现了什么？
探究新知
我们再来观看一遍上面的旋转过程，你能发现平行四边形的对边与对角之间的关系吗？
发现：平行四边形的对边相等，对角相等．
尝试对这一发现说明理由．
O
探究新知
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形．
求证：AB=CD，AD=CB，∠A=∠C，∠B=∠D．
A
B
C
D
分析：发现涉及线段相等、角相等．我们知道，利用三角形全等得出全等三角形的对应边、对应角都相等，是证明线段相等、角相等的一种重要的方法．为此，我们通过添加辅助线，构造两个三角形，通过三角形全等进行证明．
探究新知
证明：如图，连接 BD．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD．
∴∠ABD =∠CDB，∠ADB = ∠CBD．
∴∠ABD +∠CBD = ∠ADB+∠CDB．
即∠ABC =∠ADC．
又∵BD = DB，
∴△ABD≌△CDB （ASA）．
∴∠A =∠C，AD = CB，AB = CD．
A
B
C
D
探究新知
不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？
∴AD∥BC，AB∥CD．
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ∠A+∠B =180°，∠A+∠D =180°．
A
B
C
D
∴ ∠B =∠D．
同理可证明∠A =∠C．
归纳总结
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等．
符号语言：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D．
A
B
C
D
平行四边形具有以下性质：
归纳总结
A
B
C
D
因为平行四边形对边分别平行，
所以利用平行线的性质，还可以得到平行四边形的邻角互补.
例题练习
如图，在 ABCD 中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为 E，F.
求证 AE=CF．
A
B
C
D
E
F
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD = CB，∠A =∠C，
∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠AED =∠CFB ＝90°．
∴△AED≌△CFB （AAS）．
∴AE = CF．
DE=BF 吗？
例题练习
如图，在 ABCD 中，
（1）若∠B=40°，求其余三个角的度数；
（2）若 AD=8， ABCD 的周长为 24，求其余三条边的长度.
解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∠B=40°， ∴∠D=∠B=40°，∠A=∠C，AB∥CD，
∴∠A=∠C=180°-40°=140°．
A
B
C
D
例题练习
解：（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，AD=8
∴BC=AD=8，AB=CD
∵ ABCD 的周长为 24
∴BC＋AD＋AB＋CD=24
∴2AB=2CD=24-8×2=8
∴AB=CD=4.
如图，在 ABCD 中，
（1）若∠B=40°，求其余三个角的度数；
（2）若 AD=8， ABCD 的周长为 24，求其余三条边的长度.
A
B
C
D
归纳总结
在平行四边形中，可“知一求三”，
在平行四边形中，已知一个内角的度数，利用平行四边形的性质，可以求出其余三个内角的大小．
D
A
A
B
C
D
A
A
B
C
D
A
135°
65
小结
几 何 语 言
边
角
文字叙述
对边平行
对边相等
对角相等
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC ，AB∥DC.
∴ AD=BC ，AB=DC.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A=∠C，∠ B=∠D.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
平行四边形的性质：
A
B
C
D
谢谢同学们的聆听
