(共34张PPT)
17.1勾股定理（课时2）
第十七章 勾股定理
素养目标
1.能够利用勾股定理解决生活中的实际问题；
2.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养学生的应用意识和分析能力；
3.能够应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点.
重难点
重点
知识回顾
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，
那么 .
a
b
c
勾股定理：
a、b、c为正数
公式变形：
a2+b2=c2
知识回顾
a
b
c
在 Rt△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边为a，b，c，∠C = 90°.
(1)若a=3，b=4，则c=______；
(2)若a 6，c 10，则b ；
(3)若b 12，c 15，则a .
A
B
C
9
8
5
新知导入
一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
2m
1m
A
B
D
C
【分析】
（1）木板能横着或竖着从门框通过吗？
（2）这个门框能通过的最大长度是多少？
不能
（3）怎样判定这块木板能否通过木框？
求出斜边AC的长，与木板的宽比较.
AC的长度.
探究新知
2m
1m
A
B
D
C
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC2 = AB2+BC2 = 12+22 = 5
因为AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过.
若木板长3 m，宽2.5 m能通过吗？
AC小于木板的宽，不能通过.
归纳总结
实际问题
数学问题
直角三角形
勾股定理
转化
构建
利用
解决
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
1.从实际问题中抽象出几何图形；
2.确定所求线段所在的直角三角形；
3.找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；
4.求得结果，解决实际问题.
例题练习
如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m. 如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？
【分析】(1)梯子的长度不变；
(2)梯子底端B外移的长度=BD=OD-OB
A
B
D
C
O
例题练习
A
B
D
C
O
解：在Rt△AOB中，根据勾股定理得
OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，
∴OB=1.
在Rt△COD中，根据勾股定理得
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,
∴梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.
探究新知
在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
探究新知
已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C =∠C′ = 90°，AB = A′B′，AC = A′C′.
求证： △ABC≌△A′B′C′.
证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∠C =∠C′ = 90°
又 AB=A′B′, AC=A′C′，
根据勾股定理，得
∴BC=B′C′.
∴ △ ABC≌△A′B′C′（SSS）.
A
B
C
A′
B′
C′
探究新知
点 A 表示的数字为 -2
点 B 表示的数字为1
实数
数轴上的点
一 一 对 应
那么如何在数轴上表示无理数呢？
A
B
0
-1
-2
-3
1
2
3
探究新知
在等腰直角三角形中，直角边为1，斜边为多少？
1
1
你能在数轴上画出表示 的点吗？ 呢？
-1 0 1 2 3
探究新知
你能在数轴上画出表示 的点吗？
是直角边分别为2，3的直角三角形的斜边长.
长为 的线段可以是直角边长为正整数的直角三角形的斜边吗
√
√
探究新知
1.在数轴上找到点A，使OA=3；
2.作直线 l⊥OA，在l上取一点B，使 AB=2；
3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示 的点．
O
1
2
3
4
l
A
B
C
2
步骤：
定点A
作垂线，定点B
画弧，定点C
探究新知
类似地，利用勾股定理可以作出长为 线段.
数学海螺
-1 0 1 2 3
1
1
1
归纳总结
利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正数的直角三角形的斜边.
（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.
B
A
10
10
小结
实际问题
数学问题
直角三角形
勾股定理
转化
构建
利用
解决
1.利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
2.利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正数的直角三角形的斜边.
（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.
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17.1勾股定理（课时1）
第十七章 勾股定理
素养目标
1.掌握勾股定理，并会运用勾股定理解决一些几何问题 ；
2.经历勾股定理的探索过程，感受数形结合的思想；
3.尝试用多种方法验证勾股定理，体验解决问题策略的多样性.
重点
新知导入
相传在2500多年以前，毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面图案反映了直角三角形的某种数量关系．
观察一下，你能从中发现什么数量关系吗？
探究新知
观察下图，三个正方形的面积有什么关系？
A
B
C
4个 的面积
4个 的面积
SA SB
SC
以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的大正方形的面积
探究新知
A
B
C
a
b
c
A
B
C
等腰直角三角形的三边之间有什么关系？
探究新知
a
b
c
a
b
c
A
B
C
SA SB
SC
a b
c
等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和.
等腰直角三角形的三边之间有什么关系？
探究新知
等腰直角三角形有上述性质，其他直角三角形也有这个性质吗？
A
C
B
A'
C'
B'
每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A，B，C，A'，B' ，C'的面积，你能得出什么结论？
探究新知
A
C
B
9个小正方形的面积
4个小正方形的面积
A B C
面积/格
4
9
？
探究新知
A
B
C
4 2 3=12
1
13
方法一：分“割”成若干个直角边为整数的三角形
正方形C的面积 4个直角三角形的面积 小正方形的面积
探究新知
方法二：把 C“补”成边长为 5 的正方形
A
C
B
25
13
正方形C的面积 大正方形的面积 4个直角三角形的面积
4 2 3=12
探究新知
A
C
B
SA SB SC
A B C
面积/格
13
4
9
？
探究新知
类比得到 A'，B'，C' 的面积关系？
A'
C'
B'
A' B' C'
面积/格
16
9
25
SA' SB' SC'
探究新知
A
C
B
A'
C'
B'
SA SB SC
SA' SB' SC'
归纳：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
探究新知
【思考】如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么两直角边与斜边之间有什么关系呢？
a
b
c
猜想：两直角边的平方和等于斜边的平方. 即，a2+b2=c2.
如何验证呢？
探究新知
如图是我国古代证明该猜想的“赵爽弦图”.
朱实
朱实
朱实
朱实
黄实
赵爽弦图
赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形（黄色）.
探究新知
证法1：下面让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明猜想吧.
b
c
a
b
a
c
探究新知
a
b
c
赵爽弦图
b-a
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
证明：
探究新知
证法2 毕达哥拉斯证法
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4× ab+c2
=c2+2ab，
探究新知
a
a
b
b
c
c
∴a2 + b2 = c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
证明：
归纳总结
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，
那么 a2+b2=c2.
a
b
c
勾股定理：
a、b、c为正数
公式变形：
归纳总结
勾
股
弦
我国古代把直角三角形中
较短的直角边称为勾，
较长的直角边称为股，
斜边称为弦，
“勾股定理”因此而得名．
（在很多国家文献中称为毕达哥拉斯定理）
勾2 股2 弦2
练一练
求出图中字母所代表的正方形的面积.
解：(1) SA 225 144 81；
(2) SA 80 24 56；SB 24 56 80.
A
225
144
A
B
24
80
D
B
B
B
D
18
168
小结
如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，
那么 a2+b2=c2.
a
b
c
勾股定理：
a、b、c为正数
公式变形：
谢谢同学们的聆听
