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4.3.1.5等比数列的性质（函数性质）--自检定时练--解析版
一、单选题
1．设各项均为正数的等比数列的公比为q，且，则“为递已知等比数列中，公比q＝2，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件可得，再由，即可得结果.
【详解】由题设，，则且q＝2，则，
而.
故选：B
2.我们在享受经济增长带来的喜悦时，也无法忽视垃圾增长引发的烦恼．某区至2022年底生活垃圾堆积量达100万吨，估计今后平均每年增加8万吨．在实施《生活垃圾管理例》之后，清运公司处理垃圾的效能得到明显改观，预估2023年能处理垃圾5万吨，今后每年还需提高10%的处理能力，则该区生活垃圾堆积量达到最大的年份是（ ）
A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年
【答案】C
【分析】从2023年起第年处理生活垃圾的量为，而生活垃圾堆积量平均每年增加8万吨，通过数据比较可得结果.
【详解】从2023年起第年处理生活垃圾的量为，显然单调递增，
而，生活垃圾堆积量平均每年增加8万吨，
则从第6年起处理生活垃圾的量超过每年增加的量，
故该区生活垃圾堆积量达到最大的年份是.
故选：C.
3.已知递增的等比数列中，前3项的和为7，前3项的积为8，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】首先由前3项的和为7，得出，再由前3项的积为8，根据下标和定理得出，则代入求值，结合为递增的等比数列，得出的值，根据等比数列通项公式即可得出．
【详解】由前3项的和为7，得
前3项的积为8，得，即，
则，代入，得，即，解得或，
因为为递增的等比数列，
所以，则，
所以，
故选：D．
4.数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分也非必要
【答案】D
【分析】根据“”与“数列是严格增数列”的互相推出关系判断属于何种条件.
【详解】当时，取，则，显然不是严格增数列，
所以“”不能推出“数列是严格增数列”；
当数列是严格增数列时，设，
当时，是摆动数列，不符合要求，所以，
若，则，
若，则，
所以“数列是严格增数列”不能推出“”；
综上所述，“”是“数列是严格增数列”的既非充分也非必要条件，
故选：D.
5.已知等比数列的首项为，公比为，则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】取，可判断充分性；由是递增数列，结合等比数列通项公式可得，，或，，从而得成立，即可判断必要性.
【详解】在等比数列中，，取，，
此时，为摆动数列，故充分性不成立；
若等比数列的公比为，且是递增数列，
又，则，，或，，
当，时，成立，
当，时，成立，
所以，数列为递增数列时，有成立，故必要性成立.
所以，“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件.
6.设各项均为正数的等比数列的公比为q，且，则“为递减数列”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由等比数列通项公式及对数运算性质可得，根据充分、必要性定义判断题设条件间的推出关系，即可得答案.
【详解】由题设且，则，
若为递减数列，故，则，充分性成立；
若，则，易知为递减数列，必要性也成立；
所以“为递减数列”是“”的充分必要条件.
故选：C
7.已知数列满足，，则数列是（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据，得到数列是公比为的等比数列，然后求得其通项公式判断.
【详解】解：因为满足，
所以数列是公比为的等比数列，
所以，
又因为，
所以单调递增，
故选：A
8．等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法错误的是（ ）
A．为递增数列 B．为递增数列
C．中最小项的值为1 D．
【答案】C
【分析】A选项，计算出且，故A正确；B选项，计算出且公比大于1，B正确；C选项，在B选项基础上得到最小值；D选项，计算出，从而得到当时，，当时，，故.
【详解】A选项，由题意可知，，
且公比，故为递增数列，A正确；
B选项，，，
则为递增数列，故B正确；
C选项，当时，取得最小值，故C错误；
D选项，，
当时，，
当时，，
故，故D正确．
故选：C．
多选题
9.已知数列是公比大于的等比数列，下面叙述正确的是（ ）
A．当时，数列是递增数列 B．当时，数列是递减数列
C．当时，数列是递增数列 D．当时，数列是递减数列
【答案】AD
【分析】设等比数列的公比为，则，利用数列单调性的定义逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】设等比数列的公比为，则，则，
当时，，即，此时，数列为单调递增数列，
当时，，即，此时，数列为单调递减数列，
AD选项正确，BC选项错误.
故选：AD.
10.无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】BC
【分析】结合选项，利用等比数列单调性分析判断即可.
【详解】，时，等比数列单调递减，故只有最大值，没有最小值；
，时，等比数列为摆动数列，此时为大值，为最小值；
，时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零，
所以等比数列有最大值，也有最小值；
，时，因为，所以无最大值，奇数项为负无最小值，
偶数项为正无最大值.
故选：BC
11.．已知正项等比数列的公比为，前项积为，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．存在最大值
【答案】ACD
【分析】先通过条件确定和的取值情况判断AB，然后利用等比数列的性质计算即可判断C，再根据数列的单调性判断D.
【详解】由已知，又，，
所以，，A正确，B错误；
，
，所以，C正确；
因为且，所以等比数列递减数列，
于是，则的最大值为，D正确.
故选：ACD
填空题
12.等比数列是递减数列，前n项的积为，若，则 ．
【答案】2
【分析】由题意可得，且，由条件可得，化简得，再由，求得的值．
【详解】解：等比数列是递减数列，其前项的积为，若，设公比为，
则由题意可得，且．
，．
又由等比数列的性质可得，．
故答案为：2．
13.已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，当取最大值时， .
【答案】6
【分析】先求出的通项公式，当时，其前n项积最大，得解.
【详解】由题意可得，，
，且，
当时，最大，即，解得.
故答案为：6.
14.已知等比数列的前项和为，若，则取最大值时，的值为 ．
【答案】
【分析】根据求出、、，由等比中项有，进而求得，得到等比数列的首项、公比、通项公式，再结合的单调性，即可求出最大时的值.
【详解】，，，
因为是等比数列，所以，有，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，
数列是递减数列，，，
所以时，最大.
故答案为：.
解答题
15．已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前n项积，求的最大值．
【答案】
【分析】先求出的通项公式，利用函数的性质即可求得最值，以及取得最值时的值，在求乘积.
【详解】因为数列为等比数列，，公比，
所以 ，
所以
当时，最大，
即 ，解得：，
此时
16．数列中，，（）
（1）设，求证：是等比数列；
（2）设数列的前项积为，求取得最大值时的取值．
【答案】（1）证明见解析；（2）或.
【分析】（1）根据递推关系式以及，可得，从而获得证明；
（2）由作差法得到数列的单调性，根据单调性即可获解.
【详解】（1）由，得，即，
整理得：，又，
所以，即，
又，故是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1） ，设，
则，
当，2时，；
当时，，即，
又，，，，，
故，，当时，，，
综上，当或时，取得最大值．
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4.3.1.5等比数列的性质（函数性质）--自检定时练--学生版
【1】知识清单
①与指数型函数的关系：等比数列的的通项公式图象是函数上一群孤立的点.
②单调性：若等比数列的首项为，公比，则
（1）当或时，等比数列是递增数列；
（2）当或时，等比数列是递减数列；
（3）当时，等比数列是常数列（各项均不为零）；
（4）当时，等比数列是摆动数列（正负项交替出现）；
【2】微型自检报告
完成时间 不会解答的题号 解答错误的题号 需要重点研究的题目
分钟
【3】自检定时练(建议40分钟)
1．设各项均为正数的等比数列的公比为q，且，则“为递已知等比数列中，公比q＝2，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2.我们在享受经济增长带来的喜悦时，也无法忽视垃圾增长引发的烦恼．某区至2022年底生活垃圾堆积量达100万吨，估计今后平均每年增加8万吨．在实施《生活垃圾管理例》之后，清运公司处理垃圾的效能得到明显改观，预估2023年能处理垃圾5万吨，今后每年还需提高10%的处理能力，则该区生活垃圾堆积量达到最大的年份是（ ）
A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年
3.已知递增的等比数列中，前3项的和为7，前3项的积为8，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4.数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分也非必要
5.已知等比数列的首项为，公比为，则“”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.设各项均为正数的等比数列的公比为q，且，则“为递减数列”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7.已知数列满足，，则数列是（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定
8．等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法错误的是（ ）
A．为递增数列 B．为递增数列
C．中最小项的值为1 D．
故选：C．
多选题
9.已知数列是公比大于的等比数列，下面叙述正确的是（ ）
A．当时，数列是递增数列 B．当时，数列是递减数列
C．当时，数列是递增数列 D．当时，数列是递减数列
10.无穷等比数列的首项为公比为q，下列条件能使既有最大值，又有最小值的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11.．已知正项等比数列的公比为，前项积为，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．存在最大值
填空题
12.等比数列是递减数列，前n项的积为，若，则 ．
13.已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，当取最大值时， .
14.已知等比数列的前项和为，若，则取最大值时，的值为 ．
解答题
15．已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前n项积，求的最大值．
【分析】先求出的通项公式，利用函数的性质即可求得最值，以及取得最值时的值，在求乘积.
【详解】因为数列为等比数列，，公比，
所以 ，
所以
当时，最大，
即 ，解得：，
此时
16．数列中，，（）
（1）设，求证：是等比数列；
（2）设数列的前项积为，求取得最大值时的取值．
【4】核对简略答案,详解请看解析版！
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C D D B C A C AD BC ACD
12.【答案】2
13.【答案】6
14.【答案】3
15.【答案】
16.【答案】（1）证明见解析；（2）或.
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