贵州省六盘水市盘州市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
1．（2024高二上·盘州期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·盘州期末）已知复数且，其中为虚数单位，则（ ）
A．－4 B．－3 C．－2 D．0
3．（2024高二上·盘州期末）抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）
A． B． C． D．4
4．（2024高二上·盘州期末）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二上·盘州期末）数列，4，，20，……的一个通项公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二上·盘州期末）函数的部分图象大致是
A． B．
C． D．
7．（2024高二上·盘州期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
A．或 B．或1 C．或2 D．
8．（2024高二上·盘州期末）已知直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2024高二上·盘州期末）在等比数列{}中，，则{}的公比可能为（ ）
A． B． C．2 D．4
10．（2024高二上·盘州期末）若直线平面，且直线不平行于平面.给出下列结论正确的是（ ）
A．内的所有直线与异面 B．内存在直线与相交
C．内存在唯一的直线与平行 D．内不存在与平行的直线
11．（2024高二上·盘州期末）设点，分别为椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的取值可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．4
12．（2024高二上·盘州期末）已知抛物线C：，点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线C的准线方程为
B．若，则△PMF的面积为2
C．|的最大值为
D．△PMF的周长的最小值为
13．（2024高二上·盘州期末）设 为单位向量，且 ，则 .
14．（2024高二上·盘州期末）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是
15．（2024高二上·盘州期末）已知四位数，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为 .
16．（2024高二上·盘州期末）已知各项均为正数的递增等差数列，其前n项和为，公差为d，若数列也是等差数列，则的最小值为 ．
17．（2024高二上·盘州期末）已知等差数列的前项和为.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18．（2024高二上·盘州期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上．
（1）求圆的标准方程；
（2）求过点且与圆相切的直线方程．
19．（2024高二上·盘州期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，设的面积为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）求的最大值.
20．（2024高二上·盘州期末）已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点．
（1）若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程；
（2）若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率．
21．（2024高二上·盘州期末）如图，在长方体中，，，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
22．（2024高二上·盘州期末）已知椭圆C：的短轴长和焦距相等，长轴长是．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l与椭圆C相交于P，Q两点，原点O到直线l的距离为．点M在椭圆C上，且满足，求直线l的方程．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，所以.
故答案为：C.
【分析】根据集合的交集运算计算即可.
2．【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质；复数相等的充要条件
【解析】【解答】，
因为，即，
所以，即，
所以．
故答案为：A．
【分析】
先化简复数，然后根据复数相等求出，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的标准方程为，
所以焦点坐标为，其准线方程为，
所以抛物线的焦点到其准线的距离为，
故答案为：B
【分析】将抛物线方程转化为标准方程求解即可.
4．【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：若方程表示焦点在y轴上的双曲线，
则，即，解得，则实数m的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】根据方程表示焦点在y轴上的双曲线列不等式组求解即可.
5．【答案】B
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：A、当时，，故A错误；
B、当时，，当时，，
当时，，当时，，故B正确；
C、当时，，故C错误；
D、当时，，故D错误.
故答案为：B.
【分析】给取值，逐项验证排除即可.
6．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象；指数函数的图象与性质；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：函数定义域为，满足，
则函数是奇函数，图象关于原点对称，故B，D错误；
当时，，故C错误.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域，判断函数的奇偶性即可判断BD；再由时，排除C.
7．【答案】B
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：因为平面平面，所以，为平面，的法向量，
由，可得，
因为平面与平面的夹角的余弦值为，所以，
化简得，解得或1．
故答案为：B.
【分析】由题意，可得，为平面，的法向量，利用向量的夹角公式列方程求解即可.
8．【答案】D
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间的距离公式；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：直线变形可得，则直线过定点
因为点P在圆上，所以点P到直线l的距离的最大值为.
故答案为：D.
【分析】易得直线恒过定点，再根据圆心到定点的距离加半径求解即可.
9．【答案】B,C
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，因为，所以，解得.
故答案为：BC.
【分析】由题意，根据等比数列的通项求解即可.
10．【答案】B,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：由直线平面，且直线不平行于平面，
可知直线与平面相交，设交点为O，
则平面内必存在过点O的直线，这些直线与a相交，故A错误，B正确；
假设内存在直线与平行，由于直线平面，则直线平行于平面，
与题意矛盾，则内不存在与平行的直线，故C错误，D正确.
故答案为：BD.
【分析】由题意结合异面直线判断方法，则判断出选项A；利用已知条件和相交直线判断方法，则判断出选项B；利用已知条件和平行直线判断方法，则判断出选项C和选项D，进而找出结论正确的选项.
11．【答案】B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：易知，，设，
则，，
由，可得，因为点在椭圆上，所以，
则，要使得成立的点恰好是4个，则，解得.
故答案为：BD.
【分析】易知椭圆的焦点坐标，设点，得到，的坐标，由点在椭圆上得到，若成立的点有四个，则在有两实数解，，解出其范围结合选项求解即可.
12．【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、抛物线，则准线方程为，故A正确；
B、根据抛物线定义得，，
因为，所以轴，当时，，
若点在第一象限时，则，，的高为1，
则；
若点在第四象限，，，
的高为1，则，故B错误；
C、因为，所以，
故C正确；
D、连接，并延长交于抛物线于点，如图所示：
此时即为最大值的情况，
过点作准线，垂足为点，如图所示：
的周长，
若周长最小，则长度和最小，显然当点位于同一条直线上时，的和最小，此时，故周长最小值为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据抛物线的标准方程求准线方程即可判断A；根据抛物线定义，分情况计算三角形面积即可判断B；利用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到，计算即可判断C；三角形的周长，结合抛物线定义求出的最小值即可判断D.
13．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】因为 为单位向量，所以 ，
所以 ，
解得： ，
所以 。
故答案为： 。
【分析】因为 为单位向量，所以 ，再利用数量积求向量的模的公式结合已知条件，从而求出，再利用数量积求向量的模的公式结合，从而求出向量的模。
14．【答案】或.
【知识点】直线的斜截式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】解：当截距为0时，满足在两坐标轴上的截距相等，此时设直线方程为，
则，故，化简得；
当截距不为0时，设直线方程为，则，
故，化简可得.
故答案为：或.
【分析】利用分类讨论的方法，从而设出直线方程，再结合已知条件，进而得出过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
15．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：任意交换两个数的位置之后四位数为：，，，，，，共种，其中两个奇数相邻有，，，共种，则两个奇数相邻的概率为.
故答案为：.
【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算即可.
16．【答案】3
【知识点】基本不等式；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列是各项均为正数的递增等差数列 ，所以，，
则为等差数列，即要能化成一个关于n的一次函数，
则有，，
则，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3.
故答案为：3.
【分析】由题意，求出等差数列的前n项和，再根据为等差数列，结合等差数列通项公式的特征，得到，最后利用基本不等式求解即可.
17．【答案】（1）解：因为，所以，即，解得，
则，故的通项公式为；
（2）解：由（1）得，，
所以，
所以，
所以数列的前项和.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由题意，根据等差数列的求和公式列式求得首项和公差，即可得等差数列的通项；
（2）由（1）得，，则，根据裂项相消求和即可.
（1）由题知，等差数列的前项和为，
所以，即，
解得，
所以，
所以的通项公式为；
（2）由（1）得，，
所以，
所以，
所以数列的前项和.
18．【答案】（1）解：因为圆C的圆心在直线上，所以设圆心C的坐标为，
又因为圆的半径为2，点在圆上，所以，解得（舍去）或，
故圆的标准方程为；
（2）解：①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切；
②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为，
由题知，解得，
可得切线方程为，整理为，
由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或.
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆的标准方程；两圆的公切线条数及方程的确定；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）由题意，设圆心坐标为，根据点在圆上，点到圆心的距离等于半径列方程求解即可；
（2）分斜率存在和不存在求解，当斜率存在时，设切线的方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可.
（1）由圆C的圆心在直线上，可设圆心C的坐标为，
又圆的半径为2，点在圆上，有，
解得（舍去）或，
故圆的标准方程为；
（2）①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切；
②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为，
由题知，解得，
可得切线方程为，整理为，
由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或.
19．【答案】（1）解：由，可得，即，
求得，因为，所以；
（2）解：
当，即时，有最大值1，
故的最大值为.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；余弦定理的应用；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用三角形面积公式结合余弦定理求解即可；
（2）根据，利用正、余弦的二倍角公式和辅助角公式可将转化为
，再根据正弦函数的性质求最大值即可.
（1），所以，
故，又因为，所以.
（2）
当，即时，有最大值1，
故的最大值为.
20．【答案】（1）解：因为点是双曲线的一个焦点，所以，又因为且，所以，
所以双曲线的方程为，
则双曲线的渐近线方程为；
（2）解：设直线的方程为且，联立，可得，
则，即，即，
则
解得，即由可得，
故双曲线的离心率为．
【知识点】平面内两点间的距离公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）易知双曲线的焦点坐标，结合双曲线的性质即可求得双曲线的标准方程，再求双曲线的渐近线方程即可；
（2）根据已知条件及直线的点斜式方程，将联立双曲线方程与直线方程，利用韦达定理及点在直线上，结合两点间的距离公式及双曲线的离心率公式求解即可.
（1）∵点是双曲线的一个焦点，∴，
又∵且，解得，
∴双曲线的方程为，
∴双曲线的渐近线方程为；
（2）设直线的方程为且，
联立，可得，
则，∴，即，
∴
解得，即由可得，
故双曲线的离心率为．
21．【答案】（1）证明：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，，
，，，
因为，，所以，，
又因为，，平面，所以平面；
（2）解：设平面的法向量为，由，，
则，取，得，
设直线与平面所成的角为，而
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，再利用空间位置关系的向量证明线面垂直即可；
（2）利用（1）中坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即可.
（1）在长方体中，以D为坐标原点，向量分别为轴建立空间直角坐标系，
有，，，，，，，
则，，，，，
因此，，又，，平面，
所以平面.
（2）设平面的法向量为，由，，
有，取，得，
设直线与平面所成的角为，而
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
22．【答案】（1）解：设椭圆C的焦距为2c，则，解得，，，
故椭圆C的标准方程为；
（2）解：若直线l的斜率不存在，直线l的方程为，
此时满足的点M显然不在椭圆C上，可得直线l的斜率存在，
设直线l的方程为，，，，
联立方程，消去y后整理为，
可得，，
由，可得，
又由，可得，，
将点M的坐标代入椭圆C的方程，有，整理为，
又由原点O到直线l的距离为，有，可得，
联立方程，可得，
解得或或或，
又由，
可得直线l的方程为或或或．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设椭圆C的焦距为2c，根据题意结合椭圆中的关系求出，即可得椭圆的标准方程；
（2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线l的方程为，，，，联立方程，结合韦达定理求出，再根据，求出点的坐标，由在椭圆上，可得的关系，再根据原点O到直线l的距离可得的关系，从而可求得，即可得直线方程.
（1）设椭圆C的焦距为2c，
由题意有，
解得，，，
故椭圆C的标准方程为；
（2）若直线l的斜率不存在，直线l的方程为，
此时满足的点M显然不在椭圆C上，可得直线l的斜率存在，
设直线l的方程为，，，，
联立方程，消去y后整理为，
可得，，
由，可得，
又由，可得，，
将点M的坐标代入椭圆C的方程，有，
整理为，
又由原点O到直线l的距离为，有，可得，
联立方程，可得，
解得或或或，
又由，
可得直线l的方程为或或或．
1 / 1贵州省六盘水市盘州市第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
1．（2024高二上·盘州期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，所以.
故答案为：C.
【分析】根据集合的交集运算计算即可.
2．（2024高二上·盘州期末）已知复数且，其中为虚数单位，则（ ）
A．－4 B．－3 C．－2 D．0
【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质；复数相等的充要条件
【解析】【解答】，
因为，即，
所以，即，
所以．
故答案为：A．
【分析】
先化简复数，然后根据复数相等求出，即可求解.
3．（2024高二上·盘州期末）抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线的标准方程为，
所以焦点坐标为，其准线方程为，
所以抛物线的焦点到其准线的距离为，
故答案为：B
【分析】将抛物线方程转化为标准方程求解即可.
4．（2024高二上·盘州期末）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：若方程表示焦点在y轴上的双曲线，
则，即，解得，则实数m的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】根据方程表示焦点在y轴上的双曲线列不等式组求解即可.
5．（2024高二上·盘州期末）数列，4，，20，……的一个通项公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：A、当时，，故A错误；
B、当时，，当时，，
当时，，当时，，故B正确；
C、当时，，故C错误；
D、当时，，故D错误.
故答案为：B.
【分析】给取值，逐项验证排除即可.
6．（2024高二上·盘州期末）函数的部分图象大致是
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象；指数函数的图象与性质；余弦函数的性质
【解析】【解答】解：函数定义域为，满足，
则函数是奇函数，图象关于原点对称，故B，D错误；
当时，，故C错误.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域，判断函数的奇偶性即可判断BD；再由时，排除C.
7．（2024高二上·盘州期末）已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
A．或 B．或1 C．或2 D．
【答案】B
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【解答】解：因为平面平面，所以，为平面，的法向量，
由，可得，
因为平面与平面的夹角的余弦值为，所以，
化简得，解得或1．
故答案为：B.
【分析】由题意，可得，为平面，的法向量，利用向量的夹角公式列方程求解即可.
8．（2024高二上·盘州期末）已知直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】恒过定点的直线；平面内两点间的距离公式；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：直线变形可得，则直线过定点
因为点P在圆上，所以点P到直线l的距离的最大值为.
故答案为：D.
【分析】易得直线恒过定点，再根据圆心到定点的距离加半径求解即可.
9．（2024高二上·盘州期末）在等比数列{}中，，则{}的公比可能为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B,C
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，因为，所以，解得.
故答案为：BC.
【分析】由题意，根据等比数列的通项求解即可.
10．（2024高二上·盘州期末）若直线平面，且直线不平行于平面.给出下列结论正确的是（ ）
A．内的所有直线与异面 B．内存在直线与相交
C．内存在唯一的直线与平行 D．内不存在与平行的直线
【答案】B,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：由直线平面，且直线不平行于平面，
可知直线与平面相交，设交点为O，
则平面内必存在过点O的直线，这些直线与a相交，故A错误，B正确；
假设内存在直线与平行，由于直线平面，则直线平行于平面，
与题意矛盾，则内不存在与平行的直线，故C错误，D正确.
故答案为：BD.
【分析】由题意结合异面直线判断方法，则判断出选项A；利用已知条件和相交直线判断方法，则判断出选项B；利用已知条件和平行直线判断方法，则判断出选项C和选项D，进而找出结论正确的选项.
11．（2024高二上·盘州期末）设点，分别为椭圆：的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的取值可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．4
【答案】B,D
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：易知，，设，
则，，
由，可得，因为点在椭圆上，所以，
则，要使得成立的点恰好是4个，则，解得.
故答案为：BD.
【分析】易知椭圆的焦点坐标，设点，得到，的坐标，由点在椭圆上得到，若成立的点有四个，则在有两实数解，，解出其范围结合选项求解即可.
12．（2024高二上·盘州期末）已知抛物线C：，点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线C的准线方程为
B．若，则△PMF的面积为2
C．|的最大值为
D．△PMF的周长的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、抛物线，则准线方程为，故A正确；
B、根据抛物线定义得，，
因为，所以轴，当时，，
若点在第一象限时，则，，的高为1，
则；
若点在第四象限，，，
的高为1，则，故B错误；
C、因为，所以，
故C正确；
D、连接，并延长交于抛物线于点，如图所示：
此时即为最大值的情况，
过点作准线，垂足为点，如图所示：
的周长，
若周长最小，则长度和最小，显然当点位于同一条直线上时，的和最小，此时，故周长最小值为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据抛物线的标准方程求准线方程即可判断A；根据抛物线定义，分情况计算三角形面积即可判断B；利用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到，计算即可判断C；三角形的周长，结合抛物线定义求出的最小值即可判断D.
13．（2024高二上·盘州期末）设 为单位向量，且 ，则 .
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】因为 为单位向量，所以 ，
所以 ，
解得： ，
所以 。
故答案为： 。
【分析】因为 为单位向量，所以 ，再利用数量积求向量的模的公式结合已知条件，从而求出，再利用数量积求向量的模的公式结合，从而求出向量的模。
14．（2024高二上·盘州期末）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是
【答案】或.
【知识点】直线的斜截式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】解：当截距为0时，满足在两坐标轴上的截距相等，此时设直线方程为，
则，故，化简得；
当截距不为0时，设直线方程为，则，
故，化简可得.
故答案为：或.
【分析】利用分类讨论的方法，从而设出直线方程，再结合已知条件，进而得出过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
15．（2024高二上·盘州期末）已知四位数，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为 .
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：任意交换两个数的位置之后四位数为：，，，，，，共种，其中两个奇数相邻有，，，共种，则两个奇数相邻的概率为.
故答案为：.
【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算即可.
16．（2024高二上·盘州期末）已知各项均为正数的递增等差数列，其前n项和为，公差为d，若数列也是等差数列，则的最小值为 ．
【答案】3
【知识点】基本不等式；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为数列是各项均为正数的递增等差数列 ，所以，，
则为等差数列，即要能化成一个关于n的一次函数，
则有，，
则，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3.
故答案为：3.
【分析】由题意，求出等差数列的前n项和，再根据为等差数列，结合等差数列通项公式的特征，得到，最后利用基本不等式求解即可.
17．（2024高二上·盘州期末）已知等差数列的前项和为.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）解：因为，所以，即，解得，
则，故的通项公式为；
（2）解：由（1）得，，
所以，
所以，
所以数列的前项和.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由题意，根据等差数列的求和公式列式求得首项和公差，即可得等差数列的通项；
（2）由（1）得，，则，根据裂项相消求和即可.
（1）由题知，等差数列的前项和为，
所以，即，
解得，
所以，
所以的通项公式为；
（2）由（1）得，，
所以，
所以，
所以数列的前项和.
18．（2024高二上·盘州期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上．
（1）求圆的标准方程；
（2）求过点且与圆相切的直线方程．
【答案】（1）解：因为圆C的圆心在直线上，所以设圆心C的坐标为，
又因为圆的半径为2，点在圆上，所以，解得（舍去）或，
故圆的标准方程为；
（2）解：①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切；
②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为，
由题知，解得，
可得切线方程为，整理为，
由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或.
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆的标准方程；两圆的公切线条数及方程的确定；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）由题意，设圆心坐标为，根据点在圆上，点到圆心的距离等于半径列方程求解即可；
（2）分斜率存在和不存在求解，当斜率存在时，设切线的方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可.
（1）由圆C的圆心在直线上，可设圆心C的坐标为，
又圆的半径为2，点在圆上，有，
解得（舍去）或，
故圆的标准方程为；
（2）①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切；
②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为，
由题知，解得，
可得切线方程为，整理为，
由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或.
19．（2024高二上·盘州期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，设的面积为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）求的最大值.
【答案】（1）解：由，可得，即，
求得，因为，所以；
（2）解：
当，即时，有最大值1，
故的最大值为.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；余弦定理的应用；辅助角公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用三角形面积公式结合余弦定理求解即可；
（2）根据，利用正、余弦的二倍角公式和辅助角公式可将转化为
，再根据正弦函数的性质求最大值即可.
（1），所以，
故，又因为，所以.
（2）
当，即时，有最大值1，
故的最大值为.
20．（2024高二上·盘州期末）已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点．
（1）若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程；
（2）若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率．
【答案】（1）解：因为点是双曲线的一个焦点，所以，又因为且，所以，
所以双曲线的方程为，
则双曲线的渐近线方程为；
（2）解：设直线的方程为且，联立，可得，
则，即，即，
则
解得，即由可得，
故双曲线的离心率为．
【知识点】平面内两点间的距离公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【分析】（1）易知双曲线的焦点坐标，结合双曲线的性质即可求得双曲线的标准方程，再求双曲线的渐近线方程即可；
（2）根据已知条件及直线的点斜式方程，将联立双曲线方程与直线方程，利用韦达定理及点在直线上，结合两点间的距离公式及双曲线的离心率公式求解即可.
（1）∵点是双曲线的一个焦点，∴，
又∵且，解得，
∴双曲线的方程为，
∴双曲线的渐近线方程为；
（2）设直线的方程为且，
联立，可得，
则，∴，即，
∴
解得，即由可得，
故双曲线的离心率为．
21．（2024高二上·盘州期末）如图，在长方体中，，，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，，
，，，
因为，，所以，，
又因为，，平面，所以平面；
（2）解：设平面的法向量为，由，，
则，取，得，
设直线与平面所成的角为，而
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，再利用空间位置关系的向量证明线面垂直即可；
（2）利用（1）中坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即可.
（1）在长方体中，以D为坐标原点，向量分别为轴建立空间直角坐标系，
有，，，，，，，
则，，，，，
因此，，又，，平面，
所以平面.
（2）设平面的法向量为，由，，
有，取，得，
设直线与平面所成的角为，而
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
22．（2024高二上·盘州期末）已知椭圆C：的短轴长和焦距相等，长轴长是．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l与椭圆C相交于P，Q两点，原点O到直线l的距离为．点M在椭圆C上，且满足，求直线l的方程．
【答案】（1）解：设椭圆C的焦距为2c，则，解得，，，
故椭圆C的标准方程为；
（2）解：若直线l的斜率不存在，直线l的方程为，
此时满足的点M显然不在椭圆C上，可得直线l的斜率存在，
设直线l的方程为，，，，
联立方程，消去y后整理为，
可得，，
由，可得，
又由，可得，，
将点M的坐标代入椭圆C的方程，有，整理为，
又由原点O到直线l的距离为，有，可得，
联立方程，可得，
解得或或或，
又由，
可得直线l的方程为或或或．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设椭圆C的焦距为2c，根据题意结合椭圆中的关系求出，即可得椭圆的标准方程；
（2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线l的方程为，，，，联立方程，结合韦达定理求出，再根据，求出点的坐标，由在椭圆上，可得的关系，再根据原点O到直线l的距离可得的关系，从而可求得，即可得直线方程.
（1）设椭圆C的焦距为2c，
由题意有，
解得，，，
故椭圆C的标准方程为；
（2）若直线l的斜率不存在，直线l的方程为，
此时满足的点M显然不在椭圆C上，可得直线l的斜率存在，
设直线l的方程为，，，，
联立方程，消去y后整理为，
可得，，
由，可得，
又由，可得，，
将点M的坐标代入椭圆C的方程，有，
整理为，
又由原点O到直线l的距离为，有，可得，
联立方程，可得，
解得或或或，
又由，
可得直线l的方程为或或或．
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