2025人教A版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--第七章　随机变量及其分布复习提升

中小学教育资源及组卷应用平台
2025人教A版高中数学选择性必修第三册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　对条件概率问题理解不清致错
1.(2024河北石家庄辛集期末)将三颗骰子各掷一次,记事件A=“三个点数互不相同”,事件B=“至少出现一个5点”,则P(A|B)=(　　)
A.
2.(多选题)(2024陕西西安中学期末)某车间加工同一型号零件,第一、二台车床加工的零件分别占总数的30%,70%,各自产品中的次品率分别为6%,5%.记“任取一个零件为第i台车床加工(i=1,2)”为事件Ai,“任取一个零件是次品”为事件B,则(　　)
A.P(B)=0.053　　　　B.P(B|A1)=0.05
C.P(A2B)=0.035　　　　D.P(A2|B)=
易错点2　弄错离散型随机变量的可能取值致错
3.在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题,甲、乙两队进行抢答,比赛规定:对于每个题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分).若每个抢答题都有队伍抢答,X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则X的可能取值是　　　　　.
4.(2023湖南师大附中质量检测)某校组织开展党的二十大知识竞赛活动,以班级为单位参加比赛,最终甲、乙两班进入了决赛,决赛采取五局三胜制,约定先胜三局者赢得比赛.已知每局比赛必决出胜负,每一局若甲班先答题,则甲班获胜的概率为,若乙班先答题,则甲班获胜的概率为,每一局输的一方在接下来的一局中先答题,第一局由乙班先答题.
(1)求比赛一共进行了四局并且甲班最终赢得比赛的概率;
(2)若规定每一局比赛中胜者得2分,负者得0分,记X(单位:分)为比赛结束时甲班的总得分,求随机变量X的分布列和数学期望.
5.(2024浙江嘉兴八校联盟期中)某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动.甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛.规定:每局比赛中获胜方记1分,失败方记0分,没有平局.首先获得5分者获胜,比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是.
(1)求比赛结束时恰好打了6局且甲获胜的概率;
(2)若甲以3∶1的比分领先,记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数,求X的分布列.
易错点3　混淆二项分布与超几何分布致错
6.(2024北京怀柔一中月考)袋中装有6个白球,3个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.
(1)若每次抽取后都不放回,设取到黑球的个数为X,求X的分布列;
(2)若每次抽取后都放回,设取到黑球的个数为Y,求Y的分布列.
7.(2024辽宁部分高中期末)某学校高一,高二,高三三个年级的学生人数之比为3∶2∶2,该校用分层抽样的方法抽取7名学生来了解学生的睡眠情况.
(1)应从高一、高二、高三三个年级的学生中分别抽取多少人
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足:
①从这7人中随机抽取3人做进一步的身体健康检查,用X表示抽取的3人中“睡眠不足”的学生人数,求随机变量X的分布列;
②将这7名学生中“睡眠不足”的频率视为该学校学生中“睡眠不足”的概率,若从该学校全体学生(人数较多)中随机抽取3人做进一步的身体健康检查.记Y表示抽到“睡眠不足”学生的人数,求Y的期望和方差.
易错点4　对正态曲线的特点理解不准确致错
8.(2024江苏泰州调研)某袋装加碘食盐的质量X(单位:克)服从正态分布N(500,4),某超市在进货前要在厂家随机抽检这种食盐100袋,则质量在(498,504)内的袋数约为(　　)
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σA.82　　　　B.80　　　　C.84　　　　D.86
9.(2024天津静海月考)已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若P(X>0)=0.9,则P(1思想方法练
一、函数与方程思想在离散型随机变量中的应用
1.(多选题)(2024广东江门期中)已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P 0.2 m n
若E(X)=2,则下列结论正确的是(　　)
A.m=0.6　　　　B.n=0.4
C.D(X)=0.4　　　　D.E(2X+1)=5
2.(2024江西宜春三中月考)设随机变量X服从二项分布B(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,则p=　　　　.
3.某机构欲组建一个有关“垃圾分类”事宜的项目组,对各个地区“垃圾分类”的处理模式进行相关报道.该机构从600位员工中进行筛选,筛选方法如下:每位员工测试A,B,C三项工作,3项测试中至少有2项测试“不合格”的员工将被认定为“暂定”,有且只有一项测试“不合格”的员工将再测试A,B两项,如果这两项中有1项以上(含1项)测试“不合格”,也将被认定为“暂定”,每位员工测试A,B,C三项工作相互独立,每一项测试“不合格”的概率均为p(0(1)记某位员工被认定为“暂定”的概率为f(p),求f(p);
(2)每位员工不需要重新测试的费用为90元,需要重新测试的总费用为150元,除测试费用外,其他费用总计为1万元,若该机构的预算为8万元,且这600位员工全部参与测试,则上述方案是否会超过预算 请说明理由.
二、分类讨论思想在离散型随机变量中的应用
4.(2024四川眉山模拟)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间(单位:分钟)相互独立,且都是整数,对以往顾客办理业务所需的时间进行统计,结果如下:
办理业务所需 的时间/分钟 1 2 3 4 5
频率 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
用频率估计概率,且从第一个顾客开始办理业务时计时.
(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;
(2)用X表示到第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.
5.(2024河南郑州一中期中)某班老师带领班上同学组织班内友谊比赛,拿过来一盒乒乓球,盒中有大小形状颜色相同的6个乒乓球,其中4个未使用过(称之为新球),2个使用过(称之为旧球),每局比赛从盒中随机取1个球作为比赛用球,该局比赛结束后放回盒中,使用过的新球即成为旧球.
(1)求两局比赛后盒中恰有3个新球的概率;
(2)设三局比赛后盒中新球的个数为X,求X的分布列.
6.为科学合理地做好小区管理工作,某小区物业提供了A,B两种小区管理方案,为了决定选取哪种方案为小区的最终管理方案,随机选取了4名物业人员进行投票,物业人员的投票规则如下:①单独投给A方案,则A方案得1分,B方案得-1分;②单独投给B方案,则B方案得1分,A方案得-1分;③弃权或同时投票给A,B方案,则两种方案均得0分.当前一名物业人员投票结束后,再安排下一名物业人员投票,当其中一种方案比另一种方案多4分或4名物业人员均已投票时,就停止投票,最后选取得分高的方案为小区的最终管理方案.假设A,B两种方案获得每一名物业人员投票的概率分别为.
(1)在第一名物业人员投票结束后,A方案的得分记为ξ,求ξ的分布列;
(2)求最终选取A方案为小区管理方案的概率.
三、数形结合思想在正态分布中的应用
7.(2024吉林长春期末)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(-2,4)的密度曲线的一部分)的点的个数的估计值为(　　)
(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954)
A.906　　　　B.339　　　　C.2 718　　　　D.3 413
8.(2024山东烟台期中)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<3)=0.6,则P(1<ξ<2)=(　　)
A.0.4　　　　B.0.3　　　　C.0.2　　　　D.0.1
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.C 2.ACD 8.A
1.C　由已知得P(AB)=,
P(B)=1-P(,
∴P(A|B)=.故选C.
2.ACD　由题意得P(A1)=0.3,P(A2)=0.7,P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=0.05,因此B不正确;
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.3×0.06+0.7×0.05=0.053,因此A正确;
P(A2B)=P(A2)P(B|A2)=0.7×0.05=0.035,因此C正确;
P(A2|B)=,因此D正确.故选ACD.
易错警示　条件概率问题常出现的错误有两种:
(1)混淆P(A|B)与P(B|A),其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下,事件A发生的概率,P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率;
(2)混淆P(A|B)与P(AB),其中P(AB)表示事件A与事件B同时发生的概率.
3.答案　-1,0,1,2,3
解析　X=-1表示:甲队抢到1题且答错,乙队抢到2题且均答错.
X=0表示:甲队没有抢到题,乙队抢到3题且至少答错其中的2题;甲队抢到2题且答对其中的1题,乙队抢到1题且答错.
X=1表示:甲队抢到1题且答对,乙队抢到2题且至少答错其中的1题;甲队抢到3题且答对其中的2题.
X=2表示:甲队抢到2题且均答对.
X=3表示:甲队抢到3题且均答对.
易错警示　本题在随机变量X取值时易漏掉X=-1的情况,致错原因往往是从生活经验出发,以为甲队要获胜肯定至少回答正确一次,没有从问题的背景深入分析.要避免这种错误,可以将事件发生的各种可能一一列出,再针对出现的结果分析随机变量取值的可能性,这样可以做到不重不漏.
4.解析　(1)设“比赛一共进行了四局并且甲班最终赢得比赛”为事件A,则事件A分为三种情况:①乙第一局胜,其他三局甲胜,②乙第二局胜,其他三局甲胜,③乙第三局胜,其他三局甲胜.所以P(A)=.
(2)X的可能取值为0,2,4,6,
P(X=0)=,
P(X=2)=,
P(X=4)=,
P(X=6)=1-,
所以X的分布列为
X 0 2 4 6
P
E(X)=0×.
5.解析　(1)比赛结束时恰好打了6局,甲获胜的概率P1=.
(2)X的可能取值为2,3,4,5,
则P(X=2)=,
P(X=4)=,
P(X=5)=.
所以X的分布列如下:
X 2 3 4 5
P
易错警示　准确确定随机变量X的取值是解决离散型随机变量问题的基础,解题时要从随机试验入手,如本题中从第五局比赛开始,每局比赛有胜、负两个结果,可列举出所有情况分析求解.解题时防止凭感觉、或列举遗漏导致解题错误.
6.解析　(1)由题意可知X的可能取值为0,1,2,3,且X服从超几何分布.
P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)有放回地抽取3次,可看作3次独立重复试验,每次抽取到黑球的概率均为,
由题意可知Y的可能取值为0,1,2,3,且Y~B,
P(Y=0)=,
P(Y=1)=,
P(Y=2)=,
P(Y=3)=,
所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
易错警示　(1)不放回抽样知X服从超几何分布,(2)有放回抽样,可看作3次独立重复试验,Y~B,由此能求出分布列,防止判断失误导致解题错误.
7.解析　(1)因为选取的三个年级的人数之比为3∶2∶2,且采用分层抽样的方法从中抽取7人,
所以应从高一、高二、高三三个年级的学生中分别抽取3人,2人,2人.
(2)①由已知得随机变量X服从超几何分布,且X的所有可能取值为0,1,2,3.
则P(X=k)=(k=0,1,2,3),
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
②抽取一名学生就是一次试验,有“睡眠不足”和“睡眠充足”两个结果,抽取3名学生相当于3次独立重复抽一名学生的试验,
于是Y符合二项分布B,所以E(Y)=3×.
易错警示　本题第(2)②小题易误认为随机变量Y服从超几何分布,从而得到错误的分布列.如果从N件产品中任意抽取n件,没有放回是超几何分布;但是若从流水线上抽取(或被抽取元素较多),则认为是二项分布问题.二项分布的背景是“n次独立重复试验”,而超几何分布的背景是“在含有M件次品的N件产品中任取n件”.
8.A　因为X~N(500,4),所以μ=500,σ=2,
所以498=μ-σ,504=μ+2σ,
故P(498易错警示　在解决与正态分布有关的问题时,要熟记正态曲线的特点,准确应用其特点解题,同时注意分析题目中的条件,在本题中对于X~N(500,4),易错将4作为标准差,而事实上4为方差.
9.答案　0.4
解析　由P(X>0)=0.9可得P(X<0)=1-0.9=0.1,
则P(X>2)=P(X<0)=0.1,故P(0所以P(1思想方法练
1.ACD 7.B 8.D
1.ACD　由题意可得
(利用分布列的性质、期望的公式列方程组,确定未知数的值从而求解)
解得
因此D(X)=(1-2)2×0.2+(2-2)2×0.6+(3-2)2×0.2=0.4,
易得E(2X+1)=2E(X)+1=5,故选ACD.
2.答案　0.2
解析　因为随机变量X服从二项分布B(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,
所以(利用二项分布的期望、方差公式列方程组,体现了方程思想)
解得p=0.2,n=8.
3.解析　(1)由题意知,这位员工首轮测试被认定为“暂定”的概率为p3,
这位员工再次测试被认定为“暂定”的概率为p(1-p)2[1-(1-p)2],
综上可知,f(p)=p(1-p)2[1-(1-p)2]=-3p5+12p4-17p3+9p2.
(2)设每位员工测试的费用为X元,则X的可能取值为90,150,
由题意知,P(X=150)=p(1-p)2,
所以E(X)=90×[1-p(1-p)2=90+180p(1-p)2,p∈(0,1).
令g(x)=90+180x(1-x)2,x∈(0,1),
则g'(x)=180[(1-x)2-2x(1-x)]=180(3x-1)(x-1),
(通过研究函数的性质,解决实际生活中的预算问题,体现了函数思想)
所以当x∈时,g'(x)>0,当x∈时,g'(x)<0,
所以函数g(x)在上单调递增,在上单调递减,
所以g(x)≤g,
即E(X)≤,
所以此方案的最高费用为1+600××10-4=8(万元).
综上可知,该方案不会超过预算.
思想方法　函数与方程思想在离散型随机变量中的应用:(1)结合分布列的性质及数学期望或方差的有关知识,利用方程思想构造方程(组)求参数;(2)将事件的概率、随机变量的数学期望或方差视为一个函数,利用函数思想求相关最值.
4.解析　设顾客办理业务所需的时间为Y分钟,用频率估计概率,得Y的分布列为
Y 1 2 3 4 5
P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1
(1)记“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”为事件A,则事件A对应三种情形:
(将事件A发生的可能情形进行分类讨论,再进行整合,体现了分类讨论思想)
①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;
②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;
③前两个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.
所以P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2)=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22.
(2)X的可能取值为0,1,2.
X=0表示第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5;
X=1表示第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟,所以P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2)=0.1×0.9+0.4=0.49;
X=2表示两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,
所以P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.5 0.49 0.01
E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.
5.解析　(1)由两局比赛后盒中恰有3个新球,(两局比赛中恰有一次用新球,分第一次与第二次用新球讨论)
可知两局比赛中第一次取到了旧球,第二次取到了新球或第一次取到了新球,第二次取到了旧球,
故两局比赛后盒中恰有3个新球的概率为.
(2)三局比赛后盒中新球的个数可能为1,2,3,4.
三局比赛取球包含=216种情况,
当三局比赛后剩1个新球时,三次均取新球,此时共有=24种情况,所以P(X=1)=;
若三局比赛后剩2个新球,(三局比赛中恰有两次用新球,分第一次、第二次与第三次用旧球讨论)
则第一次取旧球,第二次取新球,第三次取新球,
或者第一次取新球,第二次取旧球,第三次取新球,
或者第一次取新球,第二次取新球,第三次取旧球,
此时共有=108种情况,所以P(X=2)=;
若三局比赛后剩3个新球,(三局比赛中恰有一次用新球,分第一次、第二次与第三次用新球讨论)
则第一次取新球,第二次取旧球,第三次取旧球,
或者第一次取旧球,第二次取新球,第三次取旧球,
或者第一次取旧球,第二次取旧球,第三次取新球,
此时共有=76种情况,所以P(X=3)=;
当三局比赛后剩4个新球时,三次均取旧球,
此时共有=8种情况,所以P(X=4)=.
故X的分布列为
X 1 2 3 4
P
6.解析　(1)由题意知,ξ的可能取值为-1,0,1,
P(ξ=-1)=,P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=.
∴ξ的分布列为
ξ -1 0 1
P
(2)用M1表示事件“仅前2名物业人员进行了投票,且最终选取A方案为小区管理方案”,
P(M1)=[P(ξ=1)]2=.
用M2表示事件“仅前3名物业人员进行了投票,且最终选取A方案为小区管理方案”,
P(M2)=·[P(ξ=1)]2·P(ξ=0)=2×.
用M3表示事件“4名物业人员进行了投票,且最终选取A方案为小区管理方案”,
根据A方案的不同得分情况分类计算概率.
①若A方案比B方案多4分,有两类:
第一类,A方案前三次得了一次1分,两次0分,最后一次得1分,其概率为·[P(ξ=1)]2·[P(ξ=0)]2=;
第二类,A方案前两次得了一次1分,一次-1分,后两次均得1分,其概率为·P(ξ=-1)·[P(ξ=1)]3=.
②若A方案比B方案多2分,有三类:
第一类,A方案四次中得了一次1分,其他三次全为0分,其概率为·P(ξ=1)·[P(ξ=0)]3=;
第二类,A方案前三次得了一次1分,一次0分,一次-1分,最后一次得了1分,其概率为 ·[P(ξ=1)]2·P(ξ=0)·P(ξ=-1)=;
第三类,A方案前两次得了一次1分,一次-1分,第三次得1分,第四次得0分,其概率为·[P(ξ=1)]2·P(ξ=0)·P(ξ=-1)=.
故P(M3)=.
∴最终选取A方案为小区管理方案的概率P=P(M1)+P(M2)+P(M3)=.
思想方法　分类讨论思想在离散型随机变量中的应用:(1)对随机变量的取值进行分类;(2)对不同情形的发生进行分类;(3)求解随机变量取某一范围内的值的概率时,先分类求该变量取不同值时的概率,再将所得的概率相加.
7.B　由题意知正方形的面积为22=4,阴影部分的面积S=P(0则在正方形中随机投掷一个点,该点落在阴影部分的概率P=,
∴落入阴影部分的点的个数的估计值为10 000×=338.75≈339.故选B.
(结合正态曲线分析阴影部分的面积,由面积比得概率,从而解决问题)
8.D　由随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)知,ξ对应的正态密度函数图象的对称轴为直线x=2,画出此正态密度函数的大致图象,如图所示.(画出正态密度函数的图象,根据图象求相应区间的概率)
则P(1<ξ<2)=P(2<ξ<3)=P(ξ<3)-P(ξ≤2)=0.6-0.5=0.1.故选D.
思想方法　解决有关正态分布的概率问题时,可以画出相应正态密度函数的图象,利用其对称性,把“求某一区间内的概率”问题转化为求“阴影部分的面积”问题.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)