2025人教A版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--全书综合测评

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2025人教A版高中数学选择性必修第三册
全书综合测评
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.某工厂有甲、乙两条生产线生产同一型号的机械零件,产品的尺寸分别记为X,Y,已知X,Y均服从正态分布,且X~N(μ1,),其正态曲线如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性
B.甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性
C.甲生产线产品尺寸的平均值大于乙生产线产品尺寸的平均值
D.甲生产线产品尺寸的平均值小于乙生产线产品尺寸的平均值
2.已知变量x和y的统计数据如下表:
x 3 4 5 6 7
y 2.5 3 4 4.5 6
根据上表可得经验回归方程为x-0.25,据此可以预测当x=10时,y的估计值为(　　)
A.8.25　　　　B.8.5　　　　C.9.25　　　　D.9.5
3.设随机变量X,Y满足Y=3X-1,X~B,则D(Y)=(　　)
A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7
4.(2x-1)(x+1)6的展开式中含x3项的系数为(　　)
A.-30　　　　B.-20　　　　C.50　　　　D.10
5.泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布,由法国数学家泊松首次提出,泊松分布的概率分布列为P(X=k)=e-λ(k=0,1,2,…),其中e为自然对数的底数,λ是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立,且每个站台候车人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等,则该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为(　　)
A.
6.甲、乙两个袋子中各装有5个大小相同的小球,其中甲袋中有1个红球,2个白球和2个黑球,乙袋中有2个红球,2个白球和1个黑球,先从甲袋中随机取出一球放入乙袋,再从乙袋中随机取出一球.若用事件A1,A2和A3分别表示从甲袋中取出的球是红球,白球和黑球,用事件B表示从乙袋中取出的球是红球,则P(B)=(　　)
A.
7.植树节这天,某学校组织5名学生依次给树木浇水,其中甲和乙必须相邻,丙不在第三位,则不同的浇水顺序的种数为(　　)
A.30　　　　B.36　　　　C.40　　　　D.42
8.众所周知,组合数,这里m,n∈N*,并且m≤n.牛顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数是组合数的一种推广,其中m∈N*,x∈R,比如=1.下列关于广义组合数的说法,不正确的是(　　)
A.=-210
B.当m,n为正整数且m>n时,=0
C.当m为正奇数时,=-1
D.当n为正整数时,
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列说法正确的是(　　)
A.在经验回归方程=-0.85x+2.3中,y与x具有负相关关系
B.两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越大
C.对于事件A,B,若A B,且P(A)=0.3,P(B)=0.6,则P(B|A)=0.6
D.随机变量X服从正态分布N(4,1),若P(X≥5)=0.2,则P(310.在(2x-1)8的展开式中,下列说法正确的有(　　)
A.展开式中所有项的系数和为28
B.展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C.展开式中二项式系数最大的项为第五项
D.展开式中含x3的项的系数为-448
11.假设在一定的培养环境下,一种植物的寿命是取值为正整数的随机变量X,根据统计数据,它近似满足如下规律:对任意正整数n,寿命恰好为n年的植物在所有寿命不小于n年的植物中的占比为10%.记“一株植物的寿命为n年”为事件An,“一株植物的寿命不小于n年”为事件Bn,则下列结论正确的是(　　)
A.P(A2)=0.01
B.P(Bn)=0.9n-1
C.设an=P(An+1|B2),则{an}为等比数列
D.设Sn=nP(An),则Sk<10
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.元旦前夕某校在图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动,灯谜题目中逻辑推理占20%,传统灯谜占50%,学校文化占30%,小伟同学答对逻辑推理、传统灯谜、学校文化的概率分别为0.2,0.6,0.7,若小伟同学任意抽取一道题目作答,则答对题目的概率为　　　　,若小伟同学抽到的5道题都是逻辑推理题,则这5道题目中答对题目个数X的数学期望为　　　　.
13.设A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=,则P(B|A)=　　　　.
14.我们知道,在n次独立重复试验(即伯努利试验)中,若每次试验中事件A发生的概率为p,则事件A发生的次数X服从二项分布B(n,p).事实上,在无限次伯努利试验中,另一个随机变量的实际应用也很广泛,即事件A首次发生时试验进行的次数Y,显然P(Y=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,3,…,我们称Y服从“几何分布”,经计算得E(Y)=
都发生后停止,此时所进行的试验次数记为Z,则P(Z=k)=p(1-p)k-1+(1-p)pk-1,k=2,3,…,那么E(Z)=　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)有6名男医生,4名女医生.
(1)从中选出3名男医生,2名女医生,让这5名医生分别到5个不同的地区巡回医疗,共有多少种方法
(2)把10名医生分成两组,每组5人且每组都要有女医生,则有多少种不同的分法 若将这两组医生分派到两地去,并且每组选出正、副组长两人,有多少种不同的方案
16.(15分)根据交管部门有关规定,驾驶电动自行车必须佩戴头盔,保护自身安全,某市去年上半年对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口去年连续5个月监控设备抓拍到的电动自行车驾驶员不戴头盔的统计数据:
月份x 1 2 3 4 5
不戴头盔人数y 120 100 90 75 65
(1)请利用所给数据求不戴头盔人数y与月份x之间的经验回归方程;
(2)交管部门统计连续5年来通过该路口的电动自行车出事故的100人,分析不戴头盔行为与事故伤亡的关系,得到下表,依据α=0.05的独立性检验,分析不戴头盔行为与事故伤亡是否有关.
不戴头盔 戴头盔
伤亡 15 10
不伤亡 25 50
参考数据和公式:xiyi=1 215,,χ2=,n=a+b+c+d.
α 0.10 0.05 0.01 0.005
xα 2.706 3.841 6.635 7.879
17.(15分)某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究,得到相应的试验数据:
步频x/s 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32
步长y/cm 90 95 99 103 117
(1)根据表中数据,得到步频和步长近似为线性相关关系,求出y关于x的经验回归方程,并利用回归方程预测当步长为80 cm时,步频是多少;
(2)记为对应(xi,yi)的残差,求(1)中步长的残差和,并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立,若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
参考数据:xiyi=151.82.
参考公式:.
18.(17分)已知函数fn(x)=(1+λx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,其中λ∈R,n∈N.
(1)若n=8,a7=1 024,求ai(i=0,1,2,…,8)的最大值;
(2)若λ=2,求rar(用n表示);
(3)若λ=-1,求证:·xk·fn-k(x)=x.
19.(17分)设点集Mn={(a1,a2,a3,…,an)|ai∈{0,1},1≤i≤n,i∈N*},从集合Mn中任取两个不同的点A(a1,a2,a3,…,an),B(b1,b2,b3,…,bn),定义A,B两点间的距离d(A,B)=|ai-bi|.
(1)求M3中d(A,B)=2的点对的个数;
(2)从集合Mn中任取两个不同的点A,B,用随机变量X表示他们之间的距离d(A,B).
①求X的分布列与期望;
②证明:当n→+∞时,4D(X)答案与解析
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1.A 2.A 3.A 4.D 5.D 6.D
7.C 8.A 9.ABD 10.BCD 11.BCD
1.A　
2.A　由题意知×(2.5+3+4+4.5+6)=4,则4=5-0.25,解得=0.85,
∴当x=10时,=0.85×10-0.25=8.25.故选A.
3.A　因为X~B,所以D(X)=2×,又Y=3X-1,所以D(Y)=D(3X-1)=32D(X)=4.
4.D　(x+1)6的展开式的通项为Tr+1=x6-r,r∈N,r≤6,令6-r=2,得r=4,令6-r=3,得r=3,
故(2x-1)(x+1)6的展开式中含x3项的系数为2=10.故选D.
5.D　由题可知P(X=2)=P(X=3),即,解得λ=3(负值舍去),
因此P(X=k)=e-3(k=0,1,2,…),P(X=1)=,
所以两个站台各有1个乘客候车的概率P=.故选D.
6.D　由题意得P(A1)=,
结合全概率公式可知P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2+A3)P(A2+A3)=.故选D.
7.C　若丙在第一或第五位,甲、乙进行捆绑,内部全排列,和剩余的两个学生进行全排列,因此不同的浇水顺序有2=24种;
若丙在第二位或第四位,甲、乙进行捆绑,内部全排列,且甲、乙这个整体只能有两种选择,再将剩余的两位同学全排列,因此不同的浇水顺序有2×2=16种,
所以不同的浇水顺序共有24+16=40种.故选C.
8.A　选项A,由题意知,=210,故A中说法不正确.
选项B,由题知,
当m,n为正整数且m>n时,n-m≤-1,所以n-m+1≤0,所以n,n-1,n-2,…,n-m+1这m个数中,一定有某个数为0,所以=0,故B中说法正确.
选项C,当m为正奇数时,=-1,故C中说法正确.
选项D,当n为正整数时,
=(-1)m·,
,所以=(-1)m·,故D中说法正确.故选A.
9.ABD　对于A,由于经验回归直线=-0.85x+2.3的斜率为-0.85,所以y与x具有负相关关系,因此A正确;易知B正确;对于C,当A B时,P(B|A)=1,因此C错误;对于D,因为X~N(4,1),所以P(310.BCD　对于A,令x=1,可知展开式中所有项的系数和为1,A错误;对于B,展开式中所有奇数项的二项式系数和为=128,B正确;对于C,易知展开式中二项式系数最大的项为第五项,C正确;对于D,展开式中含x3的项为×(2x)3×(-1)5=-448x3,D正确.故选BCD.
11.BCD　设植物总数为M,寿命为i年的植物数为mi,由题意得,,
则mi=[M-(m1+m2+…+mi-1)] 10mi+m1+m2+…+mi-1=M①,10mi+1+m1+m2+…+mi-1+mi=M②,
②-①得,10mi+1=9mi,故P(Ai+1)=P(Ai) P(Ai)=,即P(An)=,
故P(A2)==0.09,因此A错误;
由mi=[M-(m1+m2+…+mi-1)]得P(Ai)=P(Bi),所以P(Bn)=10P(An)=,因此B正确;
由An+1 B2得P(An+1B2)=P(An+1),
an=P(An+1|B2)=,
所以,即{an}为等比数列,因此C正确;
Sn=nP(An)=n·,
设Cn=Sk,则10Cn=1×+…+n·,
9Cn=1×+…+(n-1)·+n·,
相减可得Cn=1++…+-n·-n·=10-(n+10)·,
所以Sk=10-(n+10)·<10,因此D正确.故选BCD.
12.答案　0.55;1
解析　设事件A=“小伟同学任意抽取一道题目作答,答对题目”,
则P(A)=0.2×0.2+0.5×0.6+0.3×0.7=0.55.
由题意得小伟同学任意抽取一道逻辑推理题作答,则答对题目的概率为0.2,
易知X~B(5,0.2),所以E(X)=5×0.2=1,即X的数学期望为1.
13.答案　
解析　因为P(A+,
所以P(AB)=,于是P(B|A)=.
14.答案　-1
解析　∵P(Y=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,3,…的期望E(Y)=,
∴P(Y=k)=p(1-p)k-1,k=2,3,…的期望E(Y)=-p.
又P(Z=k)=p(1-p)k-1+(1-p)pk-1,k=2,3,…,
∴E(Z)=2p(1-p)+2(1-p)p+3p(1-p)2+3(1-p)p2+…+kp(1-p)k-1+k(1-p)pk-1=-p+2(1-p)p+3(1-p)p2+…+k(1-p)pk-1.
设Ak=2p+3p2+…+kpk-1,
则pAk=2p2+3p3+…+(k-1)pk-1+kpk,
两式作差得(1-p)Ak=2p+p2+p3+…+pk-1-kpk=p+-kpk,
当k→+∞时,(1-p)Ak→p+.
∴E(Z)=-1.
15.解析　(1)分三步完成.
第一步:从6名男医生中选3名,有种方法;(2分)
第二步:从4名女医生中选2名,有种方法;(4分)
第三步:将选出的5人分配到5个地区,有种方法.　
根据分步乘法计数原理,共有=14 400种方法.(6分)
(2)医生的选法有以下两类情况:
①一组中女医生1名,男医生4名,另一组中女医生3名,男医生2名,共有种不同的分法;
②两组中都有女医生2名,男医生3名,因为组与组之间无顺序,所以共有种不同的分法.(9分)
因此,把10名医生分成两组,每组5人且每组都要有女医生的不同的分法共有=120(种).(11分)
若将这两组医生分派到两地去,并且每组选出正、副组长两人,则共有×120=96 000种不同的方案.(13分)
16.解析　(1)由题表得=55,(3分)
所以=-13.5,
=90+13.5×3=130.5,(7分)
所以经验回归方程为=-13.5x+130.5.(8分)
(2)零假设H0:不戴头盔行为与事故伤亡无关.由题意得χ2=≈5.556>3.841=x0.05,　(12分)
依据α=0.05的独立性检验,有充分证据推断H0不成立,即认为不戴头盔行为与事故伤亡有关,此推断犯错误的概率不大于0.05.(15分)
17.解析　(1)yi=100.8,(2分)
所以=100.8-620×0.3=-85.2,(6分)
所以y关于x的经验回归方程为=620x-85.2,
将y=80代入得80=620x-85.2,解得x≈0.27,
所以当步长为80 cm时,步频约是0.27 s.(8分)
(2)根据(1)得到=90-88.4=1.6,
=95-94.6=0.4,
=99-100.8=-1.8,
=103-107=-4,
=117-113.2=3.8,
所以=1.6+0.4-1.8-4+3.8=0,即步长残差和为0,(11分)
该结果对任意具有线性相关关系的两个变量都成立,(13分)
证明如下:
)=0.(15分)
18.解析　(1)若n=8,则f8(x)=(1+λx)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,(1分)
因此a7=λ7=1 024 λ=2,故(1+2x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,(3分)
不妨设at(t=0,1,2,3,…,8)最大,
则
解得 t=5或t=6,
故ai的最大值为a5=a6=·25=·26=1 792.(6分)
(2)若λ=2,则(1+2x)n=arxr,两边求导得2n(1+2x)n-1=rarxr-1,(9分)
令x=1,得rar=2n·3n-1.(11分)
(3)证明:若λ=-1,则fn(x)=(1-x)n,
·xk·fn-k(x)=·x0(1-x)n+·x1(1-x)n-1+·x2(1-x)n-2+…+·xn(1-x)0,(12分)
因为,(14分)
所以·xk·fn-k(x)=0+x2(1-x)n-2+…+x1(1-x)n-2+…+xn-1(1-x)0]
=x[x+(1-x)]n-1=x.(17分)
19.解析　(1)由题意知n=3,d(A,B)=2,
由ai与bi取0或1知,若ai与bi相等,则|ai-bi|=0,若ai与bi不相等,则|ai-bi|=1,因此|a1-b1|、|a2-b2|、|a3-b3|中有两个1一个0,
所以A,B有两个对应位置的坐标不相等,另一个对应位置的坐标相等,(3分)
所以共有=12对.(6分)
(2)①由题意可知,ai有两种取法,所以Mn中元素个数为=2n,(7分)
随机变量X的取值为1,2,3,…,n.
当X=k时,在坐标(a1,a2,a3,…,an)与(b1,b2,b3,…,bn)中有k个坐标值不同,剩下(n-k)个坐标值相同,
此时A、B的取法有·2k·2n-k=·2n种.(9分)
所以P(X=k)=,(10分)
故X的分布列为
X 1 2 … n
P …
(11分)
因此,随机变量X的数学期望为E(X)=1×+…+n×
=+…+n)
=+…+n.(13分)
(化简的关键是运用公式:k+…+=2n-1)
②证明:E(X)=,当n→+∞时,→0,E(X)→.(14分)
因为k≤n,所以当n→+∞时,(Xk-E(X))2≈.
由方差定义得D(X)=Pk·(Xk-E(X))2
≈+…+
<+…+
=+…+,(16分)
所以4D(X)21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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