2025人教A版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--数学探究　杨辉三角的性质与应用

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2025人教A版高中数学选择性必修第三册
数学探究　杨辉三角的性质与应用
1.(2024湖南益阳期末)杨辉三角的分布规律如图所示,记图中第i行第j列的元素为ai,j,则a10,6的值为(　　)
A.210　　　　B.84　　　　C.126　　　　D.106
2.(2023河北邯郸月考)如图,在“杨辉三角”中,从第2行右边的1开始按箭头所指的数依次构成数列1,2,3,3,6,4,10,5,…,则此数列前30项的和为(　　)
A.680　　　　B.679
C.816　　　　D.815
3.(多选题)(2024吉林通化期末)“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就,揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.请结合“杨辉三角”判断下列叙述,正确的是(　　)
A.+…+=118
B.第20行中,第11个数最大
C.记第n行的第i个数为ai,则2i-1ai=3n
D.第34行中,第15个数与第16个数的比为3∶4
4.(多选题)(2023江苏泰州中学期中)如图所示,在“杨辉三角”中,除每行两边的数都是1外,其余每个数都是其“肩上”的两个数之和.下列结论正确的是(　　)
A.第10行从左往右第3个数为45
B.若去除所有为1的项,依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,…,则此数列的前21项和为240
C.存在正整数r,n且rD.在“杨辉三角”中,第n行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项
5.(2023浙江9+1高中联盟期中)杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列,如图.记从上往下每一行各数之和为数列{an},比如a1=1,a2=2,a3=4,则数列{an}的前n项和为　　　　.
6.(2022辽宁沈阳大东质检)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨三角形”,它是由整数的倒数组成的,第n行有n个数,且两端的数均为(n∈N*,n≥2),每个数是它下一行左、右相邻两数的和,如,……,则第10行第4个数字(从左往右数)为　　　　.
7.(2023湖北鄂东南教学改革联盟期中)小明在学完杨辉三角(数字表示如图1)之后进行类比探究,将(x2+x+1)n的展开式按x的降幂排列,将各项系数表示如下(如图2).
图2中第n行的第m个数用.
(1)类比二项式系数的性质:(1≤k≤2n-1,k,n∈N*)(无需证明);
(2)类比二项式系数求和方法求出(3x2-x-2)5的展开式中x的奇次项系数之和.
8.(2023安徽芜湖期末)杨辉三角的数字表示如图.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质,利用这些性质,可以解决很多数学问题.
性质1:杨辉三角的第n行就是(a+b)n的展开式的二项式系数;
性质2(对称性):每行中与首末两端“等距离”的数相等,即;
性质3(递归性):除1以外的数都等于肩上两数之和,即;
性质4:自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右(左)下方的那个数,比如:1+2+3+4+5=15,1+3+6+10=20.
请回答以下问题:
(1)求杨辉三角中第8行的各数之和;
(2)证明:;
(3)在(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x的展开式中,求含x2项的系数.
答案与分层梯度式解析
数学探究　杨辉三角的性质与应用
1.C 2.D 3.BCD 4.ABD
1.C　由杨辉三角分布规律可得ai,j=(i≥2,i,j∈N*),
∴a10,6==126,故选C.
2.D　易知1+2+3+3+6+4+10+5+…=+…,所以数列前30项的和为+…+)+…+(+…++…++…++…+=…==816-1=815.故选D.
3.BCD　对于A,由可得,+…++…+-1
=+…+-1=119,因此A错误;
对于B,第20行有21项,中间一项最大,为,是第11个数,因此B正确;
对于C,由题图知ai=,所以2i-1ai=20a1+21a2+22a3+…+2nan+1=22+…+2n=(1+2)n=3n,因此C正确;
对于D,第34行中,第15个数与第16个数的比为=15∶20=3∶4,因此D正确.
故选BCD.
4.ABD　对于A,第10行从左往右第3个数为=45,故A正确.
对于B,易知第n(n∈N)行的所有数的和为2n,所以第0行至第n行的所有数的和为20+21+22+…+2n==2n+1-1.
在“杨辉三角”中,第0行至第n行中为1的项的个数为2n+1,数列的前21项为第0行至第7行中,去除所有为1的项后剩余的项,所以数列前21项和为28-1-15=240,故B正确.
对于C,假设存在正整数r,n且r所以,
整理,得n2-(4r+5)n+4r(r+2)+2=0,n2-(4r+9)n+4(r+1)(r+3)+2=0,两式相减,得n=2r+3,
由二项式系数的性质知,,与等差数列的性质矛盾,故C错误.
对于D,(1+x)2n=(1+x)n(1+x)n=(x2+…+xn-2+…+),对应相乘可得xn的系数为()2+…+()2,(1+x)2n的展开式的通项为Tr+1=·xr,r≤2n,令r=n,得Tn+1=xn,所以xn的系数为,所以()2+…+(,故D正确.故选ABD.
5.答案　2n-1　
解析　由杨辉三角及二项式系数的性质知第(n+1)行的所有数之和为+…+=2n,则第n(n∈N*)行所有数之和为2n-1,故数列{an}的前n项和为20+21+22+…+2n-1==2n-1.
6.答案　
解析　观察题图可知第n(n∈N*,n≥2)行的第i(i=1,2,…,n)个数为,
所以第10行第4个数为.
7.解析　(1).
(2)由题意,设(3x2-x-2)5=a0x10+a1x9+…+a9x+a10,
当x=1时,0=a0+a1+a2+…+a9+a10①,
当x=-1时,25=a0-a1+a2-…-a9+a10②,
①-②得2(a1+a3+a5+a7+a9)=-32,
∴a1+a3+a5+a7+a9=-16,
即(3x2-x-2)5的展开式中x的奇次项系数之和为-16.
8.解析　(1)杨辉三角中第8行的各数之和为
1++…++…+=28=256.
(2)证明:因为右边=,
左边=,所以左边=右边,
故.
(3)(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n+1的展开式中,含x2项的系数为+…++…++…++…+.
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