2025人教A版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--专题强化练2　形如“(a+b)n(c+d)m”“(a+b+c)n”的展开式

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2025人教A版高中数学选择性必修第三册
专题强化练2　形如“(a+b)n(c+d)m”“(a+b+c)n”的展开式
1.(2024广东深圳期中)(1-x)7的展开式中含x5的项的系数是(　　)
A.30　　　　B.32　　　　C.34　　　　D.36
2.(2024浙江宁波余姚中学质量检测)若(x-a)(1-2x)5的展开式中x3的系数为20,则a=(　　)
A.-
3.(2024黑龙江大庆质量检测)x2-2x+的展开式中的常数项为　(　　)
A.-15　　　　B.0　　　　C.15　　　　D.80
4.(2024河北唐山期中)已知(x+1)(x-1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则a1+a3的值为　　(　　)
A.-1　　　　B.1　　　　C.4　　　　D.-2
5.在的展开式中,x2的系数为　(　　)
A.2 021　　　　B.28　　　　C.-28　　　　D.-56
6.(2024山东济南模拟)在的展开式中,常数项为(　　)
A.28　　　　B.-28　　　　C.-56　　　　D.56
7.(2024福建莆田一中月考)(x+2y)5(x-2y)7的展开式中,x9y3的系数为(　　)
A.-160　　　　B.-80　　　　C.160　　　　D.80
8.(多选题)(2024福建福州期中)在(a-x)(1+x)6的展开式中,x的奇数次幂项的系数之和为64,则下列结论正确的是(　　)
A.a=3
B.展开式中常数项为3
C.展开式中x4的系数为30
D.展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64
9.(2024河南青桐鸣大联考)在(1+x+2y)10的展开式中,x3y2的系数是　　　　.
10.(2024浙江台州期中)的展开式中x2的系数为　　　　.
11.(2024四川绵阳期末)求的展开式中的常数项.
12.(2023江苏盐城一中期中)在(n∈N*)的展开式中,　　　　,　　　　.
从条件①第2项与第3项的二项式系数之比为1∶4,②各项系数之和为512,③第7项为常数项中选择两个分别补充在上面的横线上,并回答下列问题.
(1)求实数a和n的值;
(2)求(x的展开式中的常数项.
答案与分层梯度式解析
专题强化练2　形如“(a+b)n(c+d)m”“(a+b+c)n”的展开式
1.C 2.A 3.B 4.C 5.B 6.A 7.D 8.ABD
1.C　(1-x)7,
(1-x)7的展开式的通项为Tr+1=·(-x)r=(-1)r·xr,r=0,1,2,…,7,
所以展开式中含x5的项的系数为(-1)4×=34.故选C.
解题模板　二项式乘多项式,先计算二项展开式的通项,按多项式乘法用多项式的每一项乘通项,再按要求求出指定项(系数).
2.A　(x-a)(1-2x)5=x(1-2x)5-a(1-2x)5,
(1-2x)5的展开式的通项为Tk+1=·(-2x)k=(-1)k·2k·xk,
由题意可得(-1)2·22·-a·(-1)3·23·=40+80a=20,解得a=-.故选A.
3.B　,0≤
r≤5,r∈N,
令-=-2,得r=4,即T5=×(-2)4x-2,
令-=-1,得r=2,即T3=×(-2)2x-1,
令-=1,得r=-2,舍去,
所以展开式中的常数项为x2××(-2)2x-1=0.故选B.
4.C　(x+1)(x-1)5=x(x-1)5+(x-1)5,
(x-1)5的展开式的通项为Tr+1=x5-r(-1)r,
令5-r=2,得r=3;令5-r=3,得r=2,
因此a3=(-1)2=0,
同理,令5-r=1,得r=4;令5-r=0,得r=5,
因此a1=(-1)5=4,
所以a1+a3=4.故选C.
5.B　,其展开式的通项为Tr+1=,0≤r≤8,r∈N,
易知的展开式的通项为Tk+1=(-1)r-k·,0≤k≤r≤8,k∈N,r∈N,
令r-2 022k=2,可得r=2,k=0,
故展开式中x2的系数为×(-1)2=28.
故选B.
解题模板　解决(a+b+c)n的展开式的问题的方法通常有两种:一是两次运用二项式定理,二是直接利用组合知识求解通项.
6.A　因为x3-2x+,所以,又因为(x2-1)8的展开式的通项为Tr+1=(x2)8-r·(-1)r,所以x4的系数为×(-1)6=28,所以所求常数项为28,故选A.
7.D　(x+2y)5(x-2y)7=[(x+2y)(x-2y)]5(x-2y)2=(x2-4xy+4y2)(x2-4y2)5,
(x2-4y2)5的展开式的通项为Tr+1=(x2)5-r·(-4y2)r=·(-4)r·x10-2r·y2r,
令无解;令得r=1;令无解.故展开式中含x9y3的项的系数为-4··(-4)1=80.故选D.
8.ABD　设(a-x)(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,
令x=1,得a0+a1+a2+…+a7=64(a-1),①
令x=-1,得a0-a1+a2-…-a7=0,②
①-②,得2(a1+a3+a5+a7)=64(a-1),
因为展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64,
即a1+a3+a5+a7=64,
所以2×64=64(a-1),解得a=3,
即(3-x)(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.
令x=0,可得a0=3,即展开式中常数项为3.
①+②,得2(a0+a2+a4+a6)=64×2,
所以a0+a2+a4+a6=64,
即展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64.
(3-x)(1+x)6的展开式中x4的系数为3×=25.故选ABD.
9.答案　10 080
解析　(1+x+2y)10=[1+(x+2y)]10,其展开式的通项为Tr+1=(x+2y)r(r=0,1,2,…,10),
(x+2y)r的展开式的通项为Tk+1=·2k·xr-k·yk(k=0,1,2,…,r),
令得k=2,r=5,故x3y2的系数为·22=10 080.
10.答案　-115
解析　∵,
∴其展开式的通项为·(-1)k,
又,
∴原式展开式的通项为(-1)k·(-2)r··x10-2k-3r,其中0≤k≤5,0≤r≤5-k,k∈N,r∈N,
令10-2k-3r=2,可得2k+3r=8,则
∴的展开式中x2的系数为(-1)4·(-2)0·+(-1)1·(-2)2·=5-120=-115.
11.解析　求展开式中的常数项,必需x2的指数是,据此分类讨论,再考虑y4与的指数求解.
①当x2的指数为1时,的指数为2,此时只需y4+5的展开式中出现y2项,即·(y4)2·,
因此常数项为·x2··(y4)2·=1 680;
②当x2的指数为2时,的指数为4,此时只需的展开式中出现y4项,显然不可能.
故所求常数项为1 680.
12.解析　(1)由条件①得,所以n=9.
对于条件②,令x=1,得(1+a)n=512.
由条件③得a6xn-6-3为常数项,所以n=9.
所以选择①或③均得到n=9,所以只能选择条件①与②或条件②与③,则(1+a)9=512,解得a=1.
(2)由(1)得(x的展开式的通项为Tr+1=,r=0,1,…,9.
令9-=0,得r=7,令9-r=0,得r=6.
所以常数项为=-48.
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