2025人教A版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--专题强化练5　回归模型的综合应用

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2025人教A版高中数学选择性必修第三册
专题强化练5　回归模型的综合应用
1.(2024河北邢台四校期末联考)对变量x,y的一组样本数据进行回归分析,以下说法中错误的是(　　)
A.若变量x和y之间的相关系数r=-0.992,则变量x和y之间的负线性相关程度很强
B.用决定系数R2来比较两个模型的拟合效果,R2越大,表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好
C.在经验回归方程=-2x+0.8中,当x每增加1个单位时,平均减少2个单位
D.经验回归直线至少经过点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一个
2.(2024安徽安庆期末)对于数据组(xi,yi)(i=1,2,…,n),如果由经验回归方程得到的对应自变量xi的估计值是,那么将yi-称为对应点(xi,yi)的残差.某商场为了给一种新商品进行合理定价,将该商品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
单价x/元 8.2 8.4 8.6 8.8
销量y/件 84 83 78 m
根据表中的数据,得到销量y(单位:件)与单价x(单位:元)之间的经验回归方程为,据计算,样本点(8.4,83)处的残差为1,则m=(　　)
A.76　　　　B.75
C.74　　　　D.73
3.(2024湖北武汉质检)某同学在研究变量x,y之间的相关关系时,得到以下数据,并采用最小二乘法得到了经验回归方程:,则　　　　0(填“>”或“<”).
x 4.8 5.8 7 8.3 9.1
y 2.8 4.1 7.2 9.1 11.8
4.(2024江西南昌模拟)一地质探测队为探测一矿中金属锂的分布情况,先设了1个原点,又确定了5个采样点,这5个采样点到原点的距离分别为xi,其中xi=i(i=1,2,3,4,5),并得到了各采样点金属锂的含量yi,得到一组数据(xi,yi),i=1,2,3,4,5,经计算得到如下统计量的值:ui≈4.79,)2≈1.615,)·(yi-)≈19.38,其中u=ln x.
(1)利用相关系数判断y=a+bx与y=a+bln x哪一个更适宜作为y关于x的回归模型;
(2)根据(1)中的模型求y关于x的经验回归方程.
参考公式:经验回归直线t的斜率、截距的最小二乘估计公式分别为,相关系数r=;参考数据:=232.56.
5.(2024江西上饶第一中学开学考试)某品牌商家入驻一家购物平台后,销售额大幅提升,为了答谢顾客并进一步提升销售额,该品牌商家每年都在“跨年夜”购物狂欢节进行该品牌某商品的促销活动.促销活动规则如下:
a.“价由客定”,即所有参与该商品促销活动的人进行网络报价,每个人并不知晓其他人的报价,也不知道参与该商品促销活动的总人数;
b.报价时间截止后,系统根据当年“跨年夜”该商品数量配额,按照参与该商品促销活动人员的报价从高到低分配名额;
c.每人限购一件,且参与人员分配到名额时必须购买.
某位顾客拟参加2024年“跨年夜”该商品促销活动,他为了预测该商品最低成交价,根据该购物平台的公告,统计了最近5年“跨年夜”参与该商品促销活动的人数(单位:十万),如表.
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份编号t 1 2 3 4 5
参与人数y (单位:十万) 0.5 0.6 1 1.4 1.7
(1)由收集数据的散点图发现,可用线性回归模型拟合参与人数y(单位:十万)与年份编号t之间的相关关系,请用最小二乘法求y关于t的经验回归方程:,并预测2024年“跨年夜”参与该商品促销活动的人数;
(2)该购物平台调研部门对2 000位拟参与2024年“跨年夜”该商品促销活动人员的报价进行抽样调查,得到如下的一份频数表:
报价/ 千元 [1,2) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6) [6,7]
频数 200 600 600 300 200 100
①求这2 000位参与人员报价的平均值和样本方差s2(同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替);
②假设所有参与该商品促销活动人员的报价(单位:千元)X均服从正态分布N(μ,σ2),且μ与σ2可分别由①中所求的样本平均值和样本方差s2估值.若预计2024年“跨年夜”该商品最终销售量为31 730件,请你合理预测(需说明理由)该商品的最低成交价.
参考公式及数据:(i);
(ii)≈1.3;
(iii)若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ答案与分层梯度式解析
专题强化练5　回归模型的综合应用
1.D　因为|r|=0.992,非常接近1,所以变量x和y之间的负线性相关程度很强,故A正确;用决定系数R2来刻画回归效果,R2越大,表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好,故B正确;在经验回归方程=-2x+0.8中,当x每增加1个单位时,平均减少2个单位,故C正确;经验回归直线必过样本点的中心,不一定过样本点,故D错误.故选D.
2.B　由条件知当x2=8.4时,=83-1=82,
代入,得=82+20×8.4=250,于是=-20x+250,
易得×(8.2+8.4+8.6+8.8)=8.5,
因为经验回归直线必过样本点的中心(),
所以=80,即=80,解得m=75.
故选B.
易错警示　对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方程得到的称为预测值,观测值减去预测值所得的差称为残差.解题时防止被减数与减数用错导致解题错误.
3.答案　<
解析　画出散点图如图:
由散点图画出经验回归直线的大致位置,从而可以看出直线在y轴上的截距<0.
方法技巧　解决经验回归方程有关定性的小题,往往可借助图形解决,简化运算,不需运用代数法求出系数,小题大做.
4.解析　(1)若用y=a+bx作为回归模型,
易得=3,
)2=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=10,
所以相关系数r1=.
若用y=a+bln x作为回归模型,由u=ln x,得y=a+bu.
则相关系数r2=,
比较,
,
因为,所以用y=a+bln x作为y关于x的回归模型.
(2)由(1)得=12,
ui≈×62=12.4,
所以≈12.4-12×0.958=0.904,则=0.904+12u,
故y关于x的经验回归方程为=0.904+12ln x.
5.解析　(1)由题意可知×(1+2+3+4+5)=3,
×(0.5+0.6+1+1.4+1.7)=1.04,
所以=0.32,
=1.04-0.32×3=0.08,
所以经验回归方程为=0.32t+0.08.
当t=6时,=0.32×6+0.08=2,
所以预测2024年“跨年夜”参与该商品促销活动的人数为20万.
(2)①由题表中的数据可得平均值为×6.5=3.5(千元),
样本方差s2=(-2)2×=1.7.
②由①可知X~N(3.5,1.7),σ=≈1.3,
所以P(3.5-1.3则P(X≥4.8)≈=0.158 65,
又=0.158 65,
所以该商品的最低成交价为4.8千元.
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