2025人教A版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--专题强化练6　独立性检验的综合应用

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2025人教A版高中数学选择性必修第三册
专题强化练6　独立性检验的综合应用
1.(2024湖北武汉期中)电子邮件是一种用电子手段提供信息交换的通信方式,是互联网应用最广的服务.我们在使用电子邮件时发现一个有趣的现象:中国人的邮箱名称里含有数字的比较多,而外国人的邮箱名称里含有数字的比较少.为了研究邮箱名称里有无数字是否与国籍有关,某人随机调取了40个邮箱名称,得到如下2×2列联表:
单位:人
中国人 外国人 总计
邮箱名称里有数字 15 5 20
邮箱名称里无数字 5 15 20
总计 20 20 40
(1)根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析邮箱名称里有无数字是否与国籍有关;
(2)用样本估计总体,将频率视为概率,在中国人的邮箱名称里和外国人的邮箱名称里各随机抽取6个邮箱名称,记“6个中国人的邮箱名称里恰有3个有数字”的概率为P1,“6个外国人的邮箱名称里恰有3个有数字”的概率为P2,试比较P1与P2的大小.
附: χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2.(2024吉林BEST合作体期末)熏肉大饼是吉林省四平市极具特色的美味小吃,很多外地游客慕名前往四平品尝.某调查机构从年龄在[20,70]岁的游客中随机抽取了100人,对是否有意向购买熏肉大饼进行调查,结果如下表:
年龄段 [20, 30) [30, 40) [40, 50) [50, 60) [60, 70]
抽取人数 18 22 25 27 8
有意向购买熏 肉大饼的人数 8 17 22 24 4
(1)若以年龄40岁为分界线,由以上统计数据完成下面的2×2列联表,并依据小概率值α=0.05的独立性检验判断能否认为有无意向购买熏肉大饼与人的年龄有关;
年龄段 [20,40) [40,70] 总计
有意向购买 熏肉大饼的人数
无意向购买 熏肉大饼的人数
总计
(2)用样本估计总体,用频率估计概率,从年龄在[60,70]岁的所有游客中随机抽取3人,设这3人中打算购买熏肉大饼的人数为X,求X的分布列和数学期望.
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
3.(2024辽宁本溪一中期末)在某次考试中,某校共有500名学生参加考试,其中语文成绩(单位:分)近似服从正态分布N(95,17.52),数学成绩(单位:分)的频率分布直方图如图:
(1)如果成绩大于或等于130分的为特别优秀,那么这500名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人
(2)如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人,从(1)中的这些同学中随机抽取3人,设3人中两科都特别优秀的有X人,求X的分布列和数学期望;
(3)由(1)(2)中的数据判断是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学,数学也特别优秀.
附:①若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ② χ2=,n=a+b+c+d.
③
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
4.(2024广西桂林模拟)某农场主拥有两个面积都是200亩的农场——“生态农场”与“亲子农场”,种植的都是黄桃,黄桃根据品相和质量分为优级果、一级果和残次果三个等级.农场主随机抽取了两个农场的黄桃各100千克,并得到如下数据:“生态农场”的优级果和一级果共95千克,两个农场的残次果共20千克,“生态农场”的优级果有20千克,“亲子农场”的优级果有25千克.
(1)根据所提供的数据及α=0.050的独立性检验,分析残次果率与农场是否有关;
(2)种植黄桃的成本为5元/千克,且黄桃价格如表:
等级 优级果 一级果 残次果
价格/ (元/千克) 10 8 -0.5 (无害化处理费用)
①以样本的频率作为概率,请分别计算两个农场每千克黄桃的平均利润;
②由于农场主精力有限,决定卖掉其中的一个农场,请你根据以上数据帮他进行决策.(假设两个农场的产量相同)
附: χ2=,其中n=a+b+c+d.
α 0.100 0.050 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
答案与分层梯度式解析
专题强化练6　独立性检验的综合应用
1.解析　(1)零假设H0:邮箱名称里有无数字与国籍无关.经计算得χ2==10<10.828=x0.001,
所以根据小概率值α=0.001的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此认为邮箱名称里有无数字与国籍无关.
(2)由题意可知,中国人的邮箱名称里有数字的概率为,外国人的邮箱名称里有数字的概率为.
设6个中国人的邮箱名称里有数字的邮箱名称个数为随机变量X,6个外国人的邮箱名称里有数字的邮箱名称个数为随机变量Y,
由题意可知,X~B,
则P1=,
P2=,
所以P1=P2.
2.解析　(1)2×2列联表如下:
年龄段 [20,40) [40,70] 总计
有意向购买 熏肉大饼的人数 25 50 75
无意向购买 熏肉大饼的人数 15 10 25
总计 40 60 100
零假设H0:有无意向购买熏肉大饼与人的年龄无关.
根据表中数据计算得χ2=≈5.556>3.841=x0.05,
所以依据小概率值α=0.05的独立性检验,我们推断H0不成立,
即有无意向购买熏肉大饼与人的年龄有关,该推断犯错误的概率不超过0.05.
(2)由已知得X~B,X的可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)=,
P(X=2)=.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=3×.
3.解析　(1)设语文成绩为Y(单位:分),则Y~N(95,17.52),
∴语文成绩特别优秀的概率为P(Y≥130)=P(Y≥95+2×17.5)≈(1-0.96)×=0.02,
∴语文成绩特别优秀的同学约有500×0.02=10人,
∵数学成绩特别优秀的概率为0.001 2×20=0.024,
∴数学成绩特别优秀的同学约有500×0.024=12人.
(2)语文、数学两科都特别优秀的有6人,只有一科特别优秀的有10-6+12-6=10人,
由已知得X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=,
P(X=2)=,
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望为E(X)=0×.
(3)作出2×2列联表如下:
单位:人
语文特别优秀 语文不特别优秀 合计
数学特别优秀 6 6 12
数学不特别优秀 4 484 488
合计 10 490 500
则χ2=≈144.5>6.635,
∴有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学,数学也特别优秀.
4.解析　(1)由题中相关数据可作出2×2列联表如下:
单位:千克
非残次果 残次果 总计
“生态农场” 95 5 100
“亲子农场” 85 15 100
总计 180 20 200
零假设H0:残次果率与农场无关.
计算得χ2=≈5.556>3.841=x0.050,
所以根据小概率值α=0.050的独立性检验,有充分证据推断H0不成立,即认为残次果率与农场有关,此推断犯错误的概率不大于0.050.
(2)①对于“生态农场”,抽到的产品中每千克盈利为5元的频率为=0.2,每千克盈利为3元的频率为=0.75,每千克盈利为-5.5元的频率为=0.05,所以该农场每千克黄桃的平均利润为5×0.2+3×0.75+(-5.5)×0.05=2.975(元);
对于“亲子农场”,抽到的产品中每千克盈利为5元的频率为=0.25,每千克盈利为3元的频率为=0.6,每千克盈利为-5.5元的频率为=0.15,所以该农场每千克黄桃的平均利润为5×0.25+3×0.6+(-5.5)×0.15=2.225(元).
②由于两个农场的产量相同,且“生态农场”每千克黄桃的平均利润更大,盈利能力更大,所以应该卖掉“亲子农场”.
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