2025人教A版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--6.2.1　排列　6.2.2　排列数

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2025人教A版高中数学选择性必修第三册
6.2　排列与组合
6.2.1　排列　6.2.2　排列数
基础过关练
题组一　对排列的概念的理解
1.给出下列问题:
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加化学和物理学习小组;
②从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学参加一项活动;
③从a,b,c,d这4个字母中取出2个字母组成一个密码;
④从1,2,3,4这4个数字中取出2个数字组成一个两位数.
其中属于排列问题的个数为(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
2.(多选题)从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素,下列问题属于排列问题的是(　　)
A.相加可得多少个不同的和
B.相除可得多少个不同的商
C.作为椭圆方程=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆
D.作为双曲线方程=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线
题组二　排列数与排列数公式
3.(2023山西忻州期中)=(　　)
A.6　　　　B.24　　　　C.360　　　　D.720
4.(多选题)(2024重庆拔尖强基联盟月考)下列计算正确的是(　　)
A.=n(n-1)(n-2)…(n-m)
B.=210
C.
D.4×5×6×…×2 024=
5.已知0!+=133,则n=　　　　;计算:=　　　　.
6.(1)解方程:;
(2)解不等式:;
(3)证明:.
题组三　无限制条件的排列问题
7.(2023天津河东期中)某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛,则不同选法的种数是　(　　)
A.10　　　　B.30　　　　C.60　　　　D.125
8.参加完某项活动的6名成员合影留念,前排和后排各3人,则不同排法的种数为(　　)
A.360　　　　B.720　　　　C.2 160　　　　D.4 320
9.(2024江苏洪泽中学等七校联考)一排有8个座位,有3人随意就座,则不同的坐法共有(　　)
A.336种　　　　B.112种　　　　C.56种　　　　D.42种
10.3张卡片正、反面分别标有数字1和2,3和4,5和7,若将这3张卡片并列组成一个三位数,则可以得到　　　　个不同的三位数.
题组四　“在”与“不在”问题
11.(2024安徽亳州期末)班主任安排甲、乙、丙、丁、戊5名学生担任语文、数学、英语、物理、化学的课代表,要求每人担任一科的课代表,且每科只有一个课代表,若甲只能担任语文或英语的课代表,则不同的安排方法数为(　　)
A.24　　　　B.36　　　　C.48　　　　D.72
12.(2024吉林BEST合作体期末) 4个人排成一排,则甲不站两边的站法有(　　)
A.8种　　　　B.10种　　　　C.12种　　　　D.24种
13.(2024浙江宁波余姚中学质量检测)在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有(　　)
A.512个　　　　B.192个　　　　C.240个　　　　D.108个
14.期末考试结束后,某班要进行试卷讲评,要求课程表中安排语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课,如果第一节课只能安排语文或数学,最后一节课不能安排语文,则不同的排法共有(　　)
A.192种　　　　B.216种　　　　C.240种　　　　D.288种
15.(2024河北石家庄七县联考)北京时间2023年10月26日19时34分,神舟十六号航天员乘组(景海鹏,桂海潮,朱杨柱3人)顺利打开“家门”,欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组(汤洪波,唐胜杰,江新林3人)入驻“天宫”.随后,两个航天员乘组拍下“全家福”,共同向全国人民报平安.若这6名航天员站成一排合影留念,景海鹏不站最左边,汤洪波不站最右边,则不同的排法有　　　　种.
16.现有3名男生,4名女生排成一排.
(1)若甲不排在最左端也不排在最右端,则共有多少种不同的排法
(2)若甲、乙排在两端,则共有多少种不同的排法
题组五　“相邻”与“不相邻”问题
17.(2024河北邢台名校联盟月考)某话剧有5名女演员和2名男演员,演出结束后,全体演员站成一排谢幕,若2名男演员不相邻,则不同的排法有(　　)
A.3 600种　　　　B.2 400种　　　　C.360种　　　　D.240种
18.(2024辽宁部分高中期末)现有7本不同的书,其中有2本文学类,2本理科类,3本语言类,把它们排成一排,同一类的书相邻的排法有　　　　种.
19.(2024江西部分学校阶段考试)5位女生和2位男生站成一排,若2位男生相邻,则不同的排法共有　　　　种;若每位女生至少与一位女生相邻,则不同的排法共有　　　　种.
20.(2024福建莆田期末) 5名男生,2名女生站成一排照相.求在下列约束条件下,有多少种不同的站法:
(1)女生不站在两端;
(2)女生相邻;
(3)女生不相邻.
题组六　“定序”问题
21.(2023辽宁铁岭昌图第一高级中学月考)元宵节灯展后,悬挂的8盏不同的花灯需要取下,如图所示,每次取1盏,则不同的取法有(　　)
A.32种　　　　B.70种　　　　C.90种　　　　D.280种
22.若把英文单词“anyway”的字母顺序写错,则可能出现错误写法的种数为　　　　.
能力提升练
题组　排列数的应用
1.(2024福建龙岩期末)某学校高二(1)班上午安排语文、数学、英语、体育、物理5门课,要求第一节不安排体育,语文和数学必须相邻,则不同的排课方法共有(　　)
A.18种　　　　B.36种　　　　C.54种　　　　D.72种
2.(2024辽宁新高考联盟月考)甲、乙、丙等6人站成一排,且甲不在两端,乙和丙之间恰有2人,则不同排法有(　　)
A.128种　　　　B.96种　　　　C.72种　　　　D.48种
3.(多选题)(2024江苏常州期末)甲、乙、丙等6人排成一列,下列说法正确的有(　　)
A.若甲和乙相邻,共有240种排法
B.若甲不排第一个,共有480种排法
C.若甲与丙不相邻,共有480种排法
D.若甲在乙的前面,共有360种排法
4.(多选题)(2024山东东营一中开学考试)4个男生与3个女生排成一排,下列说法正确的是(　　)
A.若3个女生必须相邻,则不同的排法有=144种
B.若3个女生中有且只有2个女生相邻,则不同的排法有=2 880种
C.若女生甲不能在最左端,且女生乙不能在最右端,则不同的排法共有=3 720种
D.若3个女生按从左到右从高到低的顺序排列,则不同的排法有=840种
5.(2023河南南阳第一中学月考)汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示,这个弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色,要求相邻的区域不能用同一种颜色,则不同的涂色方案种数为(　　)
A.180　　　　B.192　　　　C.300　　　　D.420
6.(2023广东深圳中学期中)用1,2,3,4,5,6这六个数组成六位数(没有重复数字),要求任何两个相邻数字的奇偶性不同,且1和2相邻,则这样的六位数的个数是　　　　.
7.(2024江苏泰州靖江高级中学月考)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名学生分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表,要求甲不当语文课代表,乙不当数学课代表,若丙当物理课代表,则丁必须当化学课代表,则不同的选法共有　　　　种.
8.(2024重庆南开中学段考)4名男生和5名女生站成一排.
(1)甲不在正中间也不在两端的站法有多少种
(2)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种
(3)男、女分别排在一起的站法有多少种
(4)男、女相间的站法有多少种
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种
答案与分层梯度式解析
6.2　排列与组合
6.2.1　排列　6.2.2　排列数
基础过关练
1.C 2.BD 3.A 4.BC 7.C 8.B 9.A 11.C
12.C 13.D 14.B 17.A 21.B
1.C　①③④中涉及顺序,是排列问题,②中不涉及顺序,不是排列问题.故选C.
方法总结　判断一个具体问题是不是排列问题,就看取出元素后的安排是有序的还是无序的,而检验是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应由具体问题的性质和条件来决定),看其结果是否有变化,有变化就是排列问题,无变化就不是排列问题.
2.BD　因为加法满足交换律,所以A中问题不是排列问题;因为除法不满足交换律,所以B中问题是排列问题;若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b>0,所以C中问题不是排列问题;在双曲线=1中,不管a>b>0还是03.A　=6.故选A.
4.BC　对于A,=n(n-1)(n-2)…(n-m)(n-m+1),因此A错误;对于B,=7×6×5=210,因此B正确;对于C,因为=n(n-1)(n-2)…(n-m)(n-m+1),=(n-1)(n-2)…[(n-1)-(m-1)][(n-1)-(m-1)+1]=(n-1)(n-2)…(n-m)(n-m+1),所以,因此C正确;对于D,4×5×6×…×2 024=,因此D错误.故选BC.
5.答案　12;726
解析　0!+=1+n(n-1)=133,即n2-n-132=(n-12)(n+11)=0,解得n=12或n=-11,又n≥2,所以n=12.由解得n=3,所以=6×5×4×3×2×1+3×2×1=726.
6.解析　(1)因为所以x≥3,x∈N*,由得(2x+1)·2x·(2x-1)·(2x-2)=140x·(x-1)·(x-2),
化简得4x2-35x+69=0,解得x=3或x=(舍去),故方程的解为x=3.
(2)由,得,化简得x2-19x+84<0,解得7又所以2(3)证明:∵·(n-m)!
=·(n-m)!=(n-1)!,=(n-1)!,
∴.
7.C　根据题意,选出的3人有顺序的区别,则有=60种不同的选法.
8.B　解法一:不管前排还是后排,共有6个位置,这6名成员依次选择位置即可.故不同排法的种数为=6×5×4×3×2×1=720.故选B.
解法二:先安排后排3人,有种不同排法,再安排前排3人,有种不同排法,故共有=720种不同排法.故选B.
9.A　从8个座位中任取3个,3人随意就座,有=336种坐法.故选A.
10.答案　48
解析　分两步:
第一步:确定排在百位、十位、个位上的卡片,即3个元素的一个全排列,即;
第二步:分别确定百位、十位、个位上的数字,各有2种选法,即23.
根据分步乘法计数原理,可以得到×23=48个不同的三位数.
11.C　若甲担任语文课代表,则不同的安排方法数为=24,若甲担任英语课代表,则不同的安排方法数为=24,因此共有48种不同的安排方法.故选C.
12.C　由已知得甲只能在中间两个位置,共有=2种排法,再排剩下的3人,共有=6种排法,
由分步乘法计数原理可得,共有2×6=12种排法.故选C.
13.D　能被5整除的四位数,可分为两类:
一类是末位为0,由分步乘法计数原理,共有5×4×3=60个.
另一类是末位为5,首位不能为0,由分步乘法计数原理共有4×4×3=48个.
由分类加法计数原理得所求的四位数共有60+48=108个.故选D.
方法技巧　解决排列应用题时,如果有多个条件,通常是先易(肯定语气)后难(否定、不确定语气),两个条件都不易,可根据前一个条件对后面条件的影响进行分类讨论.
14.B　①若第一节课安排语文,则后面五节课的安排无限制,有种排法;②若第一节课安排数学,则语文可安排在中间四节课中的任何一节,剩余四节课的安排无限制,有4种排法.所以不同的排法共有=216(种).故选B.
15.答案　504
解析　由题意分为两种情况:
第一种情况:景海鹏站最右边,共有=120种排法;
第二种情况:景海鹏不站最左边与最右边,则共有=384种排法,
因此总共有120+384=504种排法.
16.解析　(1)解法一(元素分析法):先排甲,有5种排法,再排其余6人,有种排法,共有5×=3 600种不同的排法.
解法二(位置分析法):因为甲不排在两端,所以先从甲以外的6个人中任选2个人排在两端,有种排法;再将其余5个人排在中间5个位置上,有种排法.由分步乘法计数原理,可知共有=3 600种不同的排法.
(2)首先考虑两端位置,由甲、乙去排,有种排法;再将其余5个人排在中间5个位置上,有种排法.根据分步乘法计数原理,共有=240种不同的排法.
17.A　先将5名女演员排成一排,形成6个空,再将2名男演员插空进去,共有=3 600种排法.故选A.
18.答案　144
解析　采用捆绑法,将同一类的书捆绑在一起后,再和其他类的书全排列,共有=2×2×6×6=144种不同的排法.
19.答案　1 440;2 160
解析　若2位男生相邻,则不同的排法共有=1 440种.若5位女生相邻,则排法有=720种;若2位女生相邻,另外3位女生相邻,则排法有=1 440种,所以每位女生至少与一位女生相邻时,共有720+1 440=2 160种排法.
20.解析　(1)根据题意,女生不站在两端,即男生在两端,在5个男生中选出2人,安排在两端,剩下5人安排在中间,有=2 400种不同的站法.
(2)两名女生要相邻,先把两名女生捆绑在一起看作一个整体,
再和另外的5名男生全排,故有=1 440种不同的站法.
(3)利用插空法,先把5名男生排成一排,形成6个空,再把2名女生插空进去,故共有=3 600种不同的站法.
21.B　因为取花灯时每次只能取1盏,所以每串花灯必须先取下面的花灯,即每串花灯取下的顺序确定,故不同的取法有=70(种).故选B.
22.答案　179
解析　英文单词“anyway”中有2个“a”,2个“y”,1个“n”,1个“w”,这6个字母的排列顺序共有=180(种),则可能出现错误写法的种数为180-1=179.
能力提升练
1.B 2.B 3.ACD 4.BCD 5.D
1.B　根据题意,分2步进行分析:
①将语文和数学看成一个整体,与英语、物理全排列,有=12种安排方法,
②排好后,有3个空位可插入体育,则体育有3种安排方法,因此有12×3=36种安排方法.故选B.
2.B　分两种情况讨论:
①甲是乙、丙之间的两人之一,先排乙、丙有种排法,再安排甲有种排法,从其他3人中选一人安排在中间有种排法,最后将四人整体与其他两人全排有种排法,
因此这种情况的方法数为=72种;
②甲不是乙、丙之间的两人之一,先排乙、丙有种排法,再从其他3人(除甲外)中选2人安排在中间有种排法,将这四人看成一个整体与另外1人(除甲外)全排有种排法,最后将甲排在这个整体与另外1人中间有1种排法,
因此这种情况的方法数为·1=24种.
综上,不同排法有72+24=96种,故选B.
3.ACD　对于A,若甲和乙相邻,共有=240种排法,故A正确;对于B,若甲不排第一个,共有=600种排法,故B错误;对于C,若甲与丙不相邻,共有=480种排法,故C正确;对于D,若甲在乙的前面,共有=360种排法,故D正确.故选ACD.
4.BCD　对于选项A,若3个女生必须相邻,则不同的排法有=720种,故选项A错误;对于选项B,若3个女生中有且只有2个女生相邻,则不同的排法有=2 880种,故选项B正确;对于选项C,若女生甲不能在最左端,且女生乙不能在最右端,则不同的排法共有=3 720种,故选项C正确;对于选项D,若3个女生按从左到右从高到低的顺序排列,则不同的排法有=840种,故选项D正确.故选BCD.
5.思路分析　思路一:
思路二:
D　解法一:不同的涂色方案种数为)=420.
解法二:不同的涂色方案种数为=420.
6.答案　40
解析　先排3,5,有种排法,再排4,6,有2种排法,最后将1和2看成一个整体(1和2的位置由左右两数的奇偶性确定,不需再排),插空排列,有种排法,所以满足题意的六位数的个数是·2=40.
7.答案　67
解析　根据丙进行分类:
第一类,当丙当物理课代表时,丁必须当化学课代表,若甲当数学课代表,则乙、戊可以从英语和语文中各选一科,有=2种选法;若甲不当数学课代表,则甲只能当英语课代表,乙只能当语文课代表,戊当数学课代表,有1种选法,共有2+1=3种不同的选法.
第二类,当丙不当物理课代表时,①若丙为语文课代表,则乙只能从英语、物理和化学中选择一科,剩下的甲、丁、戊全排列,共有=18种不同的选法;
②若丙为数学课代表,则甲只能从英语、物理和化学中选择一科,剩下的乙、丁、戊全排列,共有=18种不同的选法;
③若丙为英语课代表,则当甲当数学课代表时,其他三位同学全排列有=6种选法,当甲不当数学课代表时,甲只能从物理和化学中选一科,乙只能从语文和甲选完后剩下的一科中选一科,丁和戊从剩下的两科中选一科,有=8种,共有6+8=14种不同的选法;
④若丙为化学课代表,同③的选法一样,有14种不同的选法;
根据分类加法计数原理得,不同的选法共有3+18+18+14+14=67种.
8.解析　(1)利用特殊元素优先法,先排甲有6种,再排其余的人有种,共有6=241 920种不同的站法.
(2)利用特殊元素优先法,先排甲、乙有种,再排其余的人有种,共有=10 080种不同的站法.
(3)利用捆绑法,将男生看成一个整体,进行全排列,有种,女生看成一个整体,进行全排列,有种,这两个整体全排列,有种,
所以不同的站法有=5 760(种).
(4)利用插空法,先排4名男生有种站法,再将5名女生插空,有种站法,
所以不同的站法有=2 880(种).
(5)由于甲、乙、丙的顺序一定,则满足条件的站法共有=60 480(种).
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