2025人教A版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--6.2.3 组合 6.2.4 组合数
文档属性
| 名称 | 2025人教A版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--6.2.3 组合 6.2.4 组合数 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 316.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-23 09:14:17 | ||
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文档简介
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2025人教A版高中数学选择性必修第三册
6.2.3 组合 6.2.4 组合数
基础过关练
题组一 对组合的概念的理解
1.从2,3,5,7,11,13,17,19这8个数中任取2个,则下列问题属于组合问题的是( )
A.相加可以得到多少个不同的和
B.相乘可以得到多少个不同的积
C.相减可以得到多少个不同的差
D.相除可以得到多少个不同的商
2.商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.则所有可能摸出的结果种数为 .(答案用数字作答)
3.判断下列问题是组合问题还是排列问题
(1)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需比赛多少场
(2)a,b,c,d四支足球队争夺冠、亚军,有多少种不同的结果
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长和学习委员,有多少种不同的选法
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动,有多少种不同的选法
题组二 组合数公式及其性质的应用
4.(2024江苏常州期末)=( )
A.63 B.10 C.21 D.0
5.(2023浙江台州六校期中联考)若=21,则n=( )
A.4 B.5 C.6 D.7
6.不等式的解集为 .
7.(2024河北石家庄期中)(1)计算:的值;
(2)解方程:3.
题组三 简单的有限制条件的组合问题
8.(2023北京景山学校月考)某校开设A类选修课4门,B类选修课2门,每位同学从中选3门,若要求两类课程中都至少选一门,则不同的选法种数为( )
A.32 B.20 C.16 D.14
9.(2024重庆段考)现有12张不同的卡片,其中红色,黄色,蓝色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,则不同的取法种数为( )
A.84 B.172 C.160 D.230
10.(多选题)(2023河北唐山开滦二中月考)从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营,规定男、女生至少各有1人参加,则不同的选法种数为( )
A.
C.)
11.(2024湖南益阳期末)某省要求高考考场内最多安排30个座位,某地考点拟在每个考场采用7788的行列分布座位(如图),则考生甲与考生乙既不前后相邻,也不左右相邻的坐法共有 种.
讲台
前门 1 16 17 30
2 15 18 29
3 14 19 28
4 13 20 27
5 12 21 26
6 11 22 25
7 10 23 24
后门 8 9
12.(教材习题改编)某圆上有2n(n≥2)个点,且这些点等分圆周,从这2n个点中任取3个,可构成直角三角形的概率为,连接这2n个点可构成正多边形,则此正多边形的边数为 .
13.(教材习题改编)现从5名男生和3名女生中选出5人担任5门不同学科的科代表,求分别符合下列条件的选法种数.
(1)某女生一定担任语文科代表;
(2)某男生必须担任科代表,但不担任语文科代表;
(3)某女生一定担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表.
14.(2023江苏镇江扬中第二高级中学期末)10双互不相同的鞋子混装在一个口袋中,从中任意取出4只,求满足下列条件的不同取法种数.
(1)4只鞋子中没有成双的;
(2)4只鞋子恰为2双;
(3)4只鞋子中有2只成双,另2只不成双.
题组四 分组与分配问题
15.(易错题)2023年杭州亚运会志愿者第一小组有5人,需要分配到击剑、拳击、柔道比赛场馆,每个场馆至少1人,至多2人,则不同的分配方法有( )
A.90种 B.150种 C.180种 D.240种
16.(2024山东潍坊期末)有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教,要求一个学校3人,一个学校2人,另一个学校1人,则不同的分法种数为( )
A.240 B.360 C.480 D.720
17.(2024江西吉安期末)将8个外观相同的苹果分给甲、乙、丙三人,每人至少分到1个苹果,不同的分法共有( )
A.15种 B.18种 C.21种 D.24种
18.(易错题)(2024湖北武汉期中)2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”,出自白居易的“江南忆,最忆是杭州”,名为“琮琮”“莲莲”“宸宸”的三个吉祥物,是一组承载深厚文化底蕴的机器人.为了宣传杭州亚运会,某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场,每名志愿者只安装一个吉祥物,且每个吉祥物至少有一名志愿者安装,若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”,则不同的安装方案种数为( )
A.50 B.36 C.26 D.14
能力提升练
题组一 组合数两个性质的应用
1.(2024江西新余期末)已知(n∈N*),则n=( )
A.6 B.7 C.8 D.9
2.若+…+=363,则n= .
3.(2024江西师大附中期末)(1)求值:+…+;
(2)已知(x∈N*),求x.
题组二 组合的应用
4.(2024安徽亳州期末)有6个红包,其中3个红包中分别有100元、50元、20元钱,另外3个红包中各有10元钱,将这6个红包发给3个人,每人2个,则这3人获得红包金额的不同情况种数为( )
A.18 B.21 C.24 D.30
5.(多选题)平面内有两组平行线,一组有10条,另一组有7条,且这两组平行线相交,则( )
A.这两组平行线有70个交点
B.这两组平行线可以构成140条射线
C.这两组平行线可以构成525条线段
D.这两组平行线可以构成945个平行四边形
6.(2024吉林延边二中期中)某国际旅行社有11名对外翻译人员,其中有5人只会英语,4人只会法语,2人既会英语又会法语,现从这11人中选出4人当英语翻译,4人当法语翻译,则不同的选法种数为( )
A.225 B.185 C.145 D.110
题组三 排列与组合的综合问题
7.(2024河南焦作期末)把2个相同的红球、1个黄球、1个蓝球放到三个不同的盒子里,每个盒子中至少放1个球,则不同的放法种数为( )
A.18 B.20 C.21 D.24
8.如图所示,我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字:.比如:“1”需要2根火柴棒,“7”需要3根火柴棒.若用8根火柴棒以适当的方式全部放入下面的表格中(没有放入火柴棒的空位表示数字“0”),那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为( )
A.8 B.12 C.16 D.20
9.(2024陕西汉中期末)已知“渐升数”是指每一位数字都比其左边的数字大的正整数(如236),那么三位“渐升数”有 个,其中比516大的三位“渐升数”有 个.
10.(2024河北邢台名校联盟月考)如图,某心形花坛中有A,B,C,D,E 5个区域,每个区域只种植一种颜色的花.
(1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中,每种颜色的花都必须种植,共有多少种不同的种植方案
(2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中,每种颜色的花都必须种植,共有多少种不同的种植方案
(3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中,每种颜色的花都必须种植,要求相同颜色的花不能相邻种植,且有2个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花,共有多少种不同的种植方案
答案与分层梯度式解析
6.2.3 组合 6.2.4 组合数
基础过关练
1.B 4.C 5.D 8.C 9.C 10.BC 15.A 16.B
17.C 18.A
1.B 因为减法与除法不满足交换律,取出的两个数与顺序有关,所以C,D中问题不是组合问题.加法与乘法满足交换律,取出的两个数与顺序无关,但是由于5+11=3+13,11+19=13+17等,所以相加问题不是组合问题,只有相乘问题是组合问题.故选B.
2.答案 12
解析 所有可能结果为(A1,a1),(A1,a2),(A1,b1),(A1,b2),(A2,a1),(A2,a2),(A2,b1),(A2,b2),(B,a1),(B,a2),(B,b1),(B,b2),共计12种结果.
3.解析 (1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题.
(2)冠、亚军是有顺序的,是排列问题.
(3)3人分别担任三个不同的职务,有顺序,是排列问题.
(4)3人参加某项活动,没有顺序,是组合问题.
4.C =21.故选C.
5.D 因为=21,所以=21,即=21,解得n=-6(舍去)或n=7.故选D.
6.答案 {5,6,7,8,9,10,11}
解析 将原不等式化简得-,
整理得x2-11x-12<0,解得-1∵x∈N*,∴原不等式的解集为{5,6,7,8,9,10,11}.
7.解析 (1)因为所以9.5≤n≤10.5,又n∈N*,所以n=10,
所以+31=466.
(2)因为3,所以,则=1,
所以x2-19x+78=0,可得x=6或x=13,
又且x∈N*,所以18.C 若从A类选修课中选1门,B类选修课中选2门,则不同的选法种数为=4;若从A类选修课中选2门,B类选修课中选1门,则不同的选法种数为=12.所以两类课程中都至少选一门,不同的选法种数为4+12=16.故选C.
9.C 根据题意,不考虑限制,从12张卡片中任取3张,共有种取法,
如果取出的3张为同一种颜色,则有3种情况,
如果取出的3张有2张红色卡片,则有种情况,
因此所求的取法共有=160种.故选C.
10.BC (1)由题意知,选取情况可分三类:3男1女,2男2女,1男3女,所以不同的选法种数为.
(2)任选4人的选法种数为,其中全部为男生、全部为女生的选法种数分别为,故男、女生至少各有1人参加的不同的选法种数为.
经检验,A,D均不正确.故选BC.
解题模板 含有“至多”“至少”的组合问题有两种解决方法:一是直接法,按某一类元素被抽取的个数进行分类;二是间接法,先计算方法总数,再减去不满足条件的方法数.
11.答案 774
解析 根据给出的考场排布图可以看出位置与位置之间具有共性,是可以等效的,
所以分三种情况:①1、30、8、9、24位置等效,有=135种情况;②位于边界但不处于①中位置的位置等效,有=364种情况;③不位于①②所说位置的位置等效,有=275种情况.所以共有135+364+275=774种不同的坐法.
12.答案 12
解析 从2n个点中任取3个,共有种取法,三个点要构成直角三角形,则有两个点为圆的直径的端点,然后从剩下的(2n-2)个点中任取一个即可,因为这2n个点等分圆周,所以这2n个点对应有=n条直径,则可构成直角三角形的情形有n·种,所以可构成直角三角形的概率为,解得n=6,所以2n=12,所以此正多边形的边数为12.
13.解析 (1)除去一定担任语文科代表的女生后,先选后排,共有=840种不同的选法.
(2)先安排这个男生,有种选法,再从剩余7个人中选出4个担任其他学科科代表,共有=3 360种不同的选法.
(3)先安排必须担任科代表,但不担任数学科代表的该男生,有种选法,再从除去该男生和一定担任语文科代表的该女生后的6人中选3人,有种选法,对这3人全排列,有种选法,共有=360种不同的选法.
14.解析 (1)从10双鞋子中取4双,有种不同选法,每双鞋子中只取一只,分别有2种取法.所以4只鞋子中没有成双的不同取法种数为×24=3 360.
(2)4只鞋子恰为2双,即从10双鞋子中取2双,有=45种不同取法.
(3)先从10双鞋子中取1双,有种取法;再从剩下的9双鞋子中取2双,有种取法,每双鞋子中只取一只,分别有2种取法.所以4只鞋子中有2只成双,另2只不成双的不同取法种数为×22=1 440.
15.A 现将这5人分成3组,为一组1人,一组2人,一组2人,所以有=15种分法,
再将这三组分配到击剑、拳击、柔道比赛场馆,有=6种分法,所以共有15×6=90种不同的分配方法.故选A.
16.B 先把6人分为3组,一组3人,一组2人,一组1人,有=60种分法,
再把这3组人员分配到甲、乙、丙3个学校支教,所以不同的分法种数为60×=360.故选B.
17.C 将8个外观相同的苹果分给甲、乙、丙三人,每人至少分到1个苹果,采用“隔板法”,8个苹果间会产生7个空隙,任选2个空隙将苹果分开,即分成三份,共有=21种分法.故选C.
方法总结 解决相同元素分配问题常用隔板法,用隔板将相同元素分成若干份,不同的分法对应不同的分配数量.
18.A (1)按照2,2,1分3组安装,
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”,则共有=6种;
②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”,则共有=24种.
(2)按照 3,1,1分3组安装,
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”,则共有=8种;
②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”,则共有=12种.
综上,共有6+24+8+12=50种.故选A.
能力提升练
1.C 4.C 5.ACD 6.B 7.C 8.D
1.C 由组合数的性质可知,
又(n∈N*),
所以,即4+5=n+1,解得n=8.故选C.
2.答案 13
解析 由+…+=363,
得1++…+=364,
即+…+=364.
又,所以+…++…++…+=…=,
所以=364,即=364,解得n=13.
3.解析 (1)+…++…++…+=…
==165.
(2)由(x∈N*),得3x=2x+2或3x+2x+2=17,解得x=2或x=3.经检验,均满足题意.
4.C 根据题意,分2种情况讨论:
①若三人各得一个10元的红包,则三人获得红包金额都不相同,有=6种情况;
②若三人中有1人得到2个10元的红包,则有=18种情况.
综上,这3人获得红包金额的不同情况种数为18+6=24.故选C.
5.ACD 对于A,两组平行线相交有=70个交点,A正确;对于B,一个交点可以引出4条射线,则可以构成4×70=280条射线,B错误;对于C,10条平行线中的每一条有条线段,7条平行线中的每一条有条线段,故共可以构成10=525条线段,C正确;对于D,10条平行线中的每2条平行线与7条平行线中的每2条平行线可以构成一个平行四边形,故共可以构成=945个平行四边形,D正确.故选ACD.
6.B 分三类:①既会英语又会法语的2人均未入选,有=5种选法.②既会英语又会法语的2人中有1人入选,此时分这个人当英语翻译和法语翻译两种情况,有=60种选法.③既会英语又会法语的2人均入选,这时分三种情况:2人都当英语翻译;2人都当法语翻译;一人当英语翻译,一人当法语翻译,有=120种选法.故共有5+60+120=185种不同的选法.故选B.
7.C 根据题意,先把4个球分成3堆,分法有4种:(红红,黄,蓝),(红黄,红,蓝),(红蓝,红,黄),(红,红,蓝黄),
前3种分法,把3堆球放入3个盒子中,各有=6种放法;最后一种分法,把3堆球放入3个盒子中,因为红球是相同的,所以有3种放法,
所以共有3×6+3=18+3=21种不同的放法.故选C.
8.D 由题图可知,用2根火柴棒可以表示数字1,用3根火柴棒可以表示数字7,用4根火柴棒可以表示数字4,用5根火柴棒可以表示数字2,3或5,用6根火柴棒可以表示数字6或9,用7根火柴棒可以表示数字8,数字不能重复,因此8根火柴棒只能分成两组:2和6,3和5,这8根火柴棒只能组成两个数字,故还有数字为0,这样组成的无重复数字的三位数的个数为=20.故选D.
9.答案 84;10
解析 因为“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数,
所以三位“渐升数”有=84个.
当百位上的数字为5时,比516大的三位“渐升数”有=6个;
当百位上的数字大于5时,比516大的三位“渐升数”有=4个,
故比516大的三位“渐升数”有6+4=10个.
10.解析 (1)由全排列可得,共有=120种不同的种植方案.
(2)第一步,先从5个区域选出2个区域种植一种相同颜色的花,共有=40种方案;
第二步,再将剩余的3种颜色的花种植到剩下的3个区域,共有=6种方案.
所以共有40×6=240种不同的种植方案.
(3)要把4种不同颜色的花分别种植到这5个区域中,则必然有2个区域种植相同颜色的花.
第一类,E区域种植红色的花(有种种植方案),A,B,C,D 4个区域中有2个区域种植其他相同颜色的花,则相同颜色的花必然种植在A,D或B,C区域(有2×种种植方案),共有=12种方案;
第二类,E区域种植黄色的花,同理可得,共有=12种方案;
第三类,E区域种植蓝色的花(有种种植方案),若有2个区域种植白色的花,则没有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花,所以不可能有2个区域种植白色的花,因此2个区域种植的都是红色或都是黄色的花(有2×种种植方案),共有=8种方案;
第四类,E区域种植白色的花,同理可得,共有=8种方案.
综上,共有12×2+8×2=40种不同的种植方案.
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2025人教A版高中数学选择性必修第三册
6.2.3 组合 6.2.4 组合数
基础过关练
题组一 对组合的概念的理解
1.从2,3,5,7,11,13,17,19这8个数中任取2个,则下列问题属于组合问题的是( )
A.相加可以得到多少个不同的和
B.相乘可以得到多少个不同的积
C.相减可以得到多少个不同的差
D.相除可以得到多少个不同的商
2.商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.则所有可能摸出的结果种数为 .(答案用数字作答)
3.判断下列问题是组合问题还是排列问题
(1)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需比赛多少场
(2)a,b,c,d四支足球队争夺冠、亚军,有多少种不同的结果
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长和学习委员,有多少种不同的选法
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动,有多少种不同的选法
题组二 组合数公式及其性质的应用
4.(2024江苏常州期末)=( )
A.63 B.10 C.21 D.0
5.(2023浙江台州六校期中联考)若=21,则n=( )
A.4 B.5 C.6 D.7
6.不等式的解集为 .
7.(2024河北石家庄期中)(1)计算:的值;
(2)解方程:3.
题组三 简单的有限制条件的组合问题
8.(2023北京景山学校月考)某校开设A类选修课4门,B类选修课2门,每位同学从中选3门,若要求两类课程中都至少选一门,则不同的选法种数为( )
A.32 B.20 C.16 D.14
9.(2024重庆段考)现有12张不同的卡片,其中红色,黄色,蓝色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,则不同的取法种数为( )
A.84 B.172 C.160 D.230
10.(多选题)(2023河北唐山开滦二中月考)从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营,规定男、女生至少各有1人参加,则不同的选法种数为( )
A.
C.)
11.(2024湖南益阳期末)某省要求高考考场内最多安排30个座位,某地考点拟在每个考场采用7788的行列分布座位(如图),则考生甲与考生乙既不前后相邻,也不左右相邻的坐法共有 种.
讲台
前门 1 16 17 30
2 15 18 29
3 14 19 28
4 13 20 27
5 12 21 26
6 11 22 25
7 10 23 24
后门 8 9
12.(教材习题改编)某圆上有2n(n≥2)个点,且这些点等分圆周,从这2n个点中任取3个,可构成直角三角形的概率为,连接这2n个点可构成正多边形,则此正多边形的边数为 .
13.(教材习题改编)现从5名男生和3名女生中选出5人担任5门不同学科的科代表,求分别符合下列条件的选法种数.
(1)某女生一定担任语文科代表;
(2)某男生必须担任科代表,但不担任语文科代表;
(3)某女生一定担任语文科代表,某男生必须担任科代表,但不担任数学科代表.
14.(2023江苏镇江扬中第二高级中学期末)10双互不相同的鞋子混装在一个口袋中,从中任意取出4只,求满足下列条件的不同取法种数.
(1)4只鞋子中没有成双的;
(2)4只鞋子恰为2双;
(3)4只鞋子中有2只成双,另2只不成双.
题组四 分组与分配问题
15.(易错题)2023年杭州亚运会志愿者第一小组有5人,需要分配到击剑、拳击、柔道比赛场馆,每个场馆至少1人,至多2人,则不同的分配方法有( )
A.90种 B.150种 C.180种 D.240种
16.(2024山东潍坊期末)有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教,要求一个学校3人,一个学校2人,另一个学校1人,则不同的分法种数为( )
A.240 B.360 C.480 D.720
17.(2024江西吉安期末)将8个外观相同的苹果分给甲、乙、丙三人,每人至少分到1个苹果,不同的分法共有( )
A.15种 B.18种 C.21种 D.24种
18.(易错题)(2024湖北武汉期中)2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”,出自白居易的“江南忆,最忆是杭州”,名为“琮琮”“莲莲”“宸宸”的三个吉祥物,是一组承载深厚文化底蕴的机器人.为了宣传杭州亚运会,某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场,每名志愿者只安装一个吉祥物,且每个吉祥物至少有一名志愿者安装,若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”,则不同的安装方案种数为( )
A.50 B.36 C.26 D.14
能力提升练
题组一 组合数两个性质的应用
1.(2024江西新余期末)已知(n∈N*),则n=( )
A.6 B.7 C.8 D.9
2.若+…+=363,则n= .
3.(2024江西师大附中期末)(1)求值:+…+;
(2)已知(x∈N*),求x.
题组二 组合的应用
4.(2024安徽亳州期末)有6个红包,其中3个红包中分别有100元、50元、20元钱,另外3个红包中各有10元钱,将这6个红包发给3个人,每人2个,则这3人获得红包金额的不同情况种数为( )
A.18 B.21 C.24 D.30
5.(多选题)平面内有两组平行线,一组有10条,另一组有7条,且这两组平行线相交,则( )
A.这两组平行线有70个交点
B.这两组平行线可以构成140条射线
C.这两组平行线可以构成525条线段
D.这两组平行线可以构成945个平行四边形
6.(2024吉林延边二中期中)某国际旅行社有11名对外翻译人员,其中有5人只会英语,4人只会法语,2人既会英语又会法语,现从这11人中选出4人当英语翻译,4人当法语翻译,则不同的选法种数为( )
A.225 B.185 C.145 D.110
题组三 排列与组合的综合问题
7.(2024河南焦作期末)把2个相同的红球、1个黄球、1个蓝球放到三个不同的盒子里,每个盒子中至少放1个球,则不同的放法种数为( )
A.18 B.20 C.21 D.24
8.如图所示,我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字:.比如:“1”需要2根火柴棒,“7”需要3根火柴棒.若用8根火柴棒以适当的方式全部放入下面的表格中(没有放入火柴棒的空位表示数字“0”),那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为( )
A.8 B.12 C.16 D.20
9.(2024陕西汉中期末)已知“渐升数”是指每一位数字都比其左边的数字大的正整数(如236),那么三位“渐升数”有 个,其中比516大的三位“渐升数”有 个.
10.(2024河北邢台名校联盟月考)如图,某心形花坛中有A,B,C,D,E 5个区域,每个区域只种植一种颜色的花.
(1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中,每种颜色的花都必须种植,共有多少种不同的种植方案
(2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中,每种颜色的花都必须种植,共有多少种不同的种植方案
(3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中,每种颜色的花都必须种植,要求相同颜色的花不能相邻种植,且有2个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花,共有多少种不同的种植方案
答案与分层梯度式解析
6.2.3 组合 6.2.4 组合数
基础过关练
1.B 4.C 5.D 8.C 9.C 10.BC 15.A 16.B
17.C 18.A
1.B 因为减法与除法不满足交换律,取出的两个数与顺序有关,所以C,D中问题不是组合问题.加法与乘法满足交换律,取出的两个数与顺序无关,但是由于5+11=3+13,11+19=13+17等,所以相加问题不是组合问题,只有相乘问题是组合问题.故选B.
2.答案 12
解析 所有可能结果为(A1,a1),(A1,a2),(A1,b1),(A1,b2),(A2,a1),(A2,a2),(A2,b1),(A2,b2),(B,a1),(B,a2),(B,b1),(B,b2),共计12种结果.
3.解析 (1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题.
(2)冠、亚军是有顺序的,是排列问题.
(3)3人分别担任三个不同的职务,有顺序,是排列问题.
(4)3人参加某项活动,没有顺序,是组合问题.
4.C =21.故选C.
5.D 因为=21,所以=21,即=21,解得n=-6(舍去)或n=7.故选D.
6.答案 {5,6,7,8,9,10,11}
解析 将原不等式化简得-,
整理得x2-11x-12<0,解得-1
7.解析 (1)因为所以9.5≤n≤10.5,又n∈N*,所以n=10,
所以+31=466.
(2)因为3,所以,则=1,
所以x2-19x+78=0,可得x=6或x=13,
又且x∈N*,所以1
9.C 根据题意,不考虑限制,从12张卡片中任取3张,共有种取法,
如果取出的3张为同一种颜色,则有3种情况,
如果取出的3张有2张红色卡片,则有种情况,
因此所求的取法共有=160种.故选C.
10.BC (1)由题意知,选取情况可分三类:3男1女,2男2女,1男3女,所以不同的选法种数为.
(2)任选4人的选法种数为,其中全部为男生、全部为女生的选法种数分别为,故男、女生至少各有1人参加的不同的选法种数为.
经检验,A,D均不正确.故选BC.
解题模板 含有“至多”“至少”的组合问题有两种解决方法:一是直接法,按某一类元素被抽取的个数进行分类;二是间接法,先计算方法总数,再减去不满足条件的方法数.
11.答案 774
解析 根据给出的考场排布图可以看出位置与位置之间具有共性,是可以等效的,
所以分三种情况:①1、30、8、9、24位置等效,有=135种情况;②位于边界但不处于①中位置的位置等效,有=364种情况;③不位于①②所说位置的位置等效,有=275种情况.所以共有135+364+275=774种不同的坐法.
12.答案 12
解析 从2n个点中任取3个,共有种取法,三个点要构成直角三角形,则有两个点为圆的直径的端点,然后从剩下的(2n-2)个点中任取一个即可,因为这2n个点等分圆周,所以这2n个点对应有=n条直径,则可构成直角三角形的情形有n·种,所以可构成直角三角形的概率为,解得n=6,所以2n=12,所以此正多边形的边数为12.
13.解析 (1)除去一定担任语文科代表的女生后,先选后排,共有=840种不同的选法.
(2)先安排这个男生,有种选法,再从剩余7个人中选出4个担任其他学科科代表,共有=3 360种不同的选法.
(3)先安排必须担任科代表,但不担任数学科代表的该男生,有种选法,再从除去该男生和一定担任语文科代表的该女生后的6人中选3人,有种选法,对这3人全排列,有种选法,共有=360种不同的选法.
14.解析 (1)从10双鞋子中取4双,有种不同选法,每双鞋子中只取一只,分别有2种取法.所以4只鞋子中没有成双的不同取法种数为×24=3 360.
(2)4只鞋子恰为2双,即从10双鞋子中取2双,有=45种不同取法.
(3)先从10双鞋子中取1双,有种取法;再从剩下的9双鞋子中取2双,有种取法,每双鞋子中只取一只,分别有2种取法.所以4只鞋子中有2只成双,另2只不成双的不同取法种数为×22=1 440.
15.A 现将这5人分成3组,为一组1人,一组2人,一组2人,所以有=15种分法,
再将这三组分配到击剑、拳击、柔道比赛场馆,有=6种分法,所以共有15×6=90种不同的分配方法.故选A.
16.B 先把6人分为3组,一组3人,一组2人,一组1人,有=60种分法,
再把这3组人员分配到甲、乙、丙3个学校支教,所以不同的分法种数为60×=360.故选B.
17.C 将8个外观相同的苹果分给甲、乙、丙三人,每人至少分到1个苹果,采用“隔板法”,8个苹果间会产生7个空隙,任选2个空隙将苹果分开,即分成三份,共有=21种分法.故选C.
方法总结 解决相同元素分配问题常用隔板法,用隔板将相同元素分成若干份,不同的分法对应不同的分配数量.
18.A (1)按照2,2,1分3组安装,
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”,则共有=6种;
②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”,则共有=24种.
(2)按照 3,1,1分3组安装,
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”,则共有=8种;
②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”,则共有=12种.
综上,共有6+24+8+12=50种.故选A.
能力提升练
1.C 4.C 5.ACD 6.B 7.C 8.D
1.C 由组合数的性质可知,
又(n∈N*),
所以,即4+5=n+1,解得n=8.故选C.
2.答案 13
解析 由+…+=363,
得1++…+=364,
即+…+=364.
又,所以+…++…++…+=…=,
所以=364,即=364,解得n=13.
3.解析 (1)+…++…++…+=…
==165.
(2)由(x∈N*),得3x=2x+2或3x+2x+2=17,解得x=2或x=3.经检验,均满足题意.
4.C 根据题意,分2种情况讨论:
①若三人各得一个10元的红包,则三人获得红包金额都不相同,有=6种情况;
②若三人中有1人得到2个10元的红包,则有=18种情况.
综上,这3人获得红包金额的不同情况种数为18+6=24.故选C.
5.ACD 对于A,两组平行线相交有=70个交点,A正确;对于B,一个交点可以引出4条射线,则可以构成4×70=280条射线,B错误;对于C,10条平行线中的每一条有条线段,7条平行线中的每一条有条线段,故共可以构成10=525条线段,C正确;对于D,10条平行线中的每2条平行线与7条平行线中的每2条平行线可以构成一个平行四边形,故共可以构成=945个平行四边形,D正确.故选ACD.
6.B 分三类:①既会英语又会法语的2人均未入选,有=5种选法.②既会英语又会法语的2人中有1人入选,此时分这个人当英语翻译和法语翻译两种情况,有=60种选法.③既会英语又会法语的2人均入选,这时分三种情况:2人都当英语翻译;2人都当法语翻译;一人当英语翻译,一人当法语翻译,有=120种选法.故共有5+60+120=185种不同的选法.故选B.
7.C 根据题意,先把4个球分成3堆,分法有4种:(红红,黄,蓝),(红黄,红,蓝),(红蓝,红,黄),(红,红,蓝黄),
前3种分法,把3堆球放入3个盒子中,各有=6种放法;最后一种分法,把3堆球放入3个盒子中,因为红球是相同的,所以有3种放法,
所以共有3×6+3=18+3=21种不同的放法.故选C.
8.D 由题图可知,用2根火柴棒可以表示数字1,用3根火柴棒可以表示数字7,用4根火柴棒可以表示数字4,用5根火柴棒可以表示数字2,3或5,用6根火柴棒可以表示数字6或9,用7根火柴棒可以表示数字8,数字不能重复,因此8根火柴棒只能分成两组:2和6,3和5,这8根火柴棒只能组成两个数字,故还有数字为0,这样组成的无重复数字的三位数的个数为=20.故选D.
9.答案 84;10
解析 因为“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数,
所以三位“渐升数”有=84个.
当百位上的数字为5时,比516大的三位“渐升数”有=6个;
当百位上的数字大于5时,比516大的三位“渐升数”有=4个,
故比516大的三位“渐升数”有6+4=10个.
10.解析 (1)由全排列可得,共有=120种不同的种植方案.
(2)第一步,先从5个区域选出2个区域种植一种相同颜色的花,共有=40种方案;
第二步,再将剩余的3种颜色的花种植到剩下的3个区域,共有=6种方案.
所以共有40×6=240种不同的种植方案.
(3)要把4种不同颜色的花分别种植到这5个区域中,则必然有2个区域种植相同颜色的花.
第一类,E区域种植红色的花(有种种植方案),A,B,C,D 4个区域中有2个区域种植其他相同颜色的花,则相同颜色的花必然种植在A,D或B,C区域(有2×种种植方案),共有=12种方案;
第二类,E区域种植黄色的花,同理可得,共有=12种方案;
第三类,E区域种植蓝色的花(有种种植方案),若有2个区域种植白色的花,则没有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花,所以不可能有2个区域种植白色的花,因此2个区域种植的都是红色或都是黄色的花(有2×种种植方案),共有=8种方案;
第四类,E区域种植白色的花,同理可得,共有=8种方案.
综上,共有12×2+8×2=40种不同的种植方案.
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