2025人教A版高中数学选择性必修第三册强化练习题（含解析）--6.3.1　二项式定理

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2025人教A版高中数学选择性必修第三册
6.3　二项式定理
6.3.1　二项式定理
基础过关练
题组一　二项式定理的正用与逆用
1.若(x+1)n的展开式共有11项,则n=(　　)
A.9　　　　B.10　　　　C.11　　　　D.8
2.(教材习题改编)化简:(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1=(　　)
A.(2x+2)5　　　　B.2x5　　　　C.(2x-1)5　　　　D.32x5
3.设n∈N*,化简:×62+…+×6n-1=(　　)
A.7n　　　　B.(7n-1) C.7n-1　　　　D.6n-1
4.(2024河北保定期末)已知3n-2+…+=1 024,则n=　　　　.
题组二　展开式中的特定项及特定项的系数
5.(教材习题改编)(1-2x)6的展开式的第3项为(　　)
A.60　　　　B.-120　　　　C.60x2　　　　D.-120x2
6.(2024山东东营一中开学考试)在的展开式中,x的系数为(　　)
A.3　　　　B.6　　　　C.9　　　　D.12
7.(2024陕西汉中期末)在(x-2y)7的展开式中,x4y3的系数为(　　)
A.45　　　　B.-84　　　　C.-280　　　　D.-165
8.(2023浙江精诚联盟月考)已知(1-2x)n的展开式中含x3项的系数是-160,则n为(　　)
A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.8
9.(2024青海西宁七校期末联考)在的展开式中,第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44,则展开式中的常数项是(　　)
A.第3项　　　　B.第4项 C.第7项　　　　D.第8项
10.(易错题)在的展开式中,系数是有理数的项共有(　　)
A.6项　　　　B.5项　　　　C.4项　　　　D.3项
11.(多选题)在()n(n∈N*)的展开式中,若至少有2项的系数为有理数,则n的可能取值为(　　)
A.6　　　　B.7　　　　C.8　　　　D.9
12.(2024江西吉安段考)的展开式中的常数项为　　　　　.
13.(2023山东日照实验中学月考)设(2x-3)2 023=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a2 023(x-1)2 023,则a2 023=　　　　.
14.(2024天津大学附属中学月考)已知(n∈N*)的展开式中,第7项为常数项.
(1)求n的值;
(2)求展开式中所有的有理项.
能力提升练
题组一　展开式中的特定项及特定项的系数
1.(2023山西大学附中期中)在ax2-5的展开式中,若含x2项的系数为80,则实数a=(　　)
A.　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
2.(2024福建莆田期末)在(x-1)(x+1)8的展开式中,x5的系数是(　　)
A.-14　　　　B.14　　　　C.-28　　　　D.28
3.(2023湖北六校期中联考)在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7的展开式中,含x3的项的系数为(　　)
A.25　　　　B.65　　　　C.-25　　　　D.-65
4.(2024湖南株洲二中入学考试)在(x2+x-2)(x+1)6的展开式中,x4的系数是(　　)
A.5　　　　B.65　　　　C.-5　　　　D.-65
5.(2024海南海口华侨中学期中)已知(2x-y)5的展开式中x2y4的系数为80,则m的值为(　　)
A.-2　　　　B.2　　　　C.-1　　　　D.1
6.(2023黑龙江哈尔滨六校期末联考)若(2x-5)5=a0(x-2)5+a1(x-2)4+a2(x-2)3+…+a5,则a1=(　　)
A.80　　　　B.50 C.-40　　　　D.-80
7.(2024江西新余期末)若(a+x)2(1-x)2 023的展开式中x2 024的系数为2 025,则实数a=　　　　.
8.(2023浙江乐清知临中学月考)在(-1)6·(2+1)9的展开式中,x的系数为　　　　.
题组二　二项式定理的应用
9.(2022湖南岳阳部分学校期末联考)1.957的计算结果精确到个位的近似值为(　　)
A.106　　　　B.107　　　　C.108　　　　D.109
10.(2024湖北武汉期末)设n∈N*,则5除以7的余数为　(　　)
A.0或5　　　　B.1或3 C.4或6　　　　D.0或3
11.(2024江苏南通月考)设a∈Z,且0≤a≤7,若32 024+a能被8整除,则a=　　　　.
12.(2024吉林BEST合作体期末)(1)求(1-2x)15的展开式中含x2的项的系数;
(2)求9910除以1 000的余数.
13.证明:(1)5151-1能被7整除;
(2)当n∈N*时,(1+)n为偶数.
答案与分层梯度式解析
6.3　二项式定理
6.3.1　二项式定理
基础过关练
1.B 2.D 3.B 5.C 6.D 7.C 8.B 9.B
10.C 11.ACD
1.B　因为(x+1)n的展开式共有11项,所以n+1=11,得n=10.
2.D　原式=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5.
3.B　×62+…+×63+…+×63+…+(7n-1),故选B.
4.答案　5
解析　3n-2+…+3n-2×12+…+30×1n=(3+1)n=4n
=1 024=210,即22n=210,解得n=5.
5.C　(1-2x)6的展开式的第3项为T3=×14×(-2x)2=60x2.故选C.
6.D　的展开式的通项为Tr+1=(2x)3-r··23-r·x3-2r(0≤r≤3,r∈N),令3-2r=1,得r=1,
当r=1时,x的系数为·22=12.故选D.
7.C　(x-2y)7的展开式的通项为Tr+1=(-2)rx7-ryr,r=0,1,2,…,7,
令7-r=4,解得r=3,因此x4y3的系数为(-2)3=-280.故选C.
8.B　(1-2x)n的展开式的通项为Tr+1=xr,r=0,1,2,
…,n.令r=3,得(-2)3=-160,解得n=6.故选B.
9.B　由题意可得 =44,即(n+8)(n-11)=0,∴n=11,故,其展开式的通项为 Tr+1=(0≤r≤11,r∈N),
令=0,得r=3,∴展开式中的常数项是第4项,故选B.
10.C　·()20-r·=(-1)r·(0≤r≤20,r∈N).
令k=,只有当r=2,8,14,20时,k为整数.故系数是有理数的项共有4项.故选C.
易错警示　解决二项展开式中的特定项问题时,要注意问题的形式,分清是项、项的系数、还是二项式系数,如本题的问题是“系数是有理数的项”,而不是“有理项”,系数是有理数的项指系数的指数为整数的项,有理项是该项字母的指数为整数的项.
11.ACD　()n的展开式的通项为Tk+1=·(xn-k(0≤k≤n,k∈N).结合选项可知,若n=6或n=8,则当k=0,6时,项的系数均为有理数,满足题意;若n=7,则只有当k=3时,项的系数为有理数,不满足题意;若n=9,则当k=3,9时,项的系数均为有理数,满足题意.故选ACD.
12.答案　252
解析　的展开式的通项为Tr+1=x8-r··3r·x8-4r,
令8-4r=0,得r=2,故·32=252.
13.答案　22 023
解析　∵(2x-3)2 023=[2(x-1)-1]2 023=[2(x-1)]2 023(-1)0+[2(x-1)]2 022·(-1)1+…+[2(x-1)]0(-1)2 023=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a2 023(x-1)2 023,∴a2 023(x-1)2 023=[2(x-1)]2 023(-1)0=22 023(x-1)2 023,
∴a2 023=22 023.
14.解析　(1)的展开式的通项为Tk+1=,k=0,1,2,…,n,∴T7=·xn-9,
∵第7项为常数项,∴n-9=0,∴n=9.
(2)由(1)知Tk+1=,k=0,1,2,…,9,
要使Tk+1为有理项,只需为整数,
又0≤k≤9,k∈N,∴当k=0,2,4,6,8时,Tk+1为有理项,
则T1=·x9=,T3=·x6=x6,
T5=·x3=·x0=,T9=·x-3=x-3,
∴有理项为T1=x-3.
能力提升练
1.B 2.B 3.D 4.A 5.A 6.D 9.B 10.A
1.B　的展开式的通项为Tr+1=a5-r·(-1)rx10-4r,r=0,1,2,3,4,5.
令10-4r=2,得r=2,则含x2项的系数为a3=10a3=80,解得a=2.故选B.
2.B　∵(x-1)(x+1)8=x(x+1)8-(x+1)8,
∴(x-1)(x+1)8的展开式中x5的系数等于(x+1)8的展开式中x4的系数减去x5的系数,又(x+1)8的展开式的通项为Tr+1=x8-r,
∴x5的系数是=14,故选B.
3.D　(1-x)n的展开式的通项为Tr+1=·(-x)r=·(-1)r·xr,r=0,1,2,…,n,
所以含x3的项的系数为×(-1)3=-10-20-35=-65.故选D.
4.A　(x+1)6的展开式的通项为Tk+1=·x6-k,k=0,1,…,6,
∵(x2+x-2)(x+1)6=x2(x+1)6+x(x+1)6-2(x+1)6,
∴(x2+x-2)(x+1)6的展开式中x4的系数为=5,
故选A.
5.A　(2x-y)5+my(2x-y)5,
其中,(2x-y)5的展开式的通项为Tr+1=x-1·(2x)5-r(-y)r=(-1)r·25-rx4-ryr,0≤r≤5,r∈N,
令无解,即(2x-y)5的展开式中没有含x2y4的项;
my(2x-y)5的展开式的通项为Tk+1=my(2x)5-k·(-y)k=(-1)k·25-kmx5-kyk+1,0≤k≤5,k∈N,
令得k=3,即my(2x-y)5的展开式中含x2y4的项的系数为(-1)3×25-3m=-40m.
又(2x-y)5的展开式中x2y4的系数为80,
所以-40m=80,解得m=-2.故选A.
6.D　设x-2=t,则x=t+2,所以(2t-1)5=a0t5+a1t4+a2t3+…+a5,易得(2t-1)5的展开式的通项为Tr+1=(2t)5-r·(-1)r=(-1)r·25-r··t5-r,r=0,1,2,3,4,5,
令5-r=4,得r=1,所以a1=(-1)1×24×=-80.
故选D.
7.答案　-1
解析　因为(a+x)2=a2+2ax+x2,(1-x)2 023的展开式的通项为Tk+1=(-1)kxk,k=0,1,2,…,2 023,
所以x2 024的系数为2a×(-1)2 023+1×(-1)2 022=-2a+2 023=2 025,解得a=-1.
8.答案　687
解析　(-1)6的展开式的通项为Tr+1=)6-r·(-1)r=·(-1)r,r=0,1,2,…,6,
(2+1)9的展开式的通项为Tk+1=·29-k,k=0,1,2,…,9,
所以(-1)6·(2+1)9的展开式的通项为·(-1)r·29-k·(-1)r·29-k·,其中r=0,1,2,…,6,k=0,1,2,…,9.
令6-=1,得3r+2k=30,所以r=4,k=9或r=6,k=6,
所以(+1)9的展开式中x的系数为×(-1)6×23=687.
9.B　1.957=(2-0.05)7=27-×25×0.052-…-0.057≈27-×25×0.052=128-22.4+1.68=107.28≈107.故选B.
10.A　1+5+…+5n7n-2-…+7×(-1)n-1·-1,此展开式中,除了最后两项外,其余的各项均能被7整除,故它除以7的余数即为(-1)n-1除以7的余数,即为0或5,故选A.
11.答案　7
解析　易得32 024=(8+1)1 012=81 012+81 011+…+81 011+81 010+…+80)+1,故32 024-1能被8整除,又32 024+a能被8整除,且a∈Z,0≤a≤7,所以当a=7时,32 024+7能被8整除.
12.解析　(1)(1-2x)15的展开式的通项为Tk+1=(-2)kxk,k=0,1,2,…,15,
令k=2,得T3=(-2)2x2=420x2,即含x2的项的系数为420.
(2)9910=(100-1)10=1009(-1)1+…+(-1)10=1020-1019+…-103+1
=1 000(1017-1016+…-1)+1,
所以9910除以1 000的余数为1.
13.解析　(1)5151-1=(49+2)51-1=×4950×2+…+×251-1,
易知除×251-1以外其他各项都能被7整除.
易得×251-1=(23)17-1=(7+1)17-1
=×716+…+-1
=7×(×715+…+),
显然上式能被7整除,∴5151-1能被7整除.
(2)(1+)2+…+)n,
(1-)2+…+·(-)n.
当n为正奇数时,(1+·()2+…++…+),显然+…+为正整数,
所以(1++…+)为偶数;
当n为正偶数时,(1+)2+…++…+),显然+…+为正整数,
所以(1++…+)为偶数.
综上,当n∈N*时,(1+)n为偶数.
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